Mereologia

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Vídeo: EP. 24 - Mereologia | Entrevista com Rhamon Nunes 2024, Março
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Mereologia

Publicado pela primeira vez em 13 de maio de 2003; revisão substantiva quinta-feira, 21 de agosto de 2003

Mereologia (do grego μερος, 'parte') é a teoria das relações de partição: das relações de parte para todo e as relações de parte para parte dentro de um todo. Suas raízes remontam aos primeiros dias da filosofia, começando pelos atomistas pré-democráticos e continuando ao longo dos escritos de Platão (especialmente Parmênides e Thaetetus), Aristóteles (especialmente a Metafísica, mas também a Física, os Tópicos e De partibus animalium) e Boécio (especialmente em Ciceronis Topica). A mereologia também ocupou um papel de destaque nos escritos de ontologistas medievais e filósofos escolásticos, como Garland, o Computista, Peter Abelard, Thomas Aquinas, Raymond Lull e Albert da Saxônia, bem como na Logica Hamburgensis (1638) de Jungius, na Dissertatio de Leibniz. arte combinatoria (1666) e Monadology (1714),e os primeiros escritos de Kant (o Gedanken de 1747 e o Monadologia physica de 1756). Como teoria formal das relações entre partidos, no entanto, a mereologia entrou na filosofia moderna principalmente através do trabalho de Franz Brentano e de seus alunos, especialmente a terceira Investigação Lógica de Husserl (1901). Esta última pode ser considerada, com razão, a primeira tentativa de uma formulação rigorosa da teoria, embora em um formato que dificulte a análise dos conceitos mereológicos da de outras noções ontologicamente relevantes (como a relação da dependência ontológica). Somente nos Fundamentos de uma teoria geral das variedades de Leśniewski (1916, em polonês) é que foi dada uma formulação exata à pura teoria das relações de partes como a conhecemos hoje. E porque Leśniewski 'Se o trabalho de Sachs era amplamente inacessível para não-falantes de polonês, é apenas com a publicação de The Calculus of Individuals (1940), de Leonard e Goodman, que essa teoria se tornou um capítulo de interesse central para ontologistas e metafísicos modernos.

A seguir, focaremos principalmente as formulações contemporâneas da mereologia, à medida que elas surgiram dessas teorias recentes - Leśniewski e Leonard e Goodman. De fato, embora essas teorias tenham diferentes formas lógicas, elas são suficientemente semelhantes para serem reconhecidas como uma base comum para a maioria dos desenvolvimentos subsequentes. Para avaliar adequadamente os pontos fortes e fracos, no entanto, será conveniente prosseguir em etapas. Primeiro, consideramos algumas noções e princípios mereológicos fundamentais. Em seguida, procedemos a um exame das teorias mais fortes que podem ser erigidas nessa base.

  • 1. 'Parte' e Parcialidade
  • 2. Princípios Básicos

    • 2.1 Parcialidade como um pedido parcial
    • 2.2 Outros conceitos mereológicos
  • 3. Princípios de suplementação

    • 3.1 Peças e Sobras
    • 3.2 Identidade e Extensionalidade
  • 4. Princípios de fechamento

    • 4.1 Operações Financeiras
    • 4.2 Fusões irrestritas
    • 4.3 Composição, Existência e Identidade
  • 5. Mereologias atomistas e sem átomos
  • Bibliografia

    • Pesquisas Históricas
    • Monografias
    • Trabalhos citados
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. 'Parte' e Parcialidade

Uma ressalva preliminar está em ordem. Diz respeito à própria noção de partidária que trata a mereologia. A palavra "parte" tem muitos significados diferentes na linguagem comum, nem todos os quais correspondem à mesma relação. Em termos gerais, pode ser usado para indicar qualquer parte de uma determinada entidade, independentemente de estar anexada ao restante, como em (1), ou desanexada, como em (2); saliente cognitivamente, como em (1) - (2), ou arbitrariamente demarcado, como em (3); auto-conectado, como em (1) - (3), ou desconectado, como em (4); homogêneo, como em (1) - (4), ou gerrymandered, como em (5); material, como em (1) - (5), ou imaterial, como em (6); estendido, como em (1) - (6), ou sem extensão, como em (7); espacial, como em (1) - (7), ou temporal, como em (8); e assim por diante.

(1) A alça faz parte do copo.
2) Este boné faz parte da minha caneta.
(3) A metade esquerda é sua parte do bolo.
4) Os EUA fazem parte da América do Norte.
(5) O conteúdo desta bolsa é apenas parte do que eu comprei.
(6) Esse canto faz parte da sala de estar.
(7) Os pontos mais externos fazem parte do perímetro.
(8) O primeiro ato foi a melhor parte da peça.

Todos esses casos ilustram a noção de partidez que forma o foco da mereologia. Muitas vezes, no entanto, a palavra 'parte' é usada em inglês em um sentido restrito. Por exemplo, ele pode ser usado para designar apenas a relação cognitivamente saliente do parto ilustrada em (1) e (2) em oposição a (3). Nesse sentido, as partes de um objeto x são apenas seus "componentes", isto é, aquelas partes que estão disponíveis como unidades individuais, independentemente de sua interação com as outras partes de x. (Um componente é parte de um objeto, e não apenas parte dele; ver Tversky 1989). Claramente, as propriedades de tais relações restritas podem não coincidir com as de parte amplamente compreendidas, de modo que não se espera que os princípios da mereologia sejam transferidos automaticamente.

Além disso, a palavra 'parte' às vezes é usada em um sentido mais amplo, por exemplo, para designar a relação da constituição material, como em (9), ou a relação da composição da mistura, como em (10), ou mesmo uma relação conceitual. inclusão, como em (11):

(9) O barro faz parte da estátua.
(10) Gin faz parte do martini.
(11) Escrever comentários detalhados faz parte de ser um bom árbitro.

O status mereológico dessas relações, no entanto, é controverso. Por exemplo, embora a relação de constituição exemplificada em (9) tenha sido incluída por Aristóteles em sua tríplice taxonomia (Metafísica, Δ, 1023b), muitos autores contemporâneos preferem interpretá-la como uma relação não-merereológica sui generis (ver, por exemplo, Wiggins, 1980). Rea 1995 e Thomson 1998). Da mesma forma, a relação ingrediente-mistura exemplificada em (10) está sujeita a controvérsia, pois os ingredientes podem envolver conexões estruturais significativas além da proximidade espacial e, portanto, podem deixar de reter certas características químicas importantes que possuem isoladamente (ver Sharvy 1983). Quanto a casos como (11), pode-se simplesmente afirmar que o termo 'parte' aparece apenas na gramática da superfície e desaparece no nível da forma lógica, por exemplo,se (11) for parafraseado como "Todo bom árbitro escreve comentários detalhados". (Para mais exemplos e taxonomias provisórias, consulte Winston et al. 1987, Iris et al. 1988 e Gerstl e Pribbenow 1995.)

Finalmente, vale a pena declarar explicitamente que a mereologia não assume nenhuma restrição ontológica no campo da 'parte'. As relatas podem ser tão diferentes quanto corpos materiais, eventos, entidades geométricas ou regiões geográficas, como em (1) - (8), bem como números, conjuntos, tipos ou propriedades, como nos exemplos a seguir:

(12) 2 faz parte de 3.
(13) Os números inteiros fazem parte dos reais.
(14) O primeiro capítulo faz parte do romance.
(15) A humanidade faz parte da personalidade.

Assim, embora as teorias originais de Leśniewski e Leonard e Goodman traiam uma posição nominalista, resultando em uma concepção da mereologia como uma alternativa ontologicamente parcimoniosa da teoria dos conjuntos, não há ligação necessária entre a análise das relações de partição e a posição filosófica do nominalismo. [1]Como uma teoria formal (no sentido de Husserl de "formal", isto é, em oposição a "material"), a mereologia é simplesmente uma tentativa de estabelecer os princípios gerais subjacentes às relações entre uma entidade e suas partes constituintes, qualquer que seja a natureza da entidade., assim como a teoria dos conjuntos é uma tentativa de estabelecer os princípios subjacentes às relações entre uma classe e seus membros constituintes. Diferentemente da teoria dos conjuntos, a mereologia não está comprometida com a existência da abstracta: o todo pode ser tão concreto quanto as partes. Mas a mereologia também não tem compromisso nominalista: as partes podem ser tão abstratas quanto o todo. Parts of Classes (1991), de David Lewis, que fornece uma análise mereológica do universo da teoria dos conjuntos, é uma boa ilustração dessa "inocência ontológica" da mereologia.

2. Princípios Básicos

Com essas ressalvas, e barrando por um momento as complicações decorrentes da consideração de fatores intensionais (como tempo e modalidades), vamos agora rever alguns princípios mereológicos fundamentais. Até certo ponto, esses axiomas lexicais podem fixar o significado pretendido do predicado relacional 'parte'. No entanto, é difícil traçar o limite do que é filosoficamente incontroverso, por isso será conveniente prosseguir passo a passo, partindo do óbvio e acrescentando princípios mais substantivos à medida que prosseguimos.

2.1 Parcialidade como pedido parcial

O óbvio é o seguinte: não importa como alguém se sinta em relação a questões de ontologia, se 'parte' representa a relação geral exemplificada por todos os itens (1) - (8) acima, significa uma ordem parcial - uma reflexão reflexiva, anti-simétrica., relação transitiva:

(16) Tudo faz parte de si mesmo.
(17) Duas coisas distintas não podem fazer parte uma da outra.
(18) Qualquer parte de qualquer parte de uma coisa é ela mesma parte dessa coisa.

Certamente, essa caracterização não é totalmente incontroversa. Em particular, desde Rescher (1955), vários autores têm dúvidas sobre o princípio da transitividade (18) (ver, por exemplo, Lyons 1977: 313, Cruse 1979 e Moltman 1997). Rescher escreve:

No uso militar, por exemplo, as pessoas podem ser partes de unidades pequenas e unidades pequenas partes de unidades maiores; mas as pessoas nunca fazem parte de grandes unidades. Outros exemplos são dados pelos vários usos hierárquicos de 'parte'. Uma parte (isto é, subunidade biológica) de uma célula não é considerada parte do órgão do qual essa célula faz parte. (1955: 10)

Pode-se argumentar, no entanto, que essas dúvidas derivam da ambiguidade acima mencionada de "parte". O que conta como subunidade biológica de uma célula pode não contar como subunidade (uma parte distinta) do órgão, mas, no entanto, é parte do órgão. O exemplo militar é mais direto ao ponto, mas também é ambíguo. Se existe um senso de 'parte' em que os soldados não fazem parte de unidades maiores, é um sentido restrito: um soldado não faz parte diretamente de um batalhão - o soldado não se reporta ao chefe do batalhão. Da mesma forma, pode-se argumentar que uma maçaneta é uma parte funcional de uma porta, a porta é uma parte funcional da casa e, no entanto, a maçaneta não é uma parte funcional da casa. Mas isso envolve um afastamento da noção mais ampla de partição que a mereologia pretende capturar. Colocando em outras palavras,se a interpretação geral pretendida de 'parte' é reduzida por condições adicionais (por exemplo, exigindo que as partes façam uma contribuição direta ao funcionamento do todo), então obviamente a transitividade pode falhar. Em geral, se x é uma parte y de y e y é uma parte of de z, x não precisa ser uma parte of de z: o modificador de predicado 'φ' pode não ser distribuído pela partição. Mas isso mostra a não transitividade da parte φ (por exemplo, parte direta ou parte funcional), não da parte. E dentro de uma estrutura suficientemente geral, isso pode ser facilmente expresso com a ajuda de modificadores de predicado explícitos.x não precisa ser uma parte of de z: o modificador de predicado 'φ' pode não ser distribuído pela partição. Mas isso mostra a não transitividade da parte φ (por exemplo, parte direta ou parte funcional), não da parte. E dentro de uma estrutura suficientemente geral, isso pode ser facilmente expresso com a ajuda de modificadores de predicado explícitos.x não precisa ser uma parte of de z: o modificador de predicado 'φ' pode não ser distribuído pela partição. Mas isso mostra a não transitividade da parte φ (por exemplo, parte direta ou parte funcional), não da parte. E dentro de uma estrutura suficientemente geral, isso pode ser facilmente expresso com a ajuda de modificadores de predicado explícitos.

As outras duas propriedades - reflexividade e anti-simetria - são menos controversas, embora também nesse sentido algumas qualificações estejam em ordem. Com relação à reflexividade (16), uma objeção familiar - devida novamente a Rescher - é que

muitos sentidos legítimos de 'parte' não são reflexos e não aceitam dizer que um todo é uma parte (no sentido em questão) de si mesmo. O uso de 'parte' pelos biólogos para as subunidades funcionais de um organismo é um exemplo. (1955: 10)

Isso é de pouca importância, no entanto. Tomar reflexividade (e antimimetria) como constitutivo do significado de 'parte' equivale a considerar a identidade como um caso limite (impróprio) de paridade. Uma relação mais forte, na qual nada conta como parte de si mesma, pode obviamente ser definida em termos da mais fraca, portanto, não há perda de generalidade (consulte a seção 2.2 abaixo). Vice-versa, poder-se-ia estruturar uma teoria mereológica, tendo a partitura adequada como primitiva. Esta é apenas uma questão de escolher um primitivo adequado. Formalmente, a questão se resume ao ponto anterior: uma parte may pode não se comportar como um simplificador de parte, onde φ é a condição adicional de ser distinto do todo.

Por fim, no postulado antisimetria (17), pode-se observar que isso exclui estruturas mereológicas “não fundamentadas”. Sanford (1993: 222) refere-se ao Aleph de Borges como um caso em questão:

Vi a terra no Aleph e na terra o Aleph mais uma vez e a terra no Aleph … (Borges 1949: 151)

Nesse caso, uma resposta plausível (seguindo van Inwagen 1993: 229) é que a ficção não fornece orientação para investigações conceituais. A concebibilidade pode muito bem ser um guia para a possibilidade, mas a fantasia literária não é, por si só, evidência de concebibilidade. No entanto, a ideia de uma relação de paridade não bem fundamentada não é pura fantasia. Em vista de certos desenvolvimentos na teoria dos conjuntos não bem fundamentada (isto é, a teoria dos conjuntos que tolera casos de auto-associação e, mais geralmente, de circularidades de associação - veja Aczel 1988; Barwise e Moss 1996), pode-se sugerir a construção de mereologia com base em uma noção igualmente menos restritiva de partidez que permite loops fechados. Isso é particularmente significativo em vista da possibilidade de reformular a teoria dos conjuntos em termos mereológicos - uma possibilidade que é explorada nos trabalhos de Bunt (1985) e Lewis (1991, 1993). Assim, neste caso, existe uma preocupação legítima de que um dos significados “óbvios” postulados para 'parte' seja de fato muito restritivo. Atualmente, no entanto, nenhum estudo sistemático de mereologia não fundamentada foi apresentado na literatura; portanto, a seguir, nos limitaremos a teorias que aceitam o postulado da antimimetria, juntamente com a relexividade e a transitividade.assim, a seguir, nos limitaremos às teorias que aceitam o postulado da antimimetria, juntamente com a relexividade e a transitividade.assim, a seguir, nos limitaremos às teorias que aceitam o postulado da antimimetria, juntamente com a relexividade e a transitividade.

2.2 Outros conceitos mereológicos

É conveniente, neste momento, introduzir algum grau de formalização antes de prosseguirmos. Isso evita ambiguidades (como as envolvidas nas objeções mencionadas acima) e facilita comparações e desenvolvimentos. Por definição, trabalharemos dentro da estrutura de uma linguagem padrão de primeira ordem com identidade, fornecida com uma constante de predicado binário distinto, 'P', para ser interpretada como a relação de parcialidade. Tomando a lógica subjacente como um cálculo predicado padrão com identidade [2], os requisitos mínimos acima mencionados para partos podem então ser considerados como formando uma teoria de primeira ordem caracterizada pelos seguintes axiomas adequados para 'P':

(P.1) P xx Reflexividade
(P.2) (P xy & P yx) → x = y Anti-simetria
(P.3) (P xy e P yz) → P xz Transitividade

(Aqui e a seguir simplificamos a notação descartando todos os quantificadores universais iniciais. Todas as fórmulas devem ser entendidas como universalmente fechadas.) Podemos chamar essa teoria de Ground Mereology - M para abreviar [3] - considerando-a como o comum base em qualquer teoria abrangente de parte-todo.

Dado (P.1) - (P.3), vários predicados mereológicos adicionais podem ser introduzidos por definição. Por exemplo:

(19)

O xy = df

existe
existe

z (P zx e P zy)

Sobreposição
(20)

U xy = df

existe
existe

z (P xz e P yz)

Underlap
(21) PP xy = df P xy & ¬ P yx Peça adequada
(22) OX xy = df O xy & ¬ P xy Over-crossing
(23) UX xy = df U xy e ¬ P yx Passagem por baixo
(24) PO xy = df OX xy e OX yx Sobreposição adequada
(25) PU xy = df UX xy e UX yx. Underlap apropriado

Um modelo intuitivo para essas relações, com 'P' interpretado como inclusão espacial, é apresentado na Figura 1.

figura 1
figura 1

Figura 1. Padrões básicos de relações mereológicas. No padrão mais à esquerda, as relações entre parênteses se mantêm se houver um z maior, incluindo x e y.

Verifica-se imediatamente que a sobreposição é reflexiva e simétrica, embora não transitiva:

(26) O xx
(27) O xy → O yx.

Da mesma forma para underlap. Por outro lado, segue de (P.1) - (P.3) que a partição adequada é transitiva, mas irreflexiva e assimétrica - uma ordenação parcial estrita:

28) ¬ PP xx
(29) PP xy → ¬ PP yx
(30) (PP xy e PP yz) → PP xz.

Como mencionado, pode-se usar partituras apropriadas como ponto de partida alternativo (usando (28) - (30) como axiomas). Isso decorre do fato de que a seguinte equivalência é possível em M:

(31) P xy ↔ (PP xy

ou
ou

x = y)

e, portanto, poderia-se usar o lado direito de (31) para definir 'P' em termos de 'PP' e '='. Por outro lado, como em toda ordenação parcial, vale a pena observar que a própria identidade pode ser introduzida por definição, devido às seguintes conseqüências imediatas de (P.2):

(32) x = y ↔ (P xy e P yx).

Consequentemente, a teoria M poderia ser formulada em uma linguagem pura de primeira ordem, assumindo (P.1) e (P.3) e substituindo (P.2) pela seguinte variante do axioma de Leibniz para identidade (onde φ é qualquer fórmula):

(P.2 ') (P xy e P yx) → (φ x ↔ φ y).

A seguir, no entanto, continuaremos assumindo que M é formulado em uma linguagem com 'P' e '=' como primitivos.

3. Princípios de suplementação

A teoria M pode ser vista como incorporando o núcleo comum de qualquer teoria mereológica. Porém, não apenas qualquer ordenação parcial se qualifica como uma relação parte-todo, e estabelecer a que princípios adicionais devem ser adicionados (P.1) - (P.3) é precisamente a questão que uma boa teoria mereológica deve responder. Esses princípios adicionais são mais substantivos e, em certa medida, estipulativos. No entanto, algumas opções principais podem ser identificadas.

De um modo geral, uma teoria mereológica pode ser vista como o resultado da extensão de M por meio de princípios que afirmam a existência (condicional) de certos itens mereológicos, dada a existência de outros itens. Assim, pode-se considerar a idéia de que, sempre que um objeto tem uma parte adequada, ele possui mais de uma - ou seja, sempre existe alguma diferença mereológica entre um todo e suas partes apropriadas. Isso não precisa ser verdade em todos os modelos de M: um mundo com apenas dois itens, um dos quais está relacionado ao P, mas não vice-versa, seria um contraexemplo, embora não possa ser ilustrado com o tipo de diagrama geométrico usado na Figura 1. Da mesma forma, um pode considere a idéia de que sempre existe uma soma mereológica de duas ou mais partes - ou seja, que para qualquer número de objetos existe um todo que consiste exatamente nesses objetos. Novamente, isso não precisa ser verdade em um modelo para M, e é uma questão de controvérsia se a idéia deve se manter irrestrita. De maneira mais geral, pode-se considerar a extensão de Mexigindo que o domínio do discurso seja fechado - sob certas condições - sob várias operações mereológicas (soma, produto, diferença e possivelmente outras). Finalmente, pode-se considerar a questão de saber se existem átomos mereológicos (objetos sem partes apropriadas) e também se todo objeto é, no final das contas, composto de átomos (ou em que condições um objeto pode ser assumido como composto de átomos). Ambas as opções são compatíveis com M, e a possibilidade de adicionar axiomas correspondentes tem ramificações filosóficas interessantes.

3.1 Peças e Sobras

Vamos começar com o primeiro tipo de extensão. A ideia subjacente pode assumir pelo menos duas formas distintas. O mais simples consiste em fortalecer M adicionando um quarto axioma no sentido de que cada parte apropriada deve ser complementada por outra parte separada - um restante:

(P.4)

PP xy →

existe
existe

z (P zy e ¬O zx)

Suplementação fraca

Chamar esta extensão Minere Mereology (MM) Alguns autores (principalmente Peter Simons, 1987, de quem o termo 'suplementação' é emprestado) consideram (P.4) constitutivo do significado de 'parte' e, portanto, o listam juntamente com os postulados básicos da mereologia. No entanto, algumas teorias da literatura violam esse princípio e, portanto, é conveniente mantê-lo separado de (P.1) - (P.3). Um caso em questão seria a teoria dos acidentes de Brentano, de 1933, segundo a qual uma alma é uma parte apropriada de uma alma pensante, embora não haja nada para compensar a diferença. (Veja Chisholm 1978; para uma avaliação, veja Baumgartner e Simons 1994.) Outro exemplo é fornecido pela teoria da conexão extensiva de Whitehead, de 1929, na qual nenhum elemento limite é incluído no domínio da quantificação:nesta teoria, uma região topologicamente fechada inclui seu interior aberto como uma parte apropriada, apesar de não haver elementos de contorno para distingui-los. (Veja Clarke 1981 para uma formulação rigorosa.)

A segunda maneira de expressar a intuição da suplementação é mais forte. Corresponde ao seguinte axioma, que difere de (P.4) no antecedente:

(P.5)

¬P yx →

existe
existe

z (P zy e ¬O zx)

Suplementação Forte

Isso diz que, se um objeto não incluir outro entre suas partes, deve haver um restante. É fácil ver que (P.5) implica (P.4), então qualquer teoria que rejeite (P.4) a fortiori rejeitará (P.5). (Por exemplo, na teoria de conexão extensa e livre de fronteiras de Whitehead, uma região fechada não faz parte de seu interior, embora tenha exatamente as mesmas partes estendidas.) No entanto, o inverso não se sustenta. Considere um modelo com quatro objetos distintos, a, b, c, d, de modo que c e d estejam relacionados a P e a b. Então a instância correspondente de (P.4) é verdadeira, pois cada parte apropriada conta como um complemento da outra; ainda (P.5) é falso, uma vez que ambas as partes de a fazem parte (e, portanto, se sobrepõem) b, e ambas as partes de b fazem parte de (e se sobrepõem) a. É certo que é difícil imaginar tais objetos;é difícil desenhar uma figura ilustrando dois objetos distintos com as mesmas partes, porque desenhar um objeto está desenhando suas partes. Depois que as peças são desenhadas, não há mais nada a ser feito para obter um desenho de todo o objeto. Mas isso prova apenas que as imagens são direcionadas para (P.5). No domínio não espacial, por exemplo, o contra-modelo previsto para (P.5) pode ser configurado identificando aeb com os pares ordenados <c, d> e <d, c>, respectivamente, interpretando 'P' como a relação de associação para conjuntos ordenados.o contra-modelo previsto para (P.5) pode ser configurado identificando aeb com os pares ordenados <c, d> e <d, c>, respectivamente, interpretando 'P' como a relação de associação para conjuntos ordenados.o contra-modelo previsto para (P.5) pode ser configurado identificando aeb com os pares ordenados <c, d> e <d, c>, respectivamente, interpretando 'P' como a relação de associação para conjuntos ordenados.

A teoria obtida adicionando (P.5) a (P.1) - (P.3) é, portanto, uma extensão apropriada da teoria da Mereologia Mínima obtida pela adição (P.4). Nós rotulamos essa teoria mais forte de Mereologia Extensional (EM). O atributo 'extensional' justifica-se precisamente pela exclusão de contra-modelos que, como os que acabamos de mencionar, contêm objetos distintos com as mesmas partes próprias. De fato, o seguinte é um teorema do EM:

(33)

existe
existe

z PP zx → (

para todos
para todos

z (PP zx → PP zy) → P xy).

Daí resulta que objetos não atômicos com as mesmas partes apropriadas são idênticos:

(34) (

existe
existe

z PP zx

ou
ou
existe
existe

z PP zy) → (x = y ↔

para todos
para todos

z (PP zx ↔ PP zy)).

(O análogo para 'P' já é comprovável em M, pois P é reflexivo e anti-simétrico.) Essa é a contrapartida mereológica do princípio familiar da extensionalidade da teoria dos conjuntos, pois reflete a visão de que um objeto é exaustivamente definido por suas partes constituintes., assim como um conjunto é definido exaustivamente por seus elementos constituintes. Nelson Goodman chamou apropriadamente esse princípio mereológico de "hiperextracionalismo" (1958: 66), relacionando-o à parcimônia ontológica do nominalismo:

Uma classe (por exemplo, a dos condados de Utah) não é diferente da única pessoa (todo o estado de Utah) que contém exatamente seus membros nem de qualquer outra classe (por exemplo, a de acres de Utah) cujos membros esgotam exatamente esse mesmo todo. O platonista pode distinguir essas entidades se aventurando em uma nova dimensão da Forma Pura, mas o nominalista não reconhece distinção de entidades sem distinção de conteúdo. (Goodman 1951: 26)

3.2 Identidade e Extensionalidade

É EMuma teoria plausível? Além dos contra-exemplos de (P.5) mencionados acima, várias objeções foram levantadas contra (34), apesar de sua plausibilidade intuitiva no contexto do exemplo geográfico de Goodman. Por um lado, às vezes se argumenta que a uniformidade das partes não é suficiente para a identidade, pois algumas entidades podem diferir exclusivamente no que diz respeito ao arranjo de suas partes. Duas frases compostas pelas mesmas palavras - 'João ama Maria' e 'Maria ama João' - seriam um caso em questão (Hempel 1953: 110; Rescher 1955: 10). Da mesma forma, a identidade de um ramo de flores pode depender crucialmente dos arranjos das flores individuais (Eberle 1970: §2.10). Uma segunda objeção familiar é familiar na literatura sobre constituição material,onde o princípio da extensionalidade mereológica é, às vezes, levado a contradizer a possibilidade de um objeto ser distinto da matéria que o constitui. Um gato pode sobreviver à aniquilação de sua cauda, argumenta-se. Mas a quantidade de tecido felino que consiste na cauda do gato e no resto do corpo do gato não pode sobreviver à aniquilação da cauda. Assim, um gato e a quantidade correspondente de tecido felino têm propriedades diferentes (tensas ou modais) e não devem ser identificados, apesar de compartilharem exatamente as mesmas partes reais. (Veja, por exemplo, Wiggins 1968, Doepke 1982, Lowe 1989, Johnston 1992 e Baker 1999, Sanford 2003 para esta linha de objeção.) Inversamente, se a relação de identidade for levada a se estender ao longo do tempo ou de mundos possíveis, como no padrão de tensão e conversa modal,então a possibilidade de mudança mereológica implica que a identidade das partes não é necessária para a identidade. Se um gato sobrevive à aniquilação de sua cauda, então o gato com cauda (antes do acidente) e o gato sem cauda (após o acidente) são numericamente os mesmos, apesar de terem partes apropriadas diferentes (Wiggins, 1980). Se qualquer um desses argumentos for aceito, então claramente (34) é um princípio muito forte para ser imposto à relação de paridade. E como (34) segue de (P.5), pode-se concluir queentão claramente (34) é um princípio forte demais para ser imposto à relação de partos. E como (34) segue de (P.5), pode-se concluir queentão claramente (34) é um princípio forte demais para ser imposto à relação de partos. E como (34) segue de (P.5), pode-se concluir que O EM deve ser rejeitado em favor da teoria mereológica mais fraca MM.

Uma discussão aprofundada dessas questões está além do escopo desta entrada. (Veja as entradas em Identidade e Persistência). Algumas observações, no entanto, estão em ordem. Em relação à suficiência da extensionalidade mereológica, ou seja, a condicional da direita para a esquerda no consequente de (34):

(35)

para todos
para todos

z (PP zx ↔ PP zy) → x = y,

deve-se notar que o primeiro tipo de objeção mencionado acima pode ser dispensado facilmente. As frases compostas pelas mesmas palavras, pode-se argumentar, são melhor descritas como símbolos de sentença diferentes, compostos por símbolos distintos dos mesmos tipos de palavras. Portanto, não há violação de (35) na oposição entre 'João ama Maria' e 'Maria ama João' (por exemplo), portanto, não há razão para rejeitar (P.5) por esses motivos. Além disso, mesmo com relação aos tipos, pode-se salientar que as frases 'João ama Maria' e 'Maria ama João' não compartilham todas as partes apropriadas. A string 'João ama', por exemplo, é incluída apenas na primeira frase. Quanto a exemplos mais concretos, como um ramo de flores, um sistema planetário ou uma formação de frota,deve-se notar que estes violam a extensionalidade apenas na medida em que nos envolvemos em conversas tensas ou contrafactuais. Pode ser plausível sustentar que um ramo de flores não seria (ou não mais) o que é se as flores estivessem dispostas de maneira diferente ou se estivessem espalhadas por todo o chão. Portanto, se as variáveis em (35) forem tomadas para abranger entidades existentes em momentos diferentes ou em mundos possíveis diferentes, então (35) pareceria muito forte. Não se segue, contudo, que tenhamos encontrado um contra-exemplo à extensionalidade se nos limitarmos a questões de identidade sincrônica no mundo real. (Essencialmente, isso significa tratar sentenças deou se eles estavam espalhados por todo o chão. Portanto, se as variáveis em (35) forem tomadas para abranger entidades existentes em momentos diferentes ou em mundos possíveis diferentes, então (35) pareceria muito forte. Não se segue, no entanto, que tenhamos encontrado um contra-exemplo à extensionalidade se nos limitarmos a questões de identidade sincrônica no mundo real. (Essencialmente, isso significa tratar sentenças deou se eles estavam espalhados por todo o chão. Portanto, se as variáveis em (35) forem tomadas para abranger entidades existentes em momentos diferentes ou em mundos possíveis diferentes, então (35) pareceria muito forte. Não se segue, no entanto, que tenhamos encontrado um contra-exemplo à extensionalidade se nos limitarmos a questões de identidade sincrônica no mundo real. (Essencialmente, isso significa tratar sentenças de EM como presente tensionado. Portanto, a pergunta interessante é: a mereologia perfeitamente geral, se faz essa mudança, requer lógica tensa e modal?)

Isso leva à segunda objeção à suficiência da extensionalidade, que é mais delicada. Como condição suficiente para a identidade individual (35) é realmente muito rigorosa. Ao mesmo tempo, abandoná-lo pode levar a uma multiplicação ontológica maciça: se o gato é diferente da cauda agregada mereológica + restante, também deve ser diferente da cabeça agregada + restante e do nariz agregado + restante, e assim por diante. Quantas entidades ocupam a região ocupada pelo gato? A que critério de princípios podemos recorrer para evitar essa ladeira escorregadia? (Similarmente,se um ramo de flores se distingue do mero agregado de flores individuais que o constituem, devido ao fato de possuírem propriedades modais diferentes - as últimas poderiam enquanto a primeira não poderia sobreviver ao rearranjo das partes -, então elas devem ser distinguidas também de muitos outros agregados mereológicos: aquele que consiste em rosa nº 1 + restante, o que consiste em tulipa nº 2 + restante e assim por diante.)

Em nome do EM, e para resistir a essa exuberância ontológica, deve-se notar que o apelo à lei de Leibniz nesse contexto deve ser cuidadosamente avaliado. Vamos 'Tibbles' nomear nosso gato e 'Tail' sua cauda, e vamos conceder a verdade de

(36) Tibbles podem sobreviver à aniquilação de Tail.

Existe, de fato, um sentido intuitivo no qual o seguinte também é verdadeiro:

(37) A quantidade de tecido felino que consiste em Tail e no resto do corpo de Tibbles não pode sobreviver à aniquilação de Tail.

No entanto, esse sentido intuitivo corresponde a uma leitura dicto da modalidade, onde a descrição em (37) tem escopo estreito:

(38) Em todo mundo possível, a quantidade de tecido felino que consiste em Tail e no resto do corpo de Tibbles tem Tail como uma parte adequada.

Nesta leitura (37), dificilmente é negociável (de fato, logicamente verdadeiro). No entanto, isso é irrelevante no presente contexto, pois (38) não equivale a uma atribuição de uma propriedade modal e não pode ser usado em conexão com a lei de Leibniz. (Compare o seguinte argumento falacioso: George W. Bush pode não ter sido um presidente dos Estados Unidos, o 43 º presidente dos Estados Unidos é necessariamente um presidente dos Estados Unidos, daí George W. Bush não é o 43 º presidente dos Estados Unidos.) Por outro lado, considere uma leitura de (37), em que a descrição tem amplo escopo:

(39) A quantidade de tecido felino que consiste em Tail e no resto do corpo de Tibbles tem o Tail como uma parte apropriada em todos os mundos possíveis.

Nesta leitura, o apelo à lei de Leibniz seria legítimo (qualquer dúvida sobre o status das propriedades modais) e poder-se-ia confiar na verdade de (36) e (37) (isto é, (39)) para concluir que Tibbles é distinto da quantidade relevante de tecido felino. No entanto, não há razão óbvia para que (37) deva ser considerado verdadeiro nesta leitura. Ou seja, não há razão óbvia para supor que a quantidade de tecido felino que no mundo real consiste em Tail e o resto do corpo de Tibbles - essa quantidade de tecido felino que agora repousa no tapete - não possa sobreviver à aniquilação de cauda. De fato, parece que qualquer razão a favor dessa alegação em relação à verdade de (36) teria que pressupor a distinção das entidades em questão, portanto, nenhum apelo a Leibniz 'A lei de s seria legítima para estabelecer a distinção (sob pena de circularidade). Isso não quer dizer que o contra-exemplo putativo de (35) esteja errado. Mas requer genuíno trabalho metafísico e torna a rejeição do forte princípio de suplementação (P.5) uma questão de genuína controvérsia filosófica. (Observações semelhantes se aplicariam a qualquer argumento destinado a rejeitar a extensionalidade com base em intuições modais concorrentes em relação à possibilidade de rearranjo mereológico, em vez de mudança mereológica, como no exemplo das flores. não poderia sobreviver ao rearranjo das partes - enquanto o agregado das flores individuais que a compõem - deve ser apoiado por uma genuína teoria metafísica sobre essas entidades.)Isso não quer dizer que o contra-exemplo putativo de (35) esteja errado. Mas requer genuíno trabalho metafísico e torna a rejeição do forte princípio de suplementação (P.5) uma questão de genuína controvérsia filosófica. (Observações semelhantes se aplicariam a qualquer argumento destinado a rejeitar a extensionalidade com base em intuições modais concorrentes em relação à possibilidade de rearranjo mereológico, em vez de mudança mereológica, como no exemplo das flores. não poderia sobreviver ao rearranjo das partes - enquanto o agregado das flores individuais que a compõem - deve ser apoiado por uma teoria metafísica genuína sobre essas entidades.)Isso não quer dizer que o contra-exemplo putativo de (35) esteja errado. Mas requer genuíno trabalho metafísico e torna a rejeição do forte princípio de suplementação (P.5) uma questão de genuína controvérsia filosófica. (Observações semelhantes se aplicariam a qualquer argumento destinado a rejeitar a extensionalidade com base em intuições modais concorrentes em relação à possibilidade de rearranjo mereológico, em vez de mudança mereológica, como no exemplo das flores. não poderia sobreviver ao rearranjo das partes - enquanto o agregado das flores individuais que a compõem - deve ser apoiado por uma teoria metafísica genuína sobre essas entidades.)Mas requer genuíno trabalho metafísico e torna a rejeição do forte princípio de suplementação (P.5) uma questão de genuína controvérsia filosófica. (Observações semelhantes se aplicariam a qualquer argumento destinado a rejeitar a extensionalidade com base em intuições modais concorrentes em relação à possibilidade de rearranjo mereológico, em vez de mudança mereológica, como no exemplo das flores. não poderia sobreviver ao rearranjo das partes - enquanto o agregado das flores individuais que a compõem - deve ser apoiado por uma teoria metafísica genuína sobre essas entidades.)Mas requer genuíno trabalho metafísico e torna a rejeição do forte princípio de suplementação (P.5) uma questão de genuína controvérsia filosófica. (Observações semelhantes se aplicariam a qualquer argumento destinado a rejeitar a extensionalidade com base em intuições modais concorrentes em relação à possibilidade de rearranjo mereológico, em vez de mudança mereológica, como no exemplo das flores. não poderia sobreviver ao rearranjo das partes - enquanto o agregado das flores individuais que a compõem - deve ser apoiado por uma teoria metafísica genuína sobre essas entidades.)(Observações semelhantes se aplicariam a qualquer argumento destinado a rejeitar a extensionalidade com base em intuições modais concorrentes em relação à possibilidade de rearranjo mereológico, em vez de mudança mereológica, como no exemplo das flores. não poderia sobreviver ao rearranjo das partes - enquanto o agregado das flores individuais que a compõem - deve ser apoiado por uma teoria metafísica genuína sobre essas entidades.)(Observações semelhantes se aplicariam a qualquer argumento destinado a rejeitar a extensionalidade com base em intuições modais concorrentes em relação à possibilidade de rearranjo mereológico, em vez de mudança mereológica, como no exemplo das flores. não poderia sobreviver ao rearranjo das partes - enquanto o agregado das flores individuais que a compõem - deve ser apoiado por uma genuína teoria metafísica sobre essas entidades.)

Por fim, considere a objeção contra (P.5) com base na intuição de que a igualdade de partes não é necessária para a identidade, ao contrário do condicional da esquerda para a direita no consequente de (34):

(40) x = y →

para todos
para todos

z (PP zx ↔ PP zy).

Essa objeção parte da consideração de que entidades comuns, como gatos e outros organismos vivos (e possivelmente outras entidades também, como estátuas e navios), sobrevivem a todo tipo de mudanças mereológicas graduais. Claramente, essa é uma objeção séria, a menos que essas entidades sejam interpretadas como entia succcessiva ficcional (Chisholm 1976). No entanto, a dificuldade não é peculiar à mereologia extensional. Pois (40) é apenas um corolário do axioma da identidade

(ID) x = y → (φ x ↔ φ y).

E é sabido que esse axioma exige revisões quando '=' recebe uma leitura diacrônica. Pode-se argumentar que essas revisões também afetarão o caso em questão e, nesse sentido, a objeção acima mencionada a (40) pode ser desconsiderada. Por exemplo, se o predicado básico da partição fosse reinterpretado como uma relação indexada no tempo (Thomson 1983), o problema desapareceria, pois a versão tensionada de (P.5) justificaria apenas a seguinte variante de (40):

(41) x = y →

para todos
para todos

t

para todos
para todos

z (PP t zx ↔ PP t zy).

Da mesma forma, o problema desapareceria se as variáveis em (40) fossem consideradas entidades quadridimensionais cujas partes podem se estender tanto no tempo quanto no espaço (Heller 1984, Sider 1997), ou se a própria identidade fosse interpretada como um contingente relação que pode ocorrer em alguns momentos, mas não em outros (Gibbard 1975, Myro 1985, Gallois 1998). Tais revisões podem ser consideradas como um indicador da neutralidade ontológica limitada da mereologia extensional. Mas sua motivação independente também testemunha o fato de que as controvérsias sobre a extensionalidade, e particularmente sobre (40), resultam de enigmas filosóficos genuínos e fundamentais e não podem ser avaliadas apelando para nossas intuições sobre o significado de 'parte'.

4. Princípios de fechamento

Vamos agora considerar a segunda maneira de estender M, correspondendo à idéia de que um domínio mereológico deve ser fechado sob várias operações.

4.1 Operações Financeiras

Tome primeiro as operações de soma e produto. (A soma mereológica às vezes é chamada de "fusão".) Se duas coisas se sobrepõem, podemos assumir que existe uma coisa menor da qual elas fazem parte - uma coisa que esgota exata e completamente ambas. Por exemplo, o polegar esquerdo e o dedo indicador se sobrepõem, pois ambos são partes de você. Existem outras coisas das quais elas fazem parte - por exemplo, sua mão esquerda. E podemos supor que exista uma coisa menor: a parte da mão esquerda que consiste exatamente no polegar esquerdo e no indicador. Da mesma forma, se duas coisas se sobrepõem (por exemplo, duas estradas que se cruzam), podemos assumir que existe uma coisa maior que faz parte de ambas (a parte comum em sua junção). Essas duas suposições podem ser expressas por meio dos seguintes axiomas, respectivamente:

(P.6)

U xy →

existe
existe

z

para todos
para todos

w (O wz ↔ (O wx

ou
ou

O wy))

Soma
(P.7)

O xy →

existe
existe

z

para todos
para todos

w (P wz ↔ (P wx e P wy))

produtos

Chame a extensão de M obtida adicionando (P.6) e (P.7) Mereologia de Fechamento (CM). O resultado da adição desses axiomas a MM ou EM produz, em vez disso, as correspondentes metereologias de fechamento mínimo ou extensional (CMM e CEM), respectivamente.

A idéia intuitiva por trás desses dois axiomas é melhor apreciada na presença de extensionalidade, pois nesse caso as entidades cuja existência condicional é afirmada por (P.6) e (P.7) devem ser únicas. Assim, se a linguagem tiver um operador de descrição 'ι', [4] o CEM suporta as seguintes definições:

(42)

x + y = df ι z

para todos
para todos

w (O wz ↔ (O wx

ou
ou

O wy))

(43)

x × y = df ι z

para todos
para todos

w (P wz ↔ (P wx e P wy))

e (P.6) e (P.7) podem ser reformulados de forma mais perspicaz

(P.6 ')

U xy →

existe
existe

z (z = x + y)

(P.7 ')

O xy →

existe
existe

z (z = x × y).

Em outras palavras, quaisquer duas coisas sobrepostas têm uma soma merelógica única e quaisquer duas coisas sobrepostas têm um produto único. Na verdade, a conexão com a extensionalidade é mais sutil. Na presença do Princípio de Suplementação Fraco (P.4), o fechamento do produto (P.7) implica o Princípio de Suplementação Forte (P.5). Assim, o CMM acaba sendo a mesma teoria que o CEM.

Pode-se considerar a adição de mais postulados de fechamento. Por exemplo, pode ser razoável exigir que um domínio mereológico seja fechado sob as operações de diferença mereológica e complemento mereológico. Na presença de extensionalidade, essas noções podem ser definidas da seguinte forma:

(44)

x - y = df ι z

para todos
para todos

w (P wz ↔ (P wx & ¬O wy))

(45)

~ x = df ι z

para todos
para todos

w (P wz ↔ ¬O wx)

Os princípios de fechamento correspondentes podem, portanto, ser declarados assim:

(P.8)

¬P yx →

existe
existe

z (z = y - x)

Restante
(P.9)
existe
existe

z ¬P zx →

existe
existe

z (z = ~ x)

Complementação

O primeiro deles é equivalente a (P.5), mas o segundo é independente de qualquer um dos princípios considerados até agora. Em muitas versões, uma teoria de fechamento também envolve um postulado no sentido de que o domínio tem um limite superior - ou seja, há algo do qual tudo faz parte:

(P.10)
existe
existe

z

para todos
para todos

x P xz

Topo

Novamente, na presença de extensionalidade, esse "indivíduo universal" é único e facilmente definido:

(46) U = df ι z

para todos
para todos

x P xz

A existência de U torna a estrutura algébrica da CEM ainda mais limpa, pois garante que duas entidades se sobrepõem e, portanto, tenham uma soma. Assim, na presença de (P.10) o antecedente em (P.6) pode ser descartado. Por outro lado, poucos autores chegaram a postular a existência de uma “entidade nula” que faz parte de tudo:

(P.11)
existe
existe

z

para todos
para todos

x P zx

Inferior

(Duas exceções são Martin 1965 e Bunt 1985; ver também Bunge 1966 para uma teoria com vários indivíduos nulos.) Sem uma entidade desse tipo, que dificilmente poderia ser aceita, exceto por boas razões algébricas, a existência de um produto mereológico nem sempre é garantida. Portanto (P.7) deve permanecer na forma condicional. Da mesma forma, diferenças e complementos podem não ser definidos - por exemplo, em relação ao universo U. Portanto, os princípios de fechamento correspondentes (P.8) e (P.9) também devem permanecer na forma condicional.

4.2 Fusões irrestritas

Na literatura, as merelogias de fechamento são tão controversas quanto as merereologias extensionais, embora por razões bastante independentes. Vamos atender a esses motivos em breve. Primeiro, porém, notemos a possibilidade de adicionar condições de fechamento infinitas. Pode-se permitir somas de conjuntos arbitrários de objetos não vazios e, conseqüentemente, também produtos de conjuntos arbitrários de objetos sobrepostos (o produto de todos os membros de uma classe A é apenas a soma de todas as coisas que fazem parte de todos os membros de UMA). Não é imediatamente óbvio como isso pode ser feito se alguém quiser evitar o comprometimento com as classes e se apegar a uma teoria comum de primeira ordem - por exemplo, sem recorrer ao mecanismo da quantificação plural de Boolos (1984). De fato, em algumas teorias clássicas, como as de Tarski (1929) e Leonard e Goodman (1940),a formulação dessas condições envolve referência explícita às classes. (Goodman produziu uma versão sem classes do cálculo de indivíduos em 1951.) Podemos, no entanto, evitar essa referência confiando em um esquema de axioma que envolve apenas predicados ou fórmulas abertas. Especificamente, podemos dizer que, para cada propriedade ou condição satisfeita (existe uma entidade que consiste em todas as coisas que satisfazem). Como uma linguagem comum de primeira ordem possui um suprimento inumerável de fórmulas abertas, no máximo muitas classes (em qualquer domínio) podem ser especificadas dessa maneira. Mas essa limitação é, de certa forma, insignificante, especialmente se alguém estiver inclinado a negar que as classes existem, exceto como nomina. Chegamos, assim, ao que passou a ser conhecido como Mereologia Clássica ou Geral ((Goodman produziu uma versão sem classes do cálculo de indivíduos em 1951.) Podemos, no entanto, evitar essa referência confiando em um esquema de axioma que envolve apenas predicados ou fórmulas abertas. Especificamente, podemos dizer que, para cada propriedade ou condição satisfeita (existe uma entidade que consiste em todas as coisas que satisfazem). Como uma linguagem comum de primeira ordem tem um suprimento inumerável de fórmulas abertas, no máximo de forma indiscutível muitas classes (em qualquer domínio) podem ser especificadas dessa maneira. Mas essa limitação é, de certa forma, insignificante, especialmente se alguém estiver inclinado a negar que as classes existem, exceto como nomina. Chegamos, assim, ao que passou a ser conhecido como Mereologia Clássica ou Geral ((Goodman produziu uma versão sem classes do cálculo de indivíduos em 1951.) Podemos, no entanto, evitar essa referência confiando em um esquema de axioma que envolve apenas predicados ou fórmulas abertas. Especificamente, podemos dizer que, para cada propriedade ou condição satisfeita (existe uma entidade que consiste em todas as coisas que satisfazem). Como uma linguagem comum de primeira ordem possui um suprimento inumerável de fórmulas abertas, no máximo muitas classes (em qualquer domínio) podem ser especificadas dessa maneira. Mas essa limitação é, de certa forma, insignificante, especialmente se alguém estiver inclinado a negar que as classes existem, exceto como nomina. Chegamos, assim, ao que passou a ser conhecido como Mereologia Clássica ou Geral (evite essa referência confiando em um esquema de axioma que envolva apenas predicados ou fórmulas abertas. Especificamente, podemos dizer que, para cada propriedade ou condição satisfeita (existe uma entidade que consiste em todas as coisas que satisfazem). Como uma linguagem comum de primeira ordem possui um suprimento inumerável de fórmulas abertas, no máximo muitas classes (em qualquer domínio) podem ser especificadas dessa maneira. Mas essa limitação é, de certa forma, insignificante, especialmente se alguém estiver inclinado a negar que as classes existem, exceto como nomina. Chegamos, assim, ao que passou a ser conhecido como Mereologia Clássica ou Geral (evite essa referência confiando em um esquema de axioma que envolva apenas predicados ou fórmulas abertas. Especificamente, podemos dizer que, para cada propriedade ou condição satisfeita (existe uma entidade que consiste em todas as coisas que satisfazem). Como uma linguagem comum de primeira ordem tem um suprimento inumerável de fórmulas abertas, no máximo de forma indiscutível muitas classes (em qualquer domínio) podem ser especificadas dessa maneira. Mas essa limitação é, de certa forma, insignificante, especialmente se alguém estiver inclinado a negar que as classes existem, exceto como nomina. Chegamos, assim, ao que passou a ser conhecido como Mereologia Clássica ou Geral (no máximo, muitas classes (em qualquer domínio) podem ser especificadas dessa maneira. Mas essa limitação é, de certa forma, insignificante, especialmente se alguém estiver inclinado a negar que as classes existem, exceto como nomina. Chegamos, assim, ao que passou a ser conhecido como Mereologia Clássica ou Geral (no máximo, muitas classes (em qualquer domínio) podem ser especificadas dessa maneira. Mas essa limitação é, de certa forma, insignificante, especialmente se alguém estiver inclinado a negar que as classes existem, exceto como nomina. Chegamos, assim, ao que passou a ser conhecido como Mereologia Clássica ou Geral (GM), obtido de M adicionando o esquema axioma

(P.12)
existe
existe

x φ →

existe
existe

z

para todos
para todos

y (O yz

existe
existe

x (φ & O yx))

Fusão irrestrita

(onde, novamente, φ é qualquer fórmula no idioma). O resultado da adição desse esquema a EM ou MM produz teorias mereológicas correspondentemente mais fortes. De fato, tanto MM quanto EM estendem-se ao mesmo fortalecimento extensional do GM - a teoria da Mereologia Extensional Geral, ou GEM -, já que (P.12) implica (P.7) e (P.7) + (P. 4) implicar (P.5) (Simons 1987: 31). Também está claro que GM e GEM são extensões de CM e CEM, pois (P.6) também segue de (P.12). O espaço lógico de todas essas teorias pode ser representado esquematicamente, como na Figura 2.

Figura 2
Figura 2

Figura 2. Diagrama Hasse de teorias mereológicas (de mais fraca para mais forte, subindo).

Vale a pena observar que, se o princípio de extensionalidade for atendido, novamente, no máximo, uma entidade poderá satisfazer o conseqüente de (P.12). Assim, no GEM, podemos definir as operações de soma geral (σ) e produto (π):

(47)

σ x φ = df ι z

para todos
para todos

y (O yz ↔

existe
existe

x (φ & O yx))

(48)

π x φ = df σ z

para todos
para todos

x (φ → P zx).

(P.12) torna-se

(P.12 ')

existe
existe

x φ →

existe
existe

z (z = σ x φ),

que implica

(49) (

existe
existe

x φ e

existe
existe

y

para todos
para todos

x (φ → P yx)) →

existe
existe

z (z = π x φ),

e temos as seguintes identidades de definição sempre que os pressupostos existenciais relevantes forem atendidos:

(50)

x + y = σ z (P zx

ou
ou

P zy)

(51) x × y = σ z (P zx e P zy)
(52) x - y = σ z (P zx e ¬O zy)
(53) ~ x = σ z ¬ O zx
(54) U = σ z P zz

(Pode ser instrutivo comparar essas identidades com as definições das noções teóricas dos conjuntos correspondentes, com a abstração dos conjuntos no lugar do operador de fusão.) Isso nos dá a força total do GEM, que é de fato conhecido por ter um rico algoritmo algébrico. estrutura: Tarski (1935) provou que a relação de partição axiomatizada pelo GEM tem as mesmas propriedades que a relação de inclusão de conjuntos - mais precisamente, como a relação de inclusão restrita ao conjunto de todos os subconjuntos não vazios de um determinado conjunto, o que é para dizer uma álgebra booleana completa com o elemento zero removido. (Compare Clay 1974 para um resultado correspondente em relação à mereologia de Leśniewski, que não se baseia na lógica clássica.)

Várias outras formulações equivalentes de GEM também estão disponíveis, usando diferentes primitivas ou diferentes conjuntos de axiomas. Por exemplo, é um teorema de toda mereologia extensional que partituras equivalem à inclusão de overlappers:

(55) P xy

para todos
para todos

z (O zx → O zy).

Daqui resulta que, em uma mereologia extensional, 'O' poderia ser usado como primitivo e 'P' definido em conformidade. De fato, a teoria definida por postular (55) juntamente com o Fusion Axiom (P.12 ') e o Antisymmetry Axiom (P.2) é equivalente ao GEM, mas mais elegante. Outra axiomatização elegante do GEM, devido a Tarski (1929), é obtida tomando como postulado apenas o Axioma da Transitividade (P.3) e o Axioma da Fusão Única (P.12 ').

4.3 Composição, Existência e Identidade

A força algébrica do GEM, e de suas variantes financeiras mais fracas, reflete postulados mereológicos substantivos que alguns podem achar pouco atraentes. De fato, como antecipado acima, as merelogias de fechamento são tão controversas - filosoficamente - quanto as mereologias extensionais. Duas objeções, em particular, foram consideradas seriamente na literatura. A primeira é que essas teorias são ontologicamente exuberantes - elas envolvem um aumento significativo no número de entidades a serem incluídas em um inventário do mundo, contrariando o pensamento de que a mereologia deve ser "ontologicamente inocente". A segunda objeção é que eles são ontologicamente extravagantes - envolvem um compromisso com uma riqueza de entidades que são totalmente contra-intuitivas e para as quais não temos lugar em nosso esquema conceitual, ao contrário do pensamento de que a mereologia deve ser “ontologicamente neutra”.

Para começar com a primeira objeção, não há dúvida de que um modelo C (E) M típico (para não mencionar um modelo G (E) M)) é mais densamente povoado que um (E) M (ou MM correspondente)) modelo. Se o comprometimento ontológico de uma teoria é medido exclusivamente em termos quineanos - por meio do ditado “ser deve ser um valor de uma variável vinculada” - então claramente uma teoria mereológica aceita um princípio de fechamento como (P.6), (P.7) ou (P.12) envolverá maiores compromissos ontológicos do que uma teoria que rejeita tais princípios, e pode-se achar isso desagradável. Isto é particularmente verdadeiro para teorias que aceitam os princípios da soma (P.7) ou (P.12), mas não o postulado da Suplementação Forte (P.5) - daí o princípio da extensionalidade (34) - para então a exuberância ontológica de tais teorias podem produzir uma multiplicação massiva, como visto na seção 3.2. Existe, portanto,Não há dúvida de que a aceitação de um princípio de fechamento exige defesa filosófica substantiva e dificilmente pode ser motivada exclusivamente em termos do significado de 'parte'. No entanto, dois tipos de comentários poderiam ser oferecidos em nome de GEM e de suas variantes financeiras mais fracas.

Primeiro, pode-se observar que a exuberância ontológica associada aos princípios relevantes de fechamento não é substantiva - que o aumento de entidades no domínio da quantificação de uma mereologia de fechamento não envolve compromissos adicionais substanciais além daqueles já envolvidos antes do fechamento. Talvez isso seja melhor apreciado no caso de um princípio de fechamento como (P.7), no sentido de que quaisquer duas entidades sobrepostas têm um produto mereológico. Afinal, um produto não adiciona nada. Mas o mesmo poderia ser dito com respeito a princípios como (P.6) e (P.12), que afirmam a existência de somas mereológicas finitárias ou infinitas. Pelo menos, isso parece razoável na presença de extensionalidade. Pois, nesse caso, pode-se argumentar que mesmo uma soma não é, em certo sentido, nada "além" de suas partes constituintes. Como David Lewis colocou:

Dado um compromisso prévio com gatos, digamos, um compromisso com fusões de gatos não é um compromisso adicional. A fusão não é nada além dos gatos que a compõem. São apenas eles. Eles são apenas isso. Tome-os juntos ou tome-os separadamente, os gatos são a mesma porção da Realidade de qualquer maneira. (1991: 81)

Assim, o 'são' da composição mereológica - a relação múltipla das partes com um todo - é para Lewis uma espécie de forma plural do 'é' de identidade. Para alguns autores (por exemplo, Baxter 1988), a composição mereológica é mais do que análoga à identidade comum. É identidade. A fusão é apenas as partes contadas frouxamente; é estritamente uma multidão e vagamente uma única coisa. Esta é a tese conhecida na literatura como "composição é identidade". E se essa visão for aceita, pode-se falar de uma poderosa teoria mereológica como a GEMafinal de contas, como "ontologicamente inocente" - não apenas na medida em que é neutro em termos de tópico e independente de domínio, mas também na medida em que não possui nenhum compromisso ontológico adicional além daqueles que já vêm com a escolha de qualquer modelo para um modelo mais fraco. teoria como EM. (Para mais discussão sobre esse assunto, ver van Inwagen 1994, Yi 1999, Merricks 2000, Varzi 2000.)

Em segundo lugar, pode-se observar que a objeção em questão não está correta. Se, dados dois objetos x 1 e x 2, o semblante de uma soma x 1 + x 2 for considerado um caso de comprometimento ontológico adicional, então, a um objeto mereologicamente composto y 1 + y 2 o semblante de suas partes apropriadas y 1 e y 2 pode também ser considerada como um caso de mais compromisso ontológico. Afinal, todo objeto é distinto de suas partes apropriadas. Portanto, a objeção em questão também se aplicaria no último caso - haveria exuberância ontológica no reconhecimento de y 1 e y 2junto com y 1 + y 2. No entanto, isso não tem nada a ver com o axioma da soma; é, antes, uma questão de saber se existe algum sentido em financiar um todo junto com suas partes. E se a resposta for negativa, parece haver pouco uso para a mereologia em tribunal. Do ponto de vista da presente objeção, parece que o único relato completamente parcimonioso seria aquele que rejeita, não apenas algumas somas logicamente admissíveis, mas qualquer soma desse tipo. As únicas entidades existentes seriam átomos mereológicos, entidades sem partes apropriadas. E esse relato, embora perfeitamente defensável, seria meramente desinteressante: nada faria parte de qualquer outra coisa e a partição entraria em colapso para a identidade.(Esse relato é às vezes chamado de niilismo mereológico - em contraste com o universalismo mereológico representado pela adesão ao princípio da composição irrestrita. A terminologia é de van Inwagen, 1990: 72ss.[5] Para uma defesa detalhada do niilismo, ver Rosen e Dorr 2002.)

A segunda linha de objeção às mereologias de fechamento - no sentido de que elas são ontologicamente extravagantes - pode muito bem ser chamada de objeção por contra-intuitividade e se aplica especialmente a teorias que aceitam o princípio da fusão irrestrita (P.12). De acordo com essa objeção, é certo considerar certas somas mereológicas como entidades de boa-fé - por exemplo, quando os somatórios constituem um objeto ou evento comum. Mesmo quando os summands são objetos materiais espacialmente dispersos (por exemplo), às vezes pode ser razoável falar deles em conjunto como formando uma coisa, como quando falamos do novo biquíni de Mary, da minha cópia do Recherche de Proust, do sistema solar ou de alguma inscrição impressa que consiste em tokens de letras separados (ver Cartwright 1975). No entanto - diz a objeção - um princípio como (P.12) nos forçaria a aceitar todos os tipos de objetos dispersos, todos os tipos de entidades estranhas que consistem em verbas dispersas ou mal sortidas, como você e eu, meu gato e seu guarda-chuva, ou o pé esquerdo de Chisholm e o topo do Império Prédio do Estado - para não mencionar as exigências categoricamente distintas, como o pé esquerdo de Chisholm e o passeio de Sebastian, sua vida e meu restaurante chinês favorito, ou a cor vermelha e o número 2. Essas “somas” não mostram nenhum grau de integridade e existem parece não haver motivos para tratá-los como um todo unificado. Parece não haver qualquer razão para postulá-las sobre suas partes constituintes e, de fato, o bom senso as desconsidera completamente. (Essa objeção remonta ao debate inicial sobre o cálculo dos indivíduos: ver Lowe 1953 e, novamente, Rescher 1955,com respostas em Goodman 1956, 1958; para formulações mais recentes, ver, por exemplo, Wiggins 1980, Chisholm 1987 e van Inwagen 1987, 1990.)

Um simpatizante dessa objeção não precisa aderir a uma posição niilista em relação à composição mereológica. Mais simplesmente, a objeção reflete a visão intuitiva de que apenas existem alguns compostos mereológicos - nem todos. E, sem dúvida, o senso comum apóia esse tipo de intuição. Apesar disso, dois tipos de respostas foram oferecidas em nome de (P.12), ambas bastante populares na literatura. A primeira resposta é que a questão de quais fusões existem (o que van Inwagen 1990 chama de “questão de composição geral”) não pode ser respondida com sucesso de maneira restrita. Certamente, pode muito bem ser que sempre que algumas entidades componham uma maior, é apenas um fato bruto que o façam (Markosian 1998b). Mas se estamos descontentes com fatos brutos,então, o desafio é apresentar uma especificação das circunstâncias sob as quais os fatos são obtidos, de modo a substituir (P.12) por uma versão restrita. E, de acordo com a resposta em questão, essa não é uma opção viável. Qualquer tentativa de acabar com fusões estranhas restringindo a composição teria que acabar com muito mais além das entidades estranhas; pois a estranheza ocorre em graus, enquanto partidez e existência não podem ser uma questão de grau. Nas palavras de David Lewis:Nas palavras de David Lewis:Nas palavras de David Lewis:

A questão de saber se a composição ocorre em um determinado caso, se uma determinada classe tem ou não uma soma mereológica, pode ser declarada em uma parte da linguagem onde nada é vago. Portanto, não pode ter uma resposta vaga. … Nenhuma restrição de composição pode ser vaga. Mas, a menos que seja vago, ele não se encaixa nos desiderados intuitivos. Portanto, nenhuma restrição à composição pode servir às intuições que a motivam. Portanto, a restrição seria gratuita. (1986: 213)

(Essa linha de argumento, ou alguma versão modificada dela, é particularmente agradável para autores que aderem a uma ontologia quadridimensional de objetos materiais; ver, por exemplo, Heller 1990: 49f, Jubien 1993: 83ff; Sider 2001: 121ff e Hudson 2001: 99ss.)

A segunda resposta em nome de (P.12) é que a objeção se baseia em vieses psicológicos que não deveriam ter relação com questões ontológicas. É verdade que podemos nos sentir desconfortáveis em tratar fusões inéditas como entidades de boa-fé, mas isso não é motivo para acabar com elas completamente. Podemos ignorar essas coisas quando contabilizamos as coisas com as quais nos preocupamos em contextos comuns, mas isso não quer dizer que elas não existem. Raramente falamos com nossos quantificadores amplamente abertos; normalmente quantificamos sujeitos a restrições, como quando dizemos "Não há cerveja", o que significa que não há cerveja na geladeira. Portanto, nesse sentido, podemos dizer que não há guarda-chuvas para gatos e pés para passear - realmente não existem tais coisas entre as coisas com as quais nos preocupamos. Mas eles estão todos lá, como a cerveja quente na garagem. Como James Van Cleve colocou:

Mesmo se alguém apresentasse uma fórmula que zombasse de todos os julgamentos comuns sobre o que conta como unidade e o que não conta, o que isso mostraria? Não … que existam na natureza objetos (e somente esses) que respondem à fórmula. Os fatores que orientam nossos julgamentos de unidade simplesmente não têm esse tipo de significado ontológico. (1986: 145)

Nesta perspectiva, o endosso de (P.12) certamente não é neutro em relação à questão do que existe. Mas perde seu sabor de contra-intuitividade, especialmente se combinado com o relato de “composição como identidade” mencionado em relação à primeira objeção acima.

Nos últimos anos, novas objeções foram levantadas contra as mereologias de fechamento - especialmente contra a força total do GEM. Isso inclui objeções ao efeito de que a composição irrestrita não se encaixa bem com certas intuições fundamentais sobre persistência ao longo do tempo (van Inwagen 1990, 75ss), ou que implica que uma entidade deve necessariamente ter as partes que possui (Merricks 1999), ou que é incompatível com certos modelos de espaço (Forrest 1996b), ou que - ou o princípio de fechamento mais fraco (P.10) - leva a paradoxos semelhantes aos que afetam a ingênua teoria dos conjuntos (Bigelow, 1996). Tais objeções ainda são objeto de controvérsia em andamento e um exame detalhado está além do escopo desta entrada. Alguma discussão sobre o primeiro ponto, no entanto, já está disponível na literatura: ver especialmente Rea 1998, McGrath 1998, 2001 e Hudson 2001: 93ff. Hudson 2001: 95ff também contém uma discussão sobre o último ponto.

5. Mereologias atomísticas e sem átomos

Concluímos esta revisão da mereologia considerando brevemente a questão do atomismo. Mereologicamente, um átomo (ou "simples") é uma entidade sem partes apropriadas, independentemente de ser pontual ou ter extensão espacial (e / ou temporal):

(56) A x = df ¬

existe
existe

y PP yx.

Existem tais entidades? E se houver, tudo é inteiramente composto de átomos? Tudo inclui pelo menos alguns átomos? Ou tudo é feito de lixo sem átomos? Essas são questões profundas e difíceis, que têm sido o foco da investigação filosófica desde os primeiros dias da filosofia e têm sido o centro do palco também em muitas disputas recentes em mereologia (ver, por exemplo, van Inwagen 1990, Sider 1993, Zimmerman 1996, Markosian). 1998a, Mason 2000.) Aqui nos limitaremos a apontar que todas as opções são logicamente compatíveis com os princípios mereológicos examinados até agora e, portanto, podem ser tratadas de forma independente.

As duas opções principais, segundo as quais não há átomos, ou que tudo é constituído por átomos, correspondem aos seguintes postulados, respectivamente:

(P.13) XA x Atomlessness
(P.14)
existe
existe

y (A y & P yx).

Atomicidade

Esses postulados são mutuamente incompatíveis, mas, isolados, podem ser consistentemente adicionados a qualquer teoria mereológica X considerada nas seções anteriores. Adicionar (P.14) produz uma versão Atomistic correspondente, AX. Por outro lado, a adição (P.13) produz uma versão Atomless, AX, na qual a existência de um nível inferior de entidades mereológicas é rejeitada - tudo é composto de "lixo sem átomos". Como a finitude, juntamente com a anti-simetria da partitura (P.2), implica em conjunto que a decomposição em partes deve finalmente terminar, é claro que qualquer modelo finito de M (e a fortiori de qualquer extensão de M) deve ser atomístico. Assim, uma mereologia sem átomos AXadmite apenas modelos de cardinalidade infinita. (Um mundo que contém maravilhas como o Aleph de Borges, onde a partidez não é antissimétrica, pode, por outro lado, ser finito e, ainda assim, sem átomos.) Um exemplo desse modelo, que estabelece a consistência de qualquer teoria sem átomos até o AGEM, é fornecido pelo periódico aberto. conjuntos de um espaço euclidiano, com 'P' interpretado como inclusão de conjuntos (Tarski 1935). Por outro lado, a consistência de qualquer teoria atomística é garantida pelo modelo trivial de um elemento (com 'P' interpretado como identidade), embora toda a força do AGEM seja melhor apreciada considerando-se que é isomórfica com uma álgebra booleana atômica. com o elemento zero removido.

Destaca-se que as mereologias atomísticas admitem simplificações significativas nos axiomas. Por exemplo, o AEM pode ser simplificado substituindo (P.5) e (P.14) por

(P.5 ') ¬P xy →

existe
existe

z (A z & P zx & ¬P zy),

por sua vez, implica a seguinte variante atomística da tese da extensionalidade (34):

(57) x = y ↔

para todos
para todos

z (A z → (P zx ↔ P zy))

Assim, qualquer mereologia extensional atomística é verdadeiramente hiperextensional no sentido de Goodman: coisas construídas a partir dos mesmos átomos são idênticas. Da mesma forma, o AGEM poderia ser simplificado substituindo o postulado Unrestricted Fusion (P.12) por

(P.12 ″)

existe
existe

x φ →

existe
existe

z

para todos
para todos

y (A y → (P yz

existe
existe

x (φ & P yx))).

Uma questão interessante, discutida em detalhes no final da década de 1960 (Yoes 1967, Eberle 1968, Schuldenfrei 1969) e abordada mais recentemente por Simons (1987: 44f), é se existe algum análogo sem átomo de (57). Existe algum predicado que possa desempenhar o papel de 'A' em uma mereologia sem átomos? Tal predicado identificaria a "base" (no sentido topológico) do sistema e, portanto, permitiria à mereologia extrair as intuições hiperextimensionais de Goodman, mesmo na ausência de átomos. Essa questão é particularmente significativa do ponto de vista nominalista, mas possui ramificações profundas também em outros campos (por exemplo, em conexão com a concepção whiteheadiana de espaço mencionada na seção 3.1, segundo a qual o espaço não contém partes de dimensões inferiores, como pontos ou limites). elementos, ver Forrest 1996a e Roeper 1997). Em casos especiais, não há dificuldade em fornecer uma resposta positiva. Por exemplo, no No modelo AGEM, que consiste nos subconjuntos regulares abertos da linha real, os intervalos abertos com pontos finais racionais formam uma base no sentido relevante. No entanto, não está claro se uma resposta geral pode ser aplicada a qualquer tipo de domínio, independentemente de sua composição específica. Caso contrário, a única opção parece ser uma conta em que a noção de "base" é relativizada para entidades de um determinado tipo. Na terminologia de Simons, poderíamos dizer que os G-formam uma base para os F-se as seguintes variantes de (P.14) e (P.5 ') forem satisfeitas:

(P.14 *)

F x →

existe
existe

y (G y & P yx))

(P.5 *)

(F x & F y) → (¬P xy →

existe
existe

z (G z & P zx e ¬P zy)).

Uma mereologia atomística corresponderia ao caso limite em que 'G' é identificado com 'A' para todas as opções de 'F'. Em uma mereologia sem átomos, por outro lado, a escolha da base dependeria cada vez do nível de granularidade definido pela especificação relevante de 'F'.

Entre as duas opções principais correspondentes a Atomicidade e ausência de átomo, é claro que há espaço para posições intermediárias. Por exemplo, pode-se afirmar que existem átomos, embora nem tudo precise ter uma decomposição atômica completa, ou pode-se afirmar que há lamaçal sem átomo, embora nem tudo precise ser pesado. (Esta última posição é defendida, por exemplo, por Zimmerman, 1996.) Não é difícil fornecer uma declaração formal dessas opiniões:

(P.15)
existe
existe

x A x

Atomicidade fraca
(P.16)
existe
existe

x

para todos
para todos

y (P yx → yA y)

Fraco Atomlessness

No entanto, no momento, nenhuma investigação minuciosa dos sistemas resultantes foi realizada.

Mencionemos também, no fechamento, a opção correspondente à posição niilista mencionada na seção anterior. Esta opção pode ser expressa pelo seguinte postulado simples:

(P.17) A x Niilismo

É fácil verificar se (P.17) é compatível com todos os princípios mereológicos considerados até agora, exceto os postulados de ausência de átomos (P.13) e (P.16). Por outro lado, devido ao seguinte corolário imediato

(58) P xy x = y,

também é aparente que nenhum sistema resultante da adição deste postulado mereceria a "mereologia" apelativa, exceto em um sentido trivial. Niilismo é, de fato, uma rejeição da mereologia. É uma rejeição da teoria das relações de paridade, como a mereologia a entende - não uma teoria de identidades nuas, mas das relações de parte para todo e das relações de parte para parte dentro de um todo.

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Outros recursos da Internet

Stanislaw Lesniewski (da página de filosofia polonesa - editada por Arianna Betti)

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