Luitzen Egbertus Jan Brouwer

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Luitzen Egbertus Jan Brouwer

Publicado pela primeira vez em 26 de março de 2003; revisão substantiva dom 2005-09-25

Matemático e filósofo holandês que viveu de 1881 a 1966. Ele é tradicionalmente conhecido como 'LEJ Brouwer', com iniciais completas, mas foi chamado de 'Bertus' por seus amigos.

Na matemática clássica, ele fundou a topologia moderna estabelecendo, por exemplo, a invariância topológica da dimensão e o teorema do ponto fixo. Ele também deu a primeira definição correta de dimensão.

Na filosofia, sua ideia é o intuicionismo, uma base revisionista da matemática. O intuicionismo vê a matemática como uma atividade livre da mente, independente de qualquer linguagem ou domínio platônico de objetos, e, portanto, baseia a matemática em uma filosofia da mente. As implicações são duplas. Primeiro, leva a uma forma de matemática construtiva, na qual grandes partes da matemática clássica são rejeitadas. Segundo, a dependência de uma filosofia da mente introduz características ausentes da matemática clássica e de outras formas de matemática construtiva: diferentemente dessas, a matemática intuicionista não é uma parte adequada da matemática clássica.

  • 1. A Pessoa
  • 2. Cronologia
  • 3. Breve Caracterização do Intuicionismo de Brouwer
  • 4. Desenvolvimento do intuicionismo de Brouwer
  • Bibliografia
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. A Pessoa

Brouwer estudou na Universidade (municipal) de Amsterdã, onde seus professores mais importantes foram Diederik Korteweg (da equação Korteweg-de Vries) e, principalmente filosoficamente, Gerrit Mannoury. Os principais alunos de Brouwer foram Maurits Belinfante e Arend Heyting; o último, por sua vez, foi professor de Anne Troelstra e Dirk van Dalen. As aulas de Brouwer também tiveram a participação de Max Euwe, o último campeão mundial de xadrez, que publicou um artigo teórico sobre xadrez do ponto de vista intuicionista (Euwe, 1929), e que mais tarde faria o discurso fúnebre de Brouwer. Entre os assistentes de Brouwer estavam Heyting, Hans Freudenthal, Karl Menger e Witold Hurewicz, sendo que os dois últimos não tinham uma inclinação intuicionista. O apoiante mais influente de Brouwer 'O intuicionismo fora da Holanda na época era, por vários anos, Hermann Weyl.

Brouwer parece ter sido um homem independente e brilhante, com altos padrões morais, mas com um senso exagerado de justiça, tornando-o às vezes impugnante. Como conseqüência, em sua vida ele lutou energicamente muitas batalhas.

De 1914 a 1928, Brouwer foi membro do conselho editorial da Mathematische Annalen e foi o editor fundador do Compositio Mathematica, que apareceu pela primeira vez em 1934.

Ele foi membro da Academia Real Holandesa de Ciências, da Royal Society de Londres, da Preußische Akademie der Wissenschaften em Berlim e da Akademie der Wissenschaften em Göttingen.

Brouwer recebeu doutorado honorário das universidades de Oslo (1929) e Cambridge (1954), e foi nomeado Cavaleiro da Ordem do Leão Holandês em 1932.

O arquivo de Brouwer é mantido no Departamento de Filosofia da Universidade de Utrecht, na Holanda. Está em preparação uma edição de correspondência e manuscritos.

2. Cronologia

1881 - 27 de fevereiro, nascido em Overschie (desde 1941 parte de Roterdã), na Holanda.

1897 Entra na Universidade de Amsterdã para estudar matemática e física.

1904 Obtém o título de doutorandus (mestrado) em matemática; primeira publicação (sobre rotações no espaço quadridimensional); casa com Lize de Holl (nascida em 1870). Eles não teriam filhos, mas Lize teve uma filha de um casamento anterior. Eles se mudam para Blaricum, perto de Amsterdã, onde viveriam pelo resto de suas vidas, embora também tenham casas em outros lugares.

1907 Obtém o título de doutor com dissertação Over de Grondslagen der Wiskunde (Sobre os fundamentos da matemática), sob a supervisão de Korteweg na Universidade de Amsterdã. Isso marca o início de sua reconstrução intuicionista da matemática. Mais tarde naquele ano, a esposa de Brouwer se forma e se torna farmacêutica. Durante toda a sua vida, Brouwer fez a contabilidade para ela e preencheu os formulários de impostos, e às vezes ele ajudava atrás do balcão.

1908 Primeira participação em uma conferência internacional, a Quarta Conferência Internacional de Matemáticos em Roma.

1909-1913 Em quatro anos muito produtivos, Brouwer funda a topologia moderna, como um capítulo da matemática clássica. Destaques: invariância de dimensão, teorema de ponto fixo, grau de mapeamento, definição de dimensão. Uma pausa em seu programa intuicionista.

1909 Torna-se professor particular (professor não remunerado) na Universidade de Amsterdã. Palestra inaugural 'Het Wezen der Meetkunde' ('A natureza da geometria').

1909 Encontra Hilbert na estância balnear holandesa de Scheveningen. Brouwer admira muito Hilbert e descreve o encontro em uma carta a um amigo como "um belo novo raio de luz através da minha vida" (Brouwer & Adama van Scheltema, 1984, p.100). Vinte anos depois, a relação de Brouwer com Hilbert ficaria azeda.

1911 Primeira aparição dos nomes 'formalismo' e 'intuicionismo' nos escritos de Brouwer, em uma revisão do livro de Gerrit Mannoury, Methodologisches und Philosophisches zur Elementar-Mathematik (observações metodológicas e filosóficas sobre matemática elementar) de 1909.

1912 Membro eleito da Academia Real de Ciências (durante a Segunda Guerra Mundial 'Academia Holandesa de Ciências', depois 'Academia Real Holandesa de Ciências').

1912 - Nomeado professor extraordinário no campo da "teoria dos conjuntos, teoria das funções e axiomatics". Sua palestra inaugural filosófica 'Intuitionisme en Formalisme' é traduzida para o inglês como 'Intuitionism and Formalism' e, portanto, se torna, em 1913, a primeira publicação sobre intuicionismo nessa língua.

1913 - Nomeado professor ordinário, sucedendo Korteweg, que generosamente se ofereceu para desocupar sua cadeira para esse fim.

1914 Convidado a integrar o conselho editorial da Mathematische Annalen; aceita a honra.

1918 Brouwer inicia a reconstrução intuicionista sistemática da matemática com seu artigo 'Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten. Erster Teil, Allgemeine Mengenlehre. ('Teoria dos conjuntos fundadores independentemente do princípio do meio excluído. Parte I, Teoria geral dos conjuntos.')

1919 Recebe ofertas para bolsas de estudos em Göttingen e em Berlim; declina ambos.

1920 Início do 'Grundlagenstreit' (Debate Fundamental) com a palestra de Brouwer no 'Naturforscherversammlung' em Bad Nauheim, publicado em 1921 como 'Besitzt jede reelle Zahl eine Dezimalbruch-Entwickelung?' ('Todo número real tem uma expansão decimal?'); amplificado pela defesa do intuicionismo de Weyl em 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik' ('Sobre a nova crise fundamental da matemática'); respondida por Hilbert em 1922, 'Neubegründung der Mathematik' ('O novo fundamento da matemática').

1920 'Intuitionistische Mengenlehre' ('Intuitionistic Set Theory') é a primeira peça da matemática intuicionista em uma revista internacional amplamente lida, o Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung.

1922 É co-fundador, com Gerrit Mannoury, o autor Frederik van Eeden e outros, o 'Signifische Kring' ('Círculo Significativo'), uma sociedade que visa o progresso espiritual e político através da reforma da linguagem, partindo das idéias de Victoria. Lady Welby em seu artigo "Sentido, Significado e Interpretação" (Welby, 1896). O Círculo encerra suas reuniões em 1926, mas Mannoury continua seu trabalho.

1926 Palestra em Göttingen; Como resultado de um jantar de grupo na casa de Emmy Noether, Hilbert e Brouwer estão (por um breve período) novamente em boas condições.

1927 Série de palestras em Berlim; seu assistente posterior Freudenthal está na platéia. O jornal Berliner Tageblatt propõe um debate público entre Brouwer e Hilbert, a ser realizado em suas páginas, mas, por algum motivo, isso não é realizado. Brouwer também não completa o livro que é convidado a escrever pelo editor alemão Walter de Gruyter. As palestras e um livro incompleto são publicados postumamente (Brouwer, 1992).

1928 10 e 14 de março: duas palestras em Viena. Gödel está na platéia, assim como Wittgenstein. Dizem que a primeira palestra fez Wittgenstein retornar à filosofia. Brouwer passa um dia com Wittgenstein.

1928 abril: conversas com Husserl, que está em Amsterdã para dar palestras.

1928 Conflito sobre a conferência de Bolonha. Os matemáticos alemães são, pela primeira vez desde o final da Primeira Guerra Mundial, admitidos novamente em uma conferência internacional, mas não tão iguais. Brouwer insiste que isso não é justo e que, a menos que os alemães sejam tratados melhor, a conferência deve ser boicotada. Hilbert, que não compartilha dessa opinião, fica muito decepcionado com a ação de Brouwer e participa da conferência como líder da delegação alemã, o maior presente.

1928-1929 «Mathematische Annalenstreit», o conflito no conselho editorial da Mathematische Annalen. Hilbert, pensando que está prestes a morrer, sente necessidade de garantir que, após sua morte, Brouwer não se torne muito influente e o expulse do conselho de maneira ilegal. [A motivação de Hilbert, conforme descrita aqui, está documentada em cartas de pessoas próximas a ele: Carathéodory to Einstein, 20 de outubro de 1928; Blumenthal ao editor e editores da Mathematische Annalen, 16 de novembro de 1928; Nascido em Einstein, em 20 de novembro de 1928. Cópias dessas cartas estão no Arquivo Brouwer da Universidade de Utrecht. Citações citadas destes podem ser encontradas em van Dalen, 2005, p. 604 e p. 613] Einstein, também membro do conselho, se recusa a apoiar a ação de Hilbert e não quer ter nada a ver com todo o caso;a maioria dos outros membros do conselho não quer irritar Hilbert se opondo a ele. Brouwer protesta veementemente. No final, todo o conselho é dissolvido e imediatamente remontado sem Brouwer, em um tamanho fortemente reduzido (em particular, declínio de Einstein e Carathéodory). O conflito deixa Brouwer mentalmente quebrado e isolado, e termina uma década muito criativa em seu trabalho. Agora que os dois principais concorrentes não conseguem mais continuar, o 'Grundlagenstreit' acabou. Agora que os dois principais concorrentes não conseguem mais continuar, o 'Grundlagenstreit' acabou. Agora que os dois principais concorrentes não conseguem mais continuar, o 'Grundlagenstreit' acabou.

1928-1930 Conflito com Karl Menger sobre a prioridade para a primeira definição correta da noção de dimensão.

Agosto de 1929: roubo da maleta de Brouwer no bonde de Bruxelas e com seu caderno de matemática. Quando nem a polícia nem um detetive particular contratado para esse fim conseguem encontrá-lo novamente, ele se desespera por poder reconstruir seu conteúdo. Brouwer disse mais tarde que essa perda foi fundamental na mudança de seu principal interesse da matemática para a filosofia.

1929 Inicia os preparativos para a fundação de uma nova revista matemática.

1934 Aparição da primeira edição da revista internacional de Brouwer, intitulada Compositio Mathematica.

1934 Série de palestras em Genebra.

1935-1941 Membro do conselho municipal de Blaricum para o Partido Neutro local (em 1939, vence as eleições recebendo 310 dos 1601 votos).

1940-1945 Durante a ocupação alemã dos Países Baixos na Segunda Guerra Mundial, Brouwer ajuda a resistência e tenta ajudar seus amigos judeus e seus alunos. Em 1943, ele aconselha os estudantes a assinar a declaração de lealdade exigida pelos alemães. Parte de sua explicação, após a guerra, é que a assinatura daria aos estudantes a relativa paz necessária para construir e realizar atividades de resistência. Ele é recebido com ceticismo. Por causa disso e de algumas tentativas infelizes de astúcia durante a ocupação, após a libertação, ele é suspenso por alguns meses. Profundamente ofendido, Brouwer considera a emigração para a África do Sul ou EUA.

1942 Publica novamente três notas curtas sobre fundações intuicionistas, a primeira desde 1933.

1945-1950 Conflito sobre a revista Compositio Mathematica. O diário não apareceu durante a guerra e é feito um esforço para trazê-lo de volta à vida. Dificuldades na montagem de um novo conselho de editores surgem por causa da reputação prejudicada de Brouwer. No final, o nome de Brouwer permanece na página de rosto, mas na verdade ele é removido do quadro do diário que havia fundado.

1947-1951 Série anual de palestras em Cambridge, Inglaterra. Brouwer planeja transformá-los em um livro, mas isso não acontece. Ele completa, no entanto, cinco dos seis capítulos planejados, e estes são publicados postumamente (Brouwer, 1981).

1948 Retoma seu programa fundamental com um artigo que explora a noção do sujeito criador. Início de outro período criativo.

1949 Opõe-se a um plano de publicação de seus artigos coletados, com base no fato de que ele não tem tempo para escrever anotações que reflitam seu original e suas visões atuais sobre eles, o que ele considera que seria a coisa cientificamente responsável a se fazer.

1951 Aposenta-se na Universidade de Amsterdã. Resfriando seu relacionamento com Arend Heyting, seu sucessor no cargo de diretor do Instituto de Matemática, como resultado de discordância sobre o papel exato que o aposentado Brouwer ainda poderia desempenhar lá.

1952 Palestras em Londres e na Cidade do Cabo.

1953 Palestras em Helsinque, onde fica com Von Wright. Visita guiada pelos EUA (entre outros MIT, Princeton, Universidade de Wisconsin-Madison, Berkeley, Chicago) e Canadá (Congresso de Matemática do Canadá em Kingston, Ontário). Em Princeton, ele visita Gödel.

1955 Publica seu último trabalho novo (baseado em sua palestra na conferência Boole em Dublin no ano anterior).

1959 Morte da Sra. Brouwer, 89 anos. Brouwer recusa uma oferta para uma posição de 1 ano na Universidade da Colúmbia Britânica em Vancouver.

1962 Brouwer é oferecido um cargo em Montana.

1966 2 de dezembro: morre em Blaricum, na Holanda, 85 anos, quando é atropelado por um carro em frente a sua casa.

3. Breve Caracterização do Intuicionismo de Brouwer

Baseado em sua filosofia da mente, na qual Kant e Schopenhauer foram as principais influências, Brouwer caracterizou a matemática principalmente como a atividade livre do pensamento exato, uma atividade que se baseia na pura intuição do tempo (interior). Nenhum domínio independente de objetos e nenhuma linguagem desempenham um papel fundamental. Ele assim se esforçou para evitar o Scylla do platonismo (com seus problemas epistemológicos) e os Charybdis do formalismo (com sua pobreza de conteúdo). Como, na visão de Brouwer, não há determinante da verdade matemática fora da atividade do pensamento, uma proposição só se torna verdadeira quando o sujeito experimenta sua verdade (por ter realizado uma construção mental apropriada); similarmente,uma proposição só se torna falsa quando o sujeito experimenta sua falsidade (percebendo que uma construção mental apropriada não é possível). Portanto, Brouwer pode afirmar que "não existem verdades não experimentadas" (Brouwer, 1975, p.488).

Brouwer estava preparado para seguir sua filosofia mental até as conclusões finais; se a matemática reconstruída era compatível ou incompatível com a matemática clássica era uma questão secundária e nunca decisiva. Ao conceder prioridade à filosofia sobre a matemática tradicional, ele se mostrou um revisionista. E, de fato, enquanto a aritmética intuicionista é um subsistema da aritmética clássica, na análise a situação é diferente: nem toda a análise clássica é intuicionisticamente aceitável, mas nem toda a análise intuicionista é classicamente aceitável. Brouwer aceitou essa consequência de todo o coração.

4. Desenvolvimento do intuicionismo de Brouwer

O pequeno livro de Brouwer, Life, Art and Mysticism, de 1905, embora não desenvolva seus fundamentos da matemática como tal, é a chave para esses fundamentos, desenvolvidos em sua dissertação, na qual ele trabalhava ao mesmo tempo e terminou dois anos depois. Entre uma variedade de outras coisas, como visões notórias sobre a sociedade e as mulheres em particular, o livro contém suas idéias básicas sobre mente, linguagem, ontologia e epistemologia.

Essas idéias são aplicadas à matemática em sua dissertação Over de Grondslagen der Wiskunde (Sobre os fundamentos da matemática), defendida em 1907; é a filosofia geral e não os paradoxos que inicia o desenvolvimento do intuicionismo (uma vez iniciado, surgiram soluções para os paradoxos). Como Kant, Brouwer funda a matemática em uma pura intuição do tempo (enquanto ele rejeita a pura intuição do espaço).

Brouwer sustenta que a matemática é uma atividade essencialmente sem idioma e que a linguagem só pode dar descrições da atividade matemática após o fato. Isso o leva a negar às abordagens axiomáticas qualquer papel fundamental na matemática. Além disso, ele interpreta a lógica como o estudo de padrões nas interpretações linguísticas da atividade matemática e, portanto, a lógica depende da matemática (como o estudo de padrões) e não vice-versa. São essas considerações que o motivam a introduzir a distinção entre matemática e metamatemática (para a qual ele usou o termo 'matemática de segunda ordem'), que ele explicaria a Hilbert em conversas em 1909.

Com essa visão, Brouwer se propõe a reconstruir a teoria dos conjuntos cantorianos. Quando uma tentativa (em um rascunho da dissertação) de dar sentido construtivo à segunda classe numérica de Cantor (a classe de todos os ordinais infinitamente infinitos) e às classes mais altas de ordinais ainda maiores falha, ele percebe que isso não pode ser feito e rejeita os superiores. numerar classes, deixando apenas todos os ordinais finitos e uma coleção inacabada ou aberta de ordinais denumeravelmente infinitos. Assim, como conseqüência de suas visões filosóficas, ele conscientemente deixa de lado parte da matemática geralmente aceita. Logo ele faria o mesmo com um princípio de lógica, o princípio do meio excluído (PEM), mas na dissertação ele ainda o considera correto, mas inútil, interpretando p ∨ ¬ p como ¬ p → ¬ p.

Em 'De Onbetrouwbaarheid der Logische Principes' ('A falta de confiabilidade dos princípios lógicos') de 1908, Brouwer formula, em termos gerais, sua crítica ao PEM: embora na forma simples de p ∨ ¬ p, o princípio nunca levará a uma contradição, há casos em que não se tem, falando construtivamente, nenhuma razão positiva para mantê-las verdadeiras. Brouwer cita alguns. Por não refutarem, em sentido estrito, o PEM, são conhecidos como "contra-exemplos fracos". Para uma discussão mais aprofundada sobre este tópico, consulte o documento suplementar:

Contra-exemplos fracos

A inovação que dá ao intuicionismo uma gama muito mais ampla do que outras variedades de matemática construtiva (incluindo a da dissertação de Brouwer) são as seqüências de escolha. Essas são sequências potencialmente infinitas de números (ou outros objetos matemáticos) escolhidos um após o outro pelo matemático individual. As seqüências de escolha apareceram como objetos intuicionisticamente aceitáveis em uma resenha do livro de 1914; o princípio que os torna matematicamente tratáveis, o princípio da continuidade, foi formulado nas notas das palestras de Brouwer de 1916. O principal uso das seqüências de escolha é a reconstrução da análise; pontos no continuum (números reais) são identificados com sequências de escolha que satisfazem certas condições. As sequências de escolha são coletadas usando um dispositivo chamado 'spread',que desempenha uma função semelhante à do conjunto cantoriano na análise clássica e, inicialmente, Brouwer usa até a palavra 'Menge' ('conjunto') para spreads. Brouwer desenvolve uma teoria de spreads e uma teoria de conjuntos de pontos com base nela, no artigo de duas partes de 1918/1919, 'Begründung der Mengenlehre unabhängig vom Satz vom ausgeschlossenen Dritten' ('Teoria dos conjuntos fundadores independentemente do princípio dos excluídos'). Meio').

A resposta à pergunta no título do artigo de Brouwer 'Todo número real tem uma expansão decimal?' (1921) acaba sendo não. Brouwer demonstra que é possível construir sequências de escolha que satisfaçam a condição de Cauchy que, em seu desenvolvimento exato, dependem de um problema ainda aberto. Nenhuma expansão decimal pode ser construída até que o problema aberto seja resolvido; na estrita visão construtivista de Brouwer, isso significa que não existe expansão decimal até que o problema aberto seja resolvido. Nesse sentido, pode-se construir números reais (isto é, seqüências de escolha convergentes) que não têm expansão decimal.

Em 1923, novamente usando sequências de escolha e problemas em aberto, Brouwer cria uma técnica geral, agora conhecida como 'contra-exemplos brouwerianos', para gerar contra-exemplos fracos aos princípios clássicos ('Über die Bedeutung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten in der Mathematik', 'On the Significado do Princípio do Meio Excluído em Matemática ').

Os teoremas básicos da análise intuicionista - o teorema das barras, o teorema dos ventiladores e o teorema da continuidade - estão em 'Über Definitionsbereiche von Funktionen' ('Nos domínios da definição de funções') de 1927. Os dois primeiros são teoremas estruturais de spreads; o terceiro (que não deve ser confundido com o princípio de continuidade para as seqüências de escolha) afirma que toda função total [0,1] → ℜ é contínua e uniforme de maneira uniforme. O teorema do ventilador é, de fato, um corolário do teorema da barra; combinado com o princípio da continuidade, que não é classicamente válido, produz o teorema da continuidade. Na análise clássica, ambas as partes desse teorema seriam falsas. Os teoremas de barra e ventilador, por outro lado, são classicamente válidos, embora as provas clássicas e intuicionistas para eles não sejam permutáveis. As provas clássicas não são intuicionisticamente aceitáveis devido à maneira como dependem do princípio excluído do meio; as provas intuicionistas não são classicamente aceitáveis porque dependem da reflexão sobre a estrutura das provas mentais. Nessa reflexão, Brouwer introduziu a noção da forma 'totalmente analisada' ou 'canônica' de uma prova, que seria adotada muito mais tarde por Martin-Löf e por Dummett. Em uma nota de rodapé, Brouwer menciona que tais provas, que ele identifica com objetos mentais na mente do sujeito, são muitas vezes infinitas.que seria adotado muito mais tarde por Martin-Löf e por Dummett. Em uma nota de rodapé, Brouwer menciona que tais provas, que ele identifica com objetos mentais na mente do sujeito, são muitas vezes infinitas.que seria adotado muito mais tarde por Martin-Löf e por Dummett. Em uma nota de rodapé, Brouwer menciona que tais provas, que ele identifica com objetos mentais na mente do sujeito, são muitas vezes infinitas.

O 'Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus' ('Reflexões intuicionistas sobre o formalismo') de 1928 identifica e discute quatro diferenças principais entre formalismo e intuicionismo, todas relacionadas ao papel do PEM ou à relação entre matemática e linguagem. (É aqui que Brouwer, em nota de rodapé, se refere às conversas com Hilbert de 1909 mencionadas acima.) Brouwer enfatiza, como ele havia feito em sua dissertação, que o formalismo pressupõe matemática de conteúdo no nível do metal. Ele também apresenta aqui seu primeiro contra-exemplo forte, uma refutação de uma forma de PEM, mostrando que é falso que todo número real seja racional ou irracional. Para uma discussão mais aprofundada sobre este tópico, consulte o documento suplementar:

Contra-exemplos fortes

Das duas palestras realizadas em Viena em 1928 - 'Mathematik, Wissenschaft und Sprache' ('Matemática, Ciências e Linguagem') e 'Die Struktur des Kontinuums' ('A Estrutura do Continuum') - a primeira é de natureza filosófica enquanto o segundo é mais matemático. Em "Matemática, Ciência e Linguagem", Brouwer declara suas visões gerais sobre as relações entre os três assuntos mencionados no título, seguindo uma abordagem genética e enfatizando o papel da vontade. Uma versão mais longa desta palestra foi apresentada em holandês em 1932 como 'Willen, Weten, Spreken' ('Volição, Conhecimento, Idioma'); contém as primeiras observações explícitas sobre uma noção que estava presente desde o início, agora conhecida como a de "matemático idealizado" ou "sujeito criador".

A palestra 'Consciência, Filosofia e Matemática' de 1948 mais uma vez passa pela filosofia da mente de Brouwer e por algumas de suas conseqüências para a matemática. Comparação com Vida, Arte e Misticismo, a primeira palestra de Viena e 'Willen, Weten, Spreken' revela que a filosofia geral de Brouwer ao longo dos anos se desenvolveu consideravelmente, mas apenas em profundidade.

Em 1949, Brouwer (1949a) publica o primeiro exemplo de uma nova classe de contra-exemplos fortes, uma classe que difere do forte contra-exemplo anterior de Brouwer (1928, veja acima), no sentido de que o tipo de argumento, que agora chama o nome de 'criar argumento do sujeito ', envolve referência essencial à estrutura temporal da atividade matemática do sujeito criador (Heyting, 1956, cap. III e VIII; van Atten, 2003, cap.4 e 5).

O exemplo de Brouwer mostra que existe um caso em que o princípio da dupla negação na forma de ∀ x ∈ℜ (¬¬ P (x) → P (x)) leva a uma contradição ('De Non -equivalentie van de Constructieve en de Negatieve Orderelatie in het Continuum ',' A não equivalência entre a relação construtiva e a ordem negativa no Continuum '). A primeira publicação dessa nova classe de contra-exemplos fortes (e de contra-exemplos fortes em geral) em inglês teve que esperar até 1954, em "Um exemplo de contradição na teoria clássica das funções". Esse título polêmico deve ser entendido da seguinte forma: se alguém mantiver a letra da teoria clássica, mas em sua interpretação substituir noções intuicionistas por suas contrapartes clássicas, chegará a uma contradição. Portanto, não é um contra-exemplo no sentido estrito da palavra,mas sim um resultado de não interpretabilidade. Como a lógica intuicionista é, formalmente falando, parte da lógica clássica, e a aritmética intuicionista faz parte da aritmética clássica, a existência de contraexemplos fortes deve depender de um ingrediente essencialmente não clássico, e essas são as seqüências de escolha.

O argumento do sujeito criador é, após a introdução anterior das seqüências de escolha e a prova do teorema das barras, um novo passo na exploração dos aspectos subjetivos do intuicionismo. Não há razão de princípios para que seja a última.

Bibliografia

Textos de Brouwer

Quase todos os documentos de Brouwer podem ser encontrados em

  • Brouwer, LEJ, 1975, Trabalhos Coletados 1. Filosofia e Fundamentos da Matemática, A. Heyting (ed.), Amsterdã: Holanda do Norte.
  • Brouwer, LEJ, 1976, Obras coletadas 2. Geometria, Análise, Topologia e Mecânica, H. Freudenthal (ed.), Amsterdã: Holanda do Norte.

Nos Trabalhos Coletados, os documentos em holandês foram traduzidos para o inglês, mas os documentos em francês ou alemão não. Traduções em inglês de várias delas podem ser encontradas em

  • van Heijenoort, J., ed., 1967, De Frege a Gödel. Um livro-fonte em lógica matemática, 1879-1931, Cambridge (MA): Harvard University Press.
  • Mancosu, P., ed., 1998, De Hilbert a Brouwer. O debate sobre os fundamentos da matemática na década de 1920, Oxford: Oxford University Press.

É traduzida para o inglês o livrinho de Brouwer, Leven, Kunst en Mystiek, de 1905, do qual as Obras Coletadas contêm apenas trechos.

Brouwer, LEJ, 1996, 'Life, Art and Mysticism', Notre Dame Journal of Formal Logic, 37 (3): 389-429. Traduzido por Walter van Stigt, que fornece uma introdução nas pp.381-387

As palestras de Berlim de 1927 foram publicadas em

Brouwer, LEJ, 1992, Intuitionismus, D. van Dalen (ed.), Mannheim: BI-Wissenschaftsverlag

As palestras de Cambridge de 1946-1951, recomendadas como a própria introdução de Brouwer ao intuicionismo, foram publicadas como

Brouwer, LEJ, 1981, Brouwer Cambridge Lectures on Intuitionism, D. van Dalen (ed.), Cambridge: Cambridge University Press

De particular interesse biográfico, ainda não traduzida, é a correspondência entre Brouwer e seu amigo, o poeta socialista CS Adama van Scheltema, que cobre os anos de 1898 a 1924:

Brouwer, LEJ e Adama van Scheltema, CS, 1984, Droeve Snaar, Vriend van Mij. Brieven, D. van Dalen (ed.), Amsterdã: De Arbeiderspers

Textos principais citados por outros

  • Euwe, M., 1929, 'Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel', Ned. Akad. Wetensch. Proc. 32: 633-644.
  • Hilbert, D., 1922, 'Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung ', Hamburger Math. Seminarabhandlungen, 1: 157-177. Tradução para o inglês 'The New Grounding of Mathematics: first report' in (Mancosu 1998).
  • Mannoury, G., 1909, Methodologisches und Philosophisches na Elementar-Mathematik, Haarlem: Visser.
  • Welby, V., 1896, 'Sense, Meaning and Interpretation', Mind, NS, 5 (17): 24-37; (18): 186-202.
  • Weyl, H., 1921, 'Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik', Mathematische Zeitschrift, 10: 39-79. Tradução para o inglês 'Sobre a nova crise fundamental da matemática' em (Mancosu 1998).

Literatura Secundária

  • van Atten, M., 2004, em Brouwer, Belmont (CA): Wadsworth.

    Uma introdução filosófica ao intuicionismo, como concebida por Brouwer, com extensos tratamentos da prova do teorema das barras, do sujeito criador e da intersubjetividade

  • van Dalen, D., 1990, 'A Guerra dos Sapos e dos Ratos, ou a Crise da Mathematische Annalen', Mathematics Intelligencer, 12 (4): 17-31.
  • van Dalen, D., 1999/2005, Mystic, Geometer e Intuitionist, 2 volumes, Oxford: Clarendon Press.

    A biografia padrão de Brouwer. O volume 1, The Dawning Revolution, abrange os anos 1881-1928, o volume 2, Hope and Disillusion, abrange 1929-1966

  • van Dalen, D., 2001, LEJ Brouwer 1881-1966. Een Biografie. Het Heldere Licht van de Wiskunde, Amsterdã: Bert Bakker.

    Uma biografia popular em 1 volume, em holandês

  • Dummett, M., 1977, Elements of Intuitionism, Oxford: Oxford University Press. 2ª edição revisada, 2000, Oxford: Clarendon Press.

    Uma visão geral do intuicionismo. Filosoficamente, parece mais perto de Wittgenstein do que de Brouwer

  • Hesseling, DE, 2003, Gnomos no Nevoeiro. A recepção do intuicionismo de Brouwer na década de 1920, Basileia: Birkhauser.

    . Uma discussão histórica detalhada das reações ao intuicionismo maduro de Brouwer durante o debate fundamental

  • Heyting, A., 1956, Intuicionismo. Uma introdução, Amsterdã: Holanda do Norte. 2ª edição revisada, 1966. 3ª edição revisada, 1971.

    Provavelmente o livro mais influente sobre o assunto já escrito. Em um estilo mais realista e ecumênico que o de Brouwer, Heyting apresenta as versões intuicionistas de várias disciplinas básicas da matemática cotidiana. Brouwer e Heyting têm algumas divergências filosóficas que fazem a diferença na apreciação de alguns aspectos da matemática intuicionista. Nenhum comentário de Brouwer sobre este livro é conhecido

  • Largeault, J., 1993, Intuition et Intuitionisme, Paris: Vrin.

    Uma visão geral do intuicionismo, ficando perto de Brouwer e mostrando um bom senso do contexto histórico da noção de intuição de Brouwer

  • Placek, T., 1999, Intuicionismo Matemático e Intersubjetividade, Dordrecht: Kluwer.

    Uma comparação dos argumentos para o intuicionismo avançou, respectivamente, por Brouwer, Heyting e Dummett, em particular no que diz respeito à possibilidade de validade intersubjetiva da matemática intuicionista

  • van Stigt, W., 1990, Intuitionism de Brouwer, Amsterdã: Holanda do Norte.

    Contém discussões filosóficas interessantes e fornece traduções para o inglês do material do arquivo Brouwer. O esboço biográfico foi agora substituído por (van Dalen, 1999/2005) e (van Dalen, 2001)

Outros recursos da Internet

  • Revisão dos Gnomos de Hesseling no Nevoeiro no Boletim de Lógica Simbólica (Postscript)
  • Bibliografia Brouwer de Dirk van Dalen (Postscript)

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