A Teoria Da Revisão Da Verdade

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A teoria da revisão da verdade

Publicado pela primeira vez em 15 de dezembro de 1995; revisão substantiva sexta-feira 28 de julho de 2006

Considere a seguinte frase:

(1) não é verdade. (1)

Há muito se sabe que a frase (1) produz um paradoxo, o chamado paradoxo do mentiroso: parece impossível sustentar consistentemente que (1) é verdadeiro e impossível manter consistentemente que (1) não é verdadeiro. (Para detalhes, consulte a Seção 1, abaixo.) Dado esse paradoxo, pode-se ser cético em relação à noção de verdade ou, pelo menos, às perspectivas de dar uma explicação cientificamente respeitável da verdade. A grande conquista de Alfred Tarski foi mostrar como dar - contra esse ceticismo - uma definição formal da verdade para uma ampla classe de linguagens formalizadas. Tarski, no entanto, não mostrou como definir uma verdade para idiomas (como o inglês) que contêm seus próprios predicados de verdade. Ele achava que isso não podia ser feito, precisamente por causa do paradoxo do mentiroso. Ele calculou que qualquer linguagem com seu próprio predicado de verdade seria inconsistente, desde que obedecesse às regras da lógica clássica padrão e tivesse a capacidade de se referir a suas próprias sentenças.

Dada a estreita conexão entre significado e verdade, é amplamente sustentado que qualquer semântica para uma linguagem L, ou seja, qualquer teoria do significado para L, estará intimamente relacionada a uma teoria da verdade para L: na verdade, é comumente afirmado que algo como uma teoria tarskiana da verdade para L será uma parte central de uma semântica para L. Assim, a impossibilidade de fornecer uma teoria tarskiana da verdade para idiomas com seus próprios predicados de verdade ameaça o projeto de fornecer uma semântica para idiomas com seus próprios predicados de verdade.

Tivemos que esperar até o trabalho de Kripke 1975 e Martin & Woodruff 1975 para uma proposta formal sistemática de uma semântica para idiomas com seus próprios predicados de verdade. O pensamento básico é simples: considere as frases ofensivas, como (1), nem verdadeiras nem falsas. Kripke, em particular, mostra como implementar esse pensamento para uma ampla variedade de linguagens, empregando uma semântica com três valores: verdadeiro, falso e nenhum. [1] É seguro dizer que as abordagens kripkianas substituíram o pessimismo tarskiano como a nova ortodoxia relativa às línguas com seus próprios predicados de verdade.

Um dos principais rivais da semântica de três valores é a Revision Theory of Truth, ou RTT, concebida independentemente por Hans Herzberger e Anil Gupta, e apresentada pela primeira vez na publicação em Herzberger 1982a e 1982b, Gupta 1982 e Belnap 1982 - as primeiras monografias o tópico é Yaqūb 1993 e o locus classicus, Gupta & Belnap 1993. O RTT foi projetado para modelar o tipo de raciocínio ao qual a sentença de mentiroso leva, dentro de um contexto de dois valores. A idéia central é a de um processo de revisão: um processo pelo qual revisamos hipóteses sobre o valor de verdade de uma ou mais sentenças. O objetivo do presente artigo é delinear a teoria da revisão da verdade. Nós procedemos da seguinte forma:

  • 1. Introdução semiformal
  • 2. Enquadrando o problema

    • 2.1 Idiomas da verdade
    • 2.2 Modelos no solo
    • 2.3 O paradoxo do mentiroso (novamente)
  • 3. Noções básicas de RTT

    • 3.1 Regras de revisão
    • 3.2 Sequências de revisão
  • 4. Interpretando o formalismo

    • 4.1 A significação de T
    • 4.2 O 'iff' nos bicondicionais T
    • 4.3 O raciocínio paradoxal
    • 4.4 A tese da significação
    • 4.5 A superveniência da semântica
    • 4.6 Interpretação do formalismo por Yaqūb
  • 5. Outras questões

    • 5.1 Semântica de três valores
    • 5.2 Alterações à RTT
    • 5.3 Teoria de revisão para conceitos definidos circularmente
    • 5.5 Aplicações
    • 5.5 Uma questão em aberto
  • Bibliografia
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. Introdução semiformal

Vamos dar uma olhada na frase (1), dada acima:

(1) não é verdade. (1)

Será útil tornar explícito o raciocínio paradoxal. Primeiro, suponha que

(1) não é verdade. 2)

Parece um princípio intuitivo sobre a verdade que, para qualquer sentença p, temos o chamado T-bicondicional

'p' é verdadeiro se p. (3)

(Aqui estamos usando 'iff' como uma abreviação de 'if e only if'.) Em particular, deveríamos ter

'(1) não é verdadeiro' é verdadeiro se s (1) não for verdadeiro. 4)

Assim, de (2) e (4), obtemos

'(1) não é verdade' é verdade. (5)

Então podemos aplicar a identidade,

(1) = '(1) não é verdadeiro.' (6)

para concluir que (1) é verdade. Isso tudo mostra que, se (1) não for verdadeiro, (1) será verdadeiro. Da mesma forma, também podemos argumentar que se (1) é verdadeiro, então (1) não é verdadeiro. Então (1) parece ser verdadeiro e não verdadeiro: daí o paradoxo. Como afirmado acima, a abordagem de três valores para o paradoxo considera que a sentença do mentiroso (1) não é verdadeira nem falsa. Exatamente como, ou mesmo se, esse movimento bloqueia o raciocínio acima é motivo de debate. O RTT não foi projetado para bloquear o raciocínio do tipo acima, mas para modelá-lo - ou a maioria dele. [2] Como afirmado acima, a idéia central é a de um processo de revisão: um processo pelo qual revisamos hipóteses sobre o valor de verdade de uma ou mais sentenças.

Considere o raciocínio referente à sentença do mentiroso, (1) acima. Suponha que tenhamos a hipótese de que (1) não é verdade. Então, com uma aplicação da bicondicional T relevante, podemos revisar nossa hipótese da seguinte maneira:

Hipótese: (1) não é verdade.
T-bicondicional: '(1) não é verdadeiro' é verdadeiro se s (1) não for verdadeiro.
Portanto: '(1) não é verdade' é verdade.
Identidade conhecida: (1) = '(1) não é verdadeiro'.
Conclusão: (1) é verdade.
Nova hipótese revisada: (1) é verdade.

Poderíamos continuar o processo de revisão, revisando nossa hipótese mais uma vez, da seguinte maneira:

Nova hipótese: (1) é verdade.
T-bicondicional: '(1) não é verdadeiro' é verdadeiro se s (1) não for verdadeiro.
Portanto: '(1) não é verdade' não é verdade.
Identidade conhecida: (1) = '(1) não é verdadeiro'.
Conclusão: (1) não é verdade.
Nova nova hipótese revisada: (1) não é verdade.

À medida que o processo de revisão continua, alternamos entre considerar a sentença do mentiroso verdadeira e não verdadeira.

Exemplo 1.1

Vale a pena ver como esse tipo de raciocínio de revisão funciona em um caso com várias frases. Vamos aplicar a ideia de revisão às três frases a seguir:

(8) é verdadeiro ou (9) é verdadeiro. (7)
(7) é verdade. (8)
(7) não é verdade. (9)

Informalmente, podemos raciocinar da seguinte maneira. (7) é verdadeiro ou (7) não é verdadeiro. Assim, (8) é verdadeiro ou (9) é verdadeiro. Assim, (7) é verdadeiro. Assim (8) é verdadeiro e (9) não é verdadeiro e (7) ainda é verdadeiro. Iterando o processo mais uma vez, obtemos mais uma vez (8) é verdade, (9) não é verdade e (7) é verdade. Mais formalmente, considere qualquer hipótese inicial, h 0, sobre os valores de verdade de (7), (8) e (9). Ou h 0 diz que (7) é verdadeiro ou h 0 diz que (7) não é verdadeiro. Em qualquer um dos casos, podemos usar o bicondicional T para gerar nossa hipótese revisada h 1: se h 0 diz que (7) é verdadeiro, então h 1 diz que '(7) é verdadeiro' é verdadeiro, ou seja, que (8) é verdade; e se h 0diz que (7) é verdadeiro, então h 1 diz que '(7) não é verdadeiro' é verdadeiro, ou seja, que (9) é verdadeiro. Então h 1 diz que (8) é verdadeiro ou (9) é verdadeiro. Então h 2 diz que '(8) é verdadeiro ou (9) é verdadeiro' é verdadeiro. Em outras palavras, h 2 diz que (7) é verdadeiro. Portanto, não importa com qual hipótese h 0 começamos, duas iterações do processo de revisão levam a uma hipótese que (7) é verdadeira. Da mesma forma, três ou mais iterações do processo de revisão levam à hipótese de que (7) é verdadeira, (8) é verdadeira e (9) é falsa - independentemente de nossa hipótese inicial. Na Seção 3, reconsideraremos este exemplo em um contexto mais formal.

Uma coisa a observar é que, no Exemplo 1.1, o processo de revisão gera valores de verdade estáveis para as três frases. A noção de uma sentença estavelmente verdadeira em todas as seqüências de revisão será uma noção central para a RTT. O tratamento teórico da revisão contrasta, neste caso, com a abordagem de três valores: na maioria das maneiras de implementar a idéia de três valores, todas as três frases (7), (8) e (9) acabam não sendo verdadeiro nem falso. [3] Nesse caso, a RTT sem dúvida captura melhor o raciocínio informal correto do que a abordagem com três valores: a RTT atribui às sentenças (7), (8) e (9) os valores de verdade que lhes foram atribuídos. pelo raciocínio informal dado no início do exemplo.

2. Enquadrando o problema

2.1 Idiomas da verdade

O objetivo da RTT é dar conta de nosso raciocínio muitas vezes instável e paradoxal sobre a verdade - um relato de dois valores que atribui às sentenças valores de verdade clássicos estáveis quando o raciocínio intuitivo atribui valores de verdade clássicos estáveis. Apresentaremos uma semântica formal para uma linguagem formal: queremos que essa linguagem tenha um predicado de verdade e os recursos para se referir a suas próprias sentenças.

Vamos considerar uma linguagem de primeira ordem L, com &, ∨ e ¬, quantificadores ∀ e ∃, o sinal de igual =, variáveis e algum estoque de nomes, símbolos de função e símbolos de relação. Diremos que L é uma linguagem de verdade, se tiver um predicado distinto T e aspas 'e', que serão usados para formar nomes de aspas: se A é uma frase de L, então 'A' é um nome. Let Sent L = {A: A é uma sentença de L}.

2.2 Modelos no solo

Além do predicado da verdade, assumiremos que nossa linguagem é interpretada completamente clássica. Portanto, representaremos o fragmento T- free de uma linguagem da verdade L por um modelo de base, isto é, uma interpretação clássica do fragmento T- free de L. Pelo T fragmento -livre de L, queremos dizer a primeira ordem linguagem L - que tem os mesmos nomes, símbolos de funções e símbolos de relação como L, exceto o predicado unário T. Como L - tem o mesmo nome que L, incluindo os mesmos nomes de cotação, L - terá um nome de cotação 'A' para cada frase A de L. Portanto ∀ x T x não é uma sentença de L -, mas '∀ x T x 'é um nome de L - e ∀ x (x =' T x T x ') é uma frase de L -. Dado um modelo de chão, vamos considerar as perspectivas de fornecer uma interpretação satisfatória da T. O desiderato mais óbvio é que o modelo de base, expandido para incluir uma interpretação de T, satisfaz os T-bicondicionais de Tarski, ou seja, os bicondicionais da forma

T  'A' se A

para cada um ∈ Enviados L. Para tornar as coisas mais precisas, deixe um modelo de solo para L ser um modelo clássico M = <D, I> para o fragmento de L sem T, satisfazendo o seguinte:

  1. D é um domínio não vazio do discurso;
  2. I é uma função que atribui

    1. para cada nome de L um membro de D;
    2. para cada símbolo de função n-ária de L uma função de D n a D; e
    3. para cada símbolo de relação n-ário, exceto T, de L uma função de D n para um dos dois valores de verdade no conjunto { t, f }; [4]
  3. Enviado L ∈ D; e
  4. I ('A') = A para cada A ∈ Enviado L.

As cláusulas (1) e (2) simplesmente especificam o que é para M ser um modelo clássico do fragmento de L livre de T. As cláusulas (3) e (4) garantem que L, quando interpretado, possa falar sobre suas próprias sentenças. Dado um modelo básico M para L e um nome, símbolo de função ou símbolo de relação X, podemos pensar em I (X) como a interpretação ou, emprestando um termo de Gupta e Belnap, a significação de X. Gupta e Belnap caracterizam a significação de uma expressão ou conceito em um mundo w como "algo abstrato que carrega todas as informações sobre todas as relações extimensionais da expressão [ou conceito] em w". Se queremos interpretar T x como 'x é verdadeiro', então, dado um modelo de solo M, gostaríamos de encontrar uma significação apropriada ou uma faixa apropriada de significados, para T.

2.3 O paradoxo do mentiroso (novamente)

Podemos tentar atribuir a T uma significação clássica, expandindo M a um modelo M clássica '= <D', eu '> para todos L, incluindo T. Lembre-se de que queremos que M 'satisfaça os bicondicionais T: o pensamento mais óbvio aqui é entender o' iff 'como o bicondicional condicional à verdade padrão. Infelizmente, nem todo modelo de solo M = <D, I> pode ser expandido para um M '. Considere uma linguagem de verdade L com um nome λ e um modelo básico M = <D, I> tal que I (λ) = ¬ T λ. E suponha que M 'seja uma expansão clássica de M para todos os L. Como M 'é uma expansão de M, eu e eu' concordamos com todos os nomes de L. assim

I '(λ) = I (λ) = ¬ T λ = I (' ¬ T λ ') = I' ('¬ T λ').

Portanto, as sentenças T λ e T  '¬ T λ' têm o mesmo valor de verdade em M '. Então, o T-bicondicional

T  '¬ T λ' ≡ T λ

é falso em M '. Esta é uma formalização do paradoxo do mentiroso, com a sentença ¬ T λ como sentença do mentiroso ofensor.

Em uma semântica para linguagens capazes de expressar seus próprios conceitos de verdade, T não terá, em geral, um significado clássico; e o 'iff' nos bicondicionais T não será lido como o bicondicional clássico. Aceitamos essas sugestões na Seção 4, abaixo.

3. Noções básicas de RTT

3.1 Regras de revisão

Na Seção 1, esboçamos informalmente o pensamento central da RTT, a saber, que podemos usar os bicondicionais T para gerar uma regra de revisão - uma regra para revisar uma hipótese sobre a extensão do predicado da verdade. Aqui formalizaremos essa noção e trabalharemos com um exemplo da Seção 1.

Em geral, seja L uma linguagem de verdade e M seja um modelo básico para L. Uma hipótese é uma função h: D → { t, f }. Uma hipótese vai com efeito ser uma interpretação clássica hipotética para T. Vamos trabalhar com um exemplo que captura o paradoxo do mentiroso e o Exemplo 1.1 da Seção 1. Iremos declarar o exemplo formalmente, mas raciocinaremos de maneira semiformal, para fazer a transição de uma extensão hipotética de T para outra.

Exemplo 3.1

Suponhamos que L contém quatro nomes não citações, α, β, γ e λ e não há outros que predicados T. Suponha também que M = <D, I> seja o seguinte:

D = Enviado L
I (α) = T β ∨ T γ
I (β) = T α
I (γ) = ¬ T α
I (λ) = ¬ T λ

Será conveniente deixar

UMA seja a sentença T β ∨ T γ
B seja a sentença T α
C seja a sentença ¬ T α
X seja a sentença ¬ T λ

Portanto:

D = Enviado L
I (α) = UMA
I (β) = B
I (γ) = C
I (λ) = X

Suponha que a hipótese h 0 hipótese de que A é falso, B é verdadeiro, C é falso e X é verdadeiro. portanto

h 0 (A) = f
h 0 (B) = t
h 0 (C) = f
h 0 (X) = f

Agora vamos nos engajar em um raciocínio semiformal, com base na hipótese h 0. Entre as quatro frases, A, B, C e X, h 0 coloca única B na extensão de t. Assim, argumentando a partir de h 0, concluímos que

¬ T α uma vez que o referente de α não está na extensão de T
T β uma vez que o referente de β está na extensão de T
¬ T γ uma vez que o referente de γ não está na extensão de T
¬ T λ desde o referente de λ não é na extensão da T.

O bicondicional T para as quatro frases A, B, C e X são os seguintes:

(T A) A é verdadeiro se T β ∨ T γ
(TB) B é verdadeiro se T α
(T C) C é verdadeiro se ¬ T α
(T X) X é verdadeiro se ¬ T λ

Assim, argumentando a partir de h 0, concluímos que

A é verdade
B não é verdadeiro
C é verdadeiro
X é verdadeiro

Isso produz nossa nova hipótese h 1:

h 1 (A) = t
h 1 (B) = f
h 1 (C) = t
h 1 (X) = t

Vamos revisar nossa hipótese mais uma vez. Então agora vamos nos envolver em algum raciocínio semiformal, com base na hipótese h 1. A hipótese H 1 coloca A, C e X, mas não B, na extensão do T. Assim, argumentando a partir de h 1, concluímos que

T α uma vez que o referente de a está na extensão de T
¬ T β uma vez que o referente de β está na extensão de T
T γ uma vez que o referente de γ não está na extensão de T
T λ já que o referente de λ não está na extensão de T

Lembre-se do T-bicondicional para as quatro frases A, B, C e X, dadas acima. Raciocínio a partir de h 1 e esses bicondicionais T, concluímos que

A é verdade
B é verdadeiro
C não é verdade
X não é verdadeiro

Isso produz nossa nova nova hipótese h 2:

h 2 (A) = t
h 2 (B) = t
h 2 (C) = f
h 2 (X) = f

Vamos formalizar o raciocínio semiformal realizado no Exemplo 3.1. Primeiro temos a hipótese de que certas frases foram, ou não eram, na extensão da T. Considere a teoria do modelo clássico comum. Suponha que nossa linguagem tenha um predicado G e um nome a e que tenhamos um modelo M = <D, I> que coloque o referente de a dentro da extensão de G:

I (G) (I (α)) = t

Concluímos, classicamente, que a sentença Ga é verdadeira em M. Será útil ter alguma notação para o valor de verdade clássico de uma sentença S em um modelo clássico M. Vamos escrever Val M (S). Nesse caso, Val M (Ga) = t. No Exemplo 3.1, não começamos com um modelo clássico de toda a linguagem L, mas apenas um modelo clássico do fragmento de L livre de T. Mas então adicionamos uma hipótese, a fim de obter um modelo clássico de todos os L. Vamos usar a notação M + h para o modelo clássico de todos os L que você obtém ao estender M atribuindo uma extensão a T pela hipótese h. Depois de atribuir uma extensão ao predicado T, você pode calcular os valores verdadeiros das várias frases de L. Ou seja, para cada sentença S de L, podemos calcular

Val M + h (S)

No Exemplo 3.1, começamos com a hipótese h 0 da seguinte maneira:

h 0 (A) = f
h 0 (B) = t
h 0 (C) = f
h 0 (X) = f

Então calculamos da seguinte forma:

Val M + h 0 (T α) = f
Val M + h 0 (T β) = t
Val M + h 0 (T γ) = f
Val M + h 0 (T λ) = f

E então concluímos da seguinte forma:

Val M + h 0 (A) = Val M + h 0 (T β ∨ T γ) = t
Val M + h 0 (B) = Val M + h 0T α) = f
Val M + h 0 (C) = Val M + h 0 (T α) = t
Val M + h 0 (X) = Val M + h 0T λ) = t

Essas conclusões geraram nossa nova hipótese, h 1:

h 1 (A) = t
h 1 (B) = f
h 1 (C) = t
h 1 (X) = t

Observe que, em geral,

h 1 (S) = Val M + h 0 (S).

Agora estamos preparados para definir a regra de revisão fornecida por um modelo de solo M = <D, I>. Em geral, dada uma hipótese h, deixar M + H = <D, I '> ser o modelo de L, que concorda com M no T fragmento -livre de L, e que é tal que I' (t) = h. Então M + h é apenas um modelo clássico para todos os L. Para qualquer modelo M + h de todo L e qualquer sentença A se L, seja Val M + h (A) o valor da verdade clássica comum de A em M + h.

Definição 3.2

Suponha que L seja uma linguagem da verdade e que M = <D, I> seja um modelo básico para L. A regra de revisão, τ M, é a função de mapear hipóteses para hipóteses, da seguinte maneira:

τ M (h) (d) = {

t, se d ∈ D é uma sentença de L e Val M + h (d) = t

f, caso contrário

A cláusula 'caso contrário' nos diz que se d não é uma sentença de L, então, após uma aplicação de revisão, mantemos a hipótese de que d não é verdadeiro. [5] Observe que, no exemplo 3.1, h 1 = τ M (h 0) e h 2 = τ M (h 1). Freqüentemente, abandonamos o 'M' subscrito quando o contexto deixa claro qual modelo de solo está em questão.

3.2 Sequências de revisão

Vamos pegar o Exemplo 3.1 e ver o que acontece quando iteramos o aplicativo da regra de revisão.

Exemplo 3.3 (Exemplo 3.2 continuação)

Recorde-se que L contém quatro nomes não citações, α, β, γ e λ e não há outros que predicados T. Lembre-se também de que M = <D, I> é o seguinte:

D = Enviado L
I (α) = UMA = T β ∨ T γ
I (β) = B = T α
I (γ) = C = ¬ T α
I (λ) = X = ¬ T λ

A tabela a seguir indica o que acontece com aplicações repetidas da regra de revisão τ M para a hipótese h 0 do Exemplo 3.1. Nesta tabela, escreveremos τ em vez de τ M:

S h 0 (S) τ (h 0) (S) τ 2 (h 0) (S) τ 3 (h 0) (S) τ 4 (h 0) (S)
UMA f t t t t
B t f t t t
C f t f f f
X f t f t f

Então h 0 gera uma sequência de revisão (veja a definição 3.7 abaixo). E A e B são estavelmente verdadeiros nessa sequência de revisão (veja a definição 3.6 abaixo), enquanto C é estavelmente falso. A sentença mentirosa X é, sem surpresa, nem estavelmente verdadeira nem estavelmente falsa: a sentença mentirosa é instável. Um cálculo semelhante mostraria que A é estavelmente verdadeiro, independentemente da hipótese inicial: portanto, A é categoricamente verdadeiro (consulte a definição 3.8).

Antes de dar uma definição precisa de uma sequência de revisão, damos um exemplo em que queremos levar o processo de revisão além dos estágios finitos, h, τ 1 (h), τ 2 (h), τ 3 (h) e assim por diante em.

Exemplo 3.4

Suponhamos que L contém nomes nonquote ácido a 0, α 1, α 2, α 3, …, e predicados unárias G e T. Agora vamos especificar um modelo de solo M = <D, I> onde o nome α 0 se refere a alguma tautologia e onde

o nome α 1 refere-se à frase T α 0,

o nome α 2 refere-se à frase T α 1,

o nome a 3 refere-se à frase T a 2

Mais formalmente, seja A 0 a sentença T α 0 ∨ α T α 0 e, para cada n ≥ 0, seja A n +1 a sentença T α n. Assim, um 1 é o período t ct 0, e A 2 representa a frase t ct 1, e A 3 é o período T α 2, e assim por diante. Nosso modelo de solo M = <D, I> é o seguinte:

D = Enviado L
I (α n) = A n
I (G) (A) = t iff A = A n para alguns n

Assim, a extensão de G é o seguinte conjunto de frases: {A 0, A 1, A 2, A 3,…} = {(T α 0 ∨ ¬ T α 0), T α 0, T a 1, T a 2, T a 3,…}. Finalmente, seja B a sentença ∀ x (Gx ⊃ T x). Seja h qualquer hipótese para a qual tenhamos, para cada número natural n,

h (A n) = h (B) = f.

A tabela a seguir indica o que acontece com aplicações repetidas da regra de revisão τ M para a hipótese h. Nesta tabela, escreveremos τ em vez de τ M:

S h (S) t (h) (S) τ 2 (h) (S) τ 3 (h) (S) τ 4 (h) (S)
A 0 f t t t t
A 1 f f t t t
A 2 f f f t t
A 3 f f f f t
A 4 f f f f f
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
B f f f f f

No 0 th fase, cada um n é fora da extensão hipotética de T. Mas, a partir do n th fase em diante, um n é na extensão hipotética de T. Assim, para cada n, a sentença A n acaba sendo hipoteticamente estável. Apesar disso, não existe um estágio finito em que todos os An sejam hipotéticos como verdadeiros: como resultado, a sentença B = ∀ x (Gx ⊃ T x) permanece falsa em cada estágio finito. Isso sugere estender o processo da seguinte maneira:

S h (S) τ (h) (S) τ 2 (h) (S) τ 3 (h) (S) ω ω + 1 ω + 2
A 0 f t t t t t t
A 1 f f t t t t t
A 2 f f f t t t t
A 3 f f f f t t t
A 4 f f f f t t t
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
B f f f f f t t

Assim, se permitirmos que o processo de revisão prossiga além dos estágios finitos, a sentença B = G x Gx ⊃ T x) é estavelmente verdadeira a partir do ω + 1 ° estágio em diante. □

No Exemplo 3.4, o veredicto intuitivo é que não apenas cada A n deve receber um valor de verdade estável de t, mas também a sentença B = ∀ x (Gx ⊃ T x). A única maneira de garantir isso é levar o processo de revisão além dos estágios finitos. Então, vamos considerar as sequências de revisão que são muito longa: não só uma sequência de revisão ter um ª etapa para cada número finito n, mas um η ª etapa para cada número η ordinal. (O próximo parágrafo é ajudar o leitor a não conhecer os números ordinais.)

Uma maneira de pensar nos números ordinais é a seguinte. Comece com os números naturais finitos:

0, 1, 2, 3,…

Adicione um número, ω, maior que todos estes, mas não o sucessor imediato de nenhum deles:

0, 1, 2, 3,…, ω

E então pegue o sucessor de ω, seu sucessor, e assim por diante:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3…

Em seguida, adicione um número ω + ω, ou ω × 2, maior que todos esses (e novamente, não o sucessor imediato de nenhum) e comece novamente, reiterando esse processo repetidamente:

0, 1, 2, 3,…, ω, ω + 1, ω + 2, ω + 3,…, ω × 2, (ω × 2) +1, (ω × 2) +2, (ω × 2) +3,…, ω × 3, (ω × 3) +1, (ω × 3) +2, (ω × 3) +3,…

pontos verticais
pontos verticais

No final, adicionamos um número ordinal ω × ω ou ω 2:

0, 1, 2,…, ω, ω + 1, ω + 2,…, ω × 2, (ω × 2) +1,…, ω × 3,…, ω × 4,…, ω × 5, …, Ω 2, ω 2 + 1,…

Os números ordinais têm a seguinte estrutura: todo número ordinal tem um sucessor imediato conhecido como ordinal sucessor; e para qualquer sequência infinitamente crescente de números ordinais, existe um limite ordinal maior que todos os membros da sequência e que não é o sucessor imediato de nenhum membro da sequência. Assim, os seguintes são ordinais sucessores: 5, 178, ω + 12, (ω × 5) +56, ω 2 +8; e os seguintes são ordinais de limite: ω, ω × 2, ω 2, (ω 2 + ω), etc. Dado um ordinal limite η, uma sequência S de objetos é uma η- sequência longa se houver um objeto S δ para todo ordinal δ <η. Vamos denotar a classe dos ordinais como Ativado. Qualquer sequência S de objetos é uma sequência On-long se houver um objeto S δ para todo ordinal δ.

Ao avaliar se uma sentença recebe um valor de verdade estável, o RTT considera sequências de hipóteses de comprimento ativadas. Portanto, suponha que S seja uma sequência On-long de hipóteses e deixe ζ e η ultrapassarem os ordinais. Claramente, a fim de S para representar o processo de revisão, temos o ζ + 1 r hipótese de ser gerado a partir do ζ th hipótese pela regra de revisão. Portanto, insistimos que S ζ + 1 = τ M (S ζ). Mas o que devemos fazer em um estágio limite? Ou seja, como devemos definir S η (δ) quando η é um ordinal limite? Claramente, qualquer objeto que seja estavelmente verdadeiro [falso] até esse estágio deve ser verdadeiro [falso] nesse estágio. Assim, considere o Exemplo 3.2. A frase A 2, Por exemplo, é verdadeiro até o ω th fase; por isso criámos A 2 para ser verdade no ω ª fase. Para objetos que não se estabilizam até esse estágio, Gupta e Belnap 1993 adotam uma política liberal: ao construir uma sequência de revisão S, se o valor do objeto d ∈ D não se estabilizar no momento em que você chegar ao estágio limite η, então você pode definir S η (δ) para o que quiser de t ou f. Antes de fornecermos a definição precisa de uma sequência de revisão, continuamos com o Exemplo 3.3 para ver uma aplicação dessa idéia.

Exemplo 3.5 (Exemplo 3.3 continuação)

Recorde-se que L contém quatro nomes não citações, α, β, γ e λ e não há outros que predicados T. Lembre-se também de que M = <D, I> é o seguinte:

D = Enviado L
I (α) = UMA = T β ∨ T γ
I (β) = B = T α
I (γ) = C = ¬ T α
I (λ) = X = ¬ T λ

A tabela a seguir indica o que acontece com aplicações repetidas da regra de revisão τ M para a hipótese h 0 do Exemplo 3.1. Para cada ordinal η, indicaremos a ª ésima hipótese por S η (suprimindo o índice M em τ). Assim, S 0 = h 0, S 1 = τ (h 0), S 2 = τ 2 (h 0), S 3 = τ 3 (h 0) e S ω, a ª ésima hipótese, são determinados de alguma maneira das hipóteses que a antecederam. Então, começando com h 0 do exemplo 3.3, nossa sequência de revisão começa da seguinte maneira:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S)
UMA f t t t t
B t f t t t
C f t f f f
X f t f t f

O que acontece no ω th palco? A e B são estavelmente verdadeiro até o ω th fase, e C é estavelmente falso até o ω th fase. Assim, no ω ª fase, temos de ter o seguinte:

S S 0 (S) S 1 (S) S 2 (S) S 3 (S) S 4 (S) S ω (S)
UMA f t t t t t
B t f t t t t
C f t f f f f
X f t f t f ?

Mas a entrada para S ω (X) pode ser t ou f. Em outras palavras, a hipótese inicial h 0 gera pelo menos duas seqüências de revisão. Toda sequência de revisão S que tem h 0 como sua hipótese inicial deve ter S ω (A) = t, S ω (B) = te S ω (C) = f. Mas há alguma sequência de revisão S, com h 0 como hipótese inicial e com S ω (X) = t; e há alguma sequência de revisão S ', com h 0 como hipótese inicial e com S ω'(X) = f. □

Agora estamos prontos para definir a noção de uma sequência de revisão:

Definição 3.6

Suponha que L seja uma linguagem da verdade e que M = <D, I> seja um modelo básico. Suponha que S seja uma sequência longa de hipóteses. Então dizemos que d ∈ D é estavelmente t [ f] em S se, para algum θ ordinal, temos

S ζ (d) = t [ f], para todo ordinal ζ ≥ θ.

Suponha que S seja uma seqüência longa de hipóteses para algum limite ordinal η. Então dizemos que d ∈ D é estavelmente t [ f] em S iff para algum ordinal θ <η que temos

S ζ (d) = t [ f], para todo ordinal ζ tal que ζ ≥ θ e ζ <η.

Se S é uma sequência longa de hipóteses e η é um limite ordinal, então S | η é o segmento inicial de S até, mas não incluindo η. Observe que S | η é uma seqüência longa de hipóteses.

Definição 3.7

Suponha que L seja uma linguagem da verdade e que M = <D, I> seja um modelo básico. Suponha que S seja uma sequência longa de hipóteses. S é uma sequência de revisão para M iff

  • S ζ + 1 = τ M (S ζ), para cada ζ ∈ On e
  • para cada limite ordinal η e cada d ∈ D, se d for estavelmente t [ f] em S | η, então S η (d) = t [ f].

Definição 3.8

Suponha que L seja uma linguagem da verdade e que M = <D, I> seja um modelo básico. Dizemos que a sentença A é categoricamente verdadeira [falsa] em M, se A é estavelmente t [ f] em cada sequência de revisão para M. Dizemos que A é categórico em M se S for categoricamente verdadeiro ou categórico em M.

Agora ilustramos esses conceitos com um exemplo. O exemplo também ilustra um novo conceito a ser definido posteriormente.

Exemplo 3.9

Suponhamos que L é um idioma verdade contendo nomes nonquote p, α 0, α 1, α 2, α 3, …, e predicados unárias G e T. Seja B a sentença

T β ∨ ∀ x ∀ y (Gx & ¬ T x & Gy & ¬ T y ⊃ x = y).

Seja A 0 a sentença ∃ x (Gx & ¬ T x). E para cada n ≥ 0, seja A n +1 a sentença T α n. Considere o seguinte modelo de solo M = <D, I>

D = Enviado L
I (β) = B
I (α n) = A n
I (G) (A) = t iff A = A n para alguns n

Assim, a extensão de L é o seguinte conjunto de frases: {A 0, A 1, A 2, A 3, …} = { t ct 0, t ct 1, t ct 2, t ct 3, …}. Seja h qualquer hipótese para a qual tenhamos, h (B) = f e para cada número natural n,

h (A n) = f.

E seja S uma sequência de revisão cuja hipótese inicial seja h, isto é, S 0 = h. A tabela seguinte indica alguns dos valores de S γ (C), para frases C ∈ {B, A 0, A 1, A 2, A 3, …}. Na linha superior, indicamos apenas o número ordinal que representa o estágio no processo de revisão.

0 0 1 2 3 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω × 2 (ω × 2) +1 (ω × 2) +2
B f f f f f t t t t t t
A 0 f t t t t f t t t f t
A 1 f f t t t t f t t t f
A 2 f f f t t t t f t t t
A 3 f f f f t t t t t t t
A 4 f f f f t t t t t t t
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais
pontos verticais

Vale a pena contrastar o comportamento da sentença B e da sentença A 0. A partir do ω + estágio, B é estabilizado como verdadeiro. De fato, B é estavelmente verdadeiro em todas as seqüências de revisão para M. Assim, B é categoricamente verdadeiro em M. A sentença A 0, no entanto, nunca se estabiliza completamente: geralmente é verdadeira, mas dentro de alguns estágios finitos de um ordinal limite, a sentença A 0 pode ser falsa. Nestas circunstâncias, dizemos que A 0 é quase estavelmente verdadeiro (consulte a definição 3.10, abaixo.) De fato, A 0 é quase estavelmente verdadeiro em todas as seqüências de revisão para M. □

O Exemplo 3.9 ilustra não apenas a noção de estabilidade em uma sequência de revisão, mas também de quase estabilidade, que definimos agora:

Definição 3.10.

Suponha que L seja uma linguagem de verdade e que M = <D, I> seja um modelo básico. Suponha que S seja uma sequência longa de hipóteses. Então dizemos que d ∈ D é quase estável t [ f] em S se, para algum θ ordinal, temos

para todo ζ ≥ θ, existe um número natural n tal que, para todo m ≥ n, S ζ + m (d) = t [ f].

Gupta e Belnap 1993 caracterizam a diferença entre estabilidade e quase estabilidade da seguinte forma: “O simplificador de estabilidade requer que um elemento [no nosso caso, uma sentença] se estabeleça em um valor x [no nosso caso, um valor de verdade] após algumas flutuações iniciais [um ordinal η] … Por outro lado, a estabilidade próxima também permite flutuações após η, mas essas flutuações devem ser confinadas a regiões finitas logo após os ordinais limites”(p. 169). Gupta e Belnap 1993 introduzem duas teorias da verdade, T * e T #, baseadas em estabilidade e quase estabilidade. Os teoremas 3.12 e 3.13, abaixo, ilustram uma vantagem do sistema T #, isto é, o sistema baseado em quase estabilidade.

Definição 3.11

Suponha que L seja uma linguagem da verdade e que M = <D, I> seja um modelo básico. Dizemos que uma sentença A é válida em M por T * se A é estavelmente verdadeira em todas as seqüências de revisão. E dizemos que uma frase A é válida em M por T # iff A é quase estavelmente verdadeira em todas as seqüências de revisão.

Teorema 3.12

Suponha que L seja uma linguagem da verdade e que M = <D, I> seja um modelo básico. Então, para cada sentença A de L, o seguinte é válido em M por T #:

T '¬ A' ≡ ' T ' A '.

Teorema 3.13

Existe uma linguagem verdadeira L e um modelo básico M = <D, I> e uma sentença A de L, de modo que o seguinte não seja válido em M por T *:

T  '¬ A' ≡  ' T ' A '.

Gupta e Belnap 1993, Seção 6C, observam vantagens semelhantes de T # sobre T *. Por exemplo, T # faz, mas T * não, valida os seguintes princípios semânticos:

T  'A e B' ≡ T  'A' e T  'B'

T  'A ∨ B' ≡ T  'A' ∨ T  'B'

Gupta e Belnap permanecem sem compromisso sobre qual de T # e T * (e uma outra alternativa que eles definem, T c) é preferível.

4. Interpretando o formalismo

As principais noções formais da RTT são a noção de uma regra de revisão (Definição 3.2), isto é, uma regra para revisar hipóteses; e uma sequência de revisão (Definição 3.7), uma sequência de hipóteses geradas de acordo com a regra de revisão apropriada. Usando essas noções, podemos, dado um modelo básico, especificar quando uma sentença é estável, ou quase estável, verdadeira ou falsa em uma sequência de revisão específica. Assim, poderíamos definir duas teorias da verdade, T * e T #, com base na estabilidade e quase estabilidade. A idéia final é que cada uma dessas teorias produza um veredicto sobre quais frases da linguagem são categoricamente assertíveis, dado um modelo básico.

Observe que poderíamos usar noções teóricas da revisão para fazer distinções bastante refinadas entre as frases: Algumas sentenças são instáveis em todas as seqüências de revisão; outros são estáveis em todas as seqüências de revisão, embora sejam verdadeiros em alguns e estejam errados em outros; e assim por diante. Assim, podemos usar idéias teóricas da revisão para fornecer uma análise detalhada do status de várias frases e dos relacionamentos de várias frases entre si.

Lembre-se da sugestão feita no final da Seção 2:

Em uma semântica para linguagens capazes de expressar seus próprios conceitos de verdade, T não terá, em geral, um significado clássico; e o 'iff' nos bicondicionais T não será lido como o bicondicional clássico.

Gupta e Belnap preenchem essas sugestões da seguinte maneira.

4.1 A significação de T

Primeiro, eles sugerem que a significação de T, dado um modelo de solo M, é a regra de revisão τ M em si. Como observado no parágrafo anterior, podemos dar uma análise de grão fino de status e inter-relações menções com base em noções geradas direta e naturalmente a partir da regra de revisão τ M. Assim, τ M é um bom candidato para a significação de T, uma vez que parece ser "algo abstrato que carrega toda a informação sobre todas as relações extimensionais [de T ']" em M. (Veja a caracterização de Gupta e Belnap da significação de uma expressão, dada na Seção 2 acima).

4.2 O 'iff' nos bicondicionais T

A sugestão de Gupta e Belnap relativa ao 'iff' nos bicondicionais T é que, em vez de ser o bicondicional clássico, esse 'iff' é o bicondicional distintivo usado para definir um conceito anteriormente indefinido. Em 1993, Gupta e Belnap apresentam a teoria da revisão da verdade como um caso especial de uma teoria da revisão de conceitos definidos circularmente. Suponha que L seja uma linguagem com um predicado unário F e um predicado binário R. Considere um novo conceito expresso por um predicado G, introduzido por meio de uma definição como esta:

Gx = df ∀ y (Ryx ⊃ Fx) ∃ y (Ryx e Gx).

Suponha que comecemos com um domínio do discurso, D, e uma interpretação do predicado F e do símbolo de relação R. O tratamento teórico da revisão de Gupta e Belnap dos conceitos assim introduzidos circularmente permite dar veredictos categóricos, para certos d D sobre se d satisfaz ou não G. Outros objetos serão instáveis em relação a G: seremos capazes de afirmar categoricamente que nem d satisfaz G nem que d não satisfaz G. No caso da verdade, Gupta e Belnap assumem o conjunto de T-bicondicionais da forma

T  'A' = df A (10)

juntos para dar a definição do conceito de verdade. É o tratamento de '= df ' (a 'sse' de introdução conceito de definição), em conjunto com os T-biconditionals da forma (10), que determinam a regra de revisão τ M.

4.3 O raciocínio paradoxal

Lembre-se da frase mentirosa, (1), desde o início deste artigo:

(1) não é verdade (1)

Na Seção 1, alegamos que a RTT foi projetada para modelar, em vez de bloquear, o tipo de raciocínio paradoxal referente a (1). Mas observamos na nota de rodapé 2 que a RTT evita contradições nessas situações. Existem duas maneiras de ver isso. Primeiro, enquanto a RTT endossa as condições bicondicionais

(1) é verdadeiro se (1) não for verdadeiro,

o 'iff' relevante não é o material bicondicional, como explicado acima. Portanto, não se segue que ambos (1) sejam verdadeiros e (1) não sejam verdadeiros. Segundo, observe que em nenhuma hipótese podemos concluir que ambos (1) são verdadeiros e (1) não são verdadeiros. Se mantivermos firmemente em mente que o raciocínio teórico da revisão é hipotético e não categórico, não inferiremos nenhuma contradição com a existência de uma sentença como (1) acima.

4.4 A tese da significação

As sugestões de Gupta e Belnap, relativas à significação de T e à interpretação do 'iff' nas bicondicionais T, se encaixam muito bem com duas intuições estreitamente relacionadas, articuladas em Gupta e Belnap, 1993. A primeira intuição, expressa livremente, é “que o T - os condicionais são analíticos e fixam o significado de 'verdadeiro'”(p. 6). Mais rigorosamente expressa, torna-se a “Tese da Significação” (p. 31): “Os bicondicionais T fixam a significação da verdade em todo mundo [onde um mundo é representado por um modelo básico]”. [6] Dado o tratamento revisão da teoria da definição 'sse', e dado um modelo de terra M, o T-biconditionals (10) que, como se referiu, corrigir o significado sugerido de T, ou seja, a regra de revisão τ M.

4.5 A superveniência da semântica

A segunda intuição é a superveniência da significação da verdade. Este é um descendente da superveniência proposta pela semântica de M. Kremer em 1988. A idéia é simples: quais sentenças se enquadram no conceito verdade devem ser fixadas (1) pela interpretação do vocabulário não-semântico e (2) pelos fatos empíricos. Em casos não circulares, essa intuição é particularmente forte: a interpretação padrão de “neve” e “branco” e o fato empírico de que a neve é branca são suficientes para determinar que a frase “neve é branca” se enquadra no conceito de verdade. A superveniência da significação da verdade é a tese de que a significação da verdade, seja ela qual for, é fixada pelo modelo básico M. Claramente, a RTT satisfaz esse princípio.

Vale a pena ver como uma teoria da verdade pode violar esse princípio. Considere a sentença que diz a verdade, ou seja, a sentença que diz por si mesma que é verdadeira:

(11) é verdade (11)

Como observado acima, a semântica de três valores de Kripke permite três valores de verdade, verdadeiro (t), falso (f) e nenhum (n). Dado um modelo básico M = <D, I> para uma linguagem de verdade L, as interpretações candidatas de T são interpretações de três valores, ou seja, funções h: D → {  t, f, n  }. Dada uma interpretação de três valores de T e um esquema para avaliar o valor de verdade de sentenças compostas em termos de suas partes, podemos especificar um valor de verdade Val M + h (A) = t, f ou n, para cada sentença A de L. O teorema central da semântica de três valores é que, dado qualquer modelo de solo M, existe uma interpretação de três valores h de T, de modo que, para cada sentença A, temos Val M + h (T  'A') = Val M + h (A). [7] Nós chamaremos essa interpretação de T de uma interpretação aceitável. Nosso ponto aqui é o seguinte: se há um revelador da verdade, como em (11), então não há apenas uma interpretação aceitável de T; existem três: um segundo o qual (11) é verdadeiro, um segundo o qual (11) é falso e outro segundo o qual (11) não é nenhum. Portanto, não existe uma interpretação “correta” única de Tdado um modelo básico M. Assim, a semântica de três valores parece violar a superveniência da semântica. [8]

O RTT não atribui um valor de verdade ao revelador (11). Em vez disso, fornece uma análise do tipo de raciocínio em que alguém pode se envolver com relação ao revelador da verdade: se começarmos com uma hipótese h segundo a qual (11) é verdadeira, a revisão (11) permanece verdadeira. E se começamos com uma hipótese h segundo a qual (11) não é verdadeira, a revisão (11) permanece não verdadeira. E é só isso que o conceito de verdade nos deixa. Dado esse comportamento de (11), o RTT nos diz que (11) não é categoricamente verdadeiro nem categoricamente falso, mas isso é bem diferente de um veredicto de que (11) não é verdadeiro nem falso.

4.6 Interpretação do formalismo por Yaqūb

Notamos uma interpretação alternativa do formalismo teórico da revisão. Yaqūb 1993 concorda com Gupta e Belnap de que os bicondicionais T são definicionais, e não materiais, e que o conceito de verdade é, portanto, circular. Mas Yaqūb interpreta essa circularidade de uma maneira distinta. Ele argumenta que,

como as condições de verdade de algumas frases envolvem referência à verdade de maneira essencial e irredutível, essas condições só podem ser obtidas ou falharem em um mundo que já inclui uma extensão do predicado da verdade. Portanto, para que o processo de revisão determine uma extensão do predicado de verdade, uma extensão inicial do predicado deve ser posta. Isso decorre da circularidade e da bivalência. (1993, 40)

Como Gupta e Belnap, Yaqub postula nenhuma extensão privilegiado para T. E, como Gupta e Belnap, ele vê as seqüências de revisão de extensões de T, cada sequência gerada por uma extensão hipotética inicial, como “capaz de acomodar (e diagnosticar) os vários tipos de sentenças problemáticas e não problemáticas das línguas em consideração” (1993 41). Mas, diferentemente de Gupta e Belnap, ele conclui dessas considerações que “a verdade em uma linguagem bivalente não é superveniente” (1993, 39). Ele explica em uma nota de rodapé: para que a verdade seja superveniente, o status de verdade de cada sentença deve ser "totalmente determinado por fatos não-semânticos". Yaqūb não usa explicitamente a noção de significado de um conceito. Mas Yaqūb parece comprometido com a alegação de que a significação de T - isto é, aquilo que determina o status de verdade de cada sentença - é dado por uma sequência de revisão específica. E nenhuma sequência de revisão é determinada pelos fatos não-semânticos, isto é, apenas pelo modelo de base: uma sequência de revisão é determinada, na melhor das hipóteses, por um modelo de base e uma hipótese inicial. [9]

5. Outras questões

5.1 Semântica de três valores

Apresentamos apenas a mais simples exposição da semântica de três valores, em nossa discussão sobre a superveniência da significação da verdade acima. Dada uma linguagem de verdade L e um modelo de solo M, definimos uma interpretação aceitável de três valores de T como uma interpretação h: D → {  t, f, n  } tal que Val M + h (T 'A') = Val M + h (A) para cada sentença A de L. Em geral, dado um modelo terreno H, existem muitas interpretações aceitáveis de T. Suponha que cada uma delas seja realmente uma interpretação verdadeiramente aceitável. Então a semântica de três valores viola a superveniência da significação de T.

Suponhamos, por outro lado, que, para cada modelo de chão H, podemos isolar uma interpretação privilegiada aceitável como a interpretação correcta de T. Gupta e Belnap apresentam uma série de considerações contra a semântica de três valores, assim concebida. (Veja Gupta & Belnap, 1993, capítulo 3.) Um argumento principal é que o teorema central, isto é, que para cada modelo de base existe uma interpretação aceitável, só é válido quando a linguagem subjacente é expressivamente empobrecida de certas maneiras: por exemplo, o A abordagem de três valores falha se o idioma tiver um ~ conectivo com a seguinte tabela de verdade:

UMA ~ A
t f
f t
n t

O único operador de negação que a abordagem de três valores pode manipular possui a seguinte tabela de verdade:

UMA ¬ A
t f
f t
n t

Mas considere o mentiroso que diz por si mesmo que "não é" verdade, neste último sentido de "não". Gupta e Belnap insistem na afirmação de que esta frase "deixa de ser intuitivamente paradoxal" (1993, 100). A vantagem reivindicada da RTT é sua capacidade de descrever o comportamento de sentenças genuinamente paradoxais: o mentiroso genuíno é instável sob a avaliação semântica: "Não importa qual seja nossa hipótese, a avaliação semântica refuta nossa hipótese". A semântica de três valores só pode lidar com o “mentiroso fraco”, ou seja, uma sentença que apenas se nega fracamente, mas que não é garantidamente paradoxal: “Há aparências do mentiroso aqui, mas elas enganam”.

5.2 Alterações à RTT

Observamos três maneiras de alterar o RTT. Primeiro, podemos colocar restrições nas quais hipóteses são aceitáveis. Por exemplo, Gupta e Belnap 1993 introduzem uma teoria, T c, da verdade baseada em hipóteses consistentes: uma hipótese h é consistente se o conjunto {A: h (A) = t } for um conjunto consistente completo de sentenças. Os méritos relativos de T *, T # e T c são discutidos em Gupta & Belnap 1993, capítulo 6.

Segundo, podemos adotar uma política de limites mais restritiva do que Gupta e Belnap. Lembre-se da pergunta feita na Seção 3: Como devemos definir S η (d) quando η é um ordinal de limite? Demos uma resposta parcial: qualquer objeto que seja estavelmente verdadeiro [falso] até esse estágio deve ser verdadeiro [falso] nesse estágio. Também observamos que, para um objeto d ∈ D que não se estabiliza até o estágio η, Gupta e Belnap 1993 permitem definir S η (d) como t ou f. Num contexto semelhante, Herzberger 1982a e 1982b atribui o valor f aos objetos instáveis. E Gupta sugeriu originalmente, em Gupta 1982, que elementos instáveis recebem qualquer valor que eles receberam na hipótese inicial S 0.

Essas duas primeiras maneiras de alterar a RTT restringem, de fato, a noção de uma sequência de revisão, colocando restrições nas quais nossas seqüências de revisão realmente contam como seqüências de revisão aceitáveis. As restrições são, em certo sentido, locais: a primeira restrição é obtida colocando restrições sobre as hipóteses que podem ser usadas, e a segunda restrição é obtida colocando restrições no que acontece nos ordinais de limite. Uma terceira opção seria colocar mais restrições globais nas quais seqüências de revisão putativas contam como aceitáveis. Yaqūb 1993 sugere, com efeito, uma regra de limite pela qual veredictos aceitáveis de sentenças instáveis em algum estágio limite η dependem de veredictos processados em outros estágios limites. Yaqūb argumenta que essas restrições nos permitem evitar certos "artefatos". Por exemplo, suponha que um modelo de solo M = <D, I>tem dois mentirosos independentes, tendo dois nomes α e β, onde I (α) = ¬ T α e I (β) = ¬ T β. Yāqub argumenta que é um mero “artefacto” da semântica revisão, ingènua apresentados, que existem sequências de revisão em que a frase ¬ t α ≡ ¬ t β é estavelmente verdade, desde que os dois são independentes mentirosos. Suas restrições globais são desenvolvidas para descartar tais seqüências. (Veja Chapuis 1996 para uma discussão mais aprofundada.)

5.3 Teoria de revisão para conceitos definidos circularmente

Conforme indicado em nossa discussão, na Seção 4, do 'iff' nos bicondicionais T, Gupta e Belnap apresentam o RTT como um caso especial de uma teoria de revisão de conceitos definidos circularmente. Para reconsiderar o exemplo da Seção 4. Suponha que L seja uma linguagem com predicado unário F e predicado binário R. Considere um novo conceito expresso por um predicado G, introduzido por meio de uma definição D:

Gx = df A (x, G)

onde A (x, G) é a fórmula

(Y (Ryx ⊃ Fx) (y (Ryx e Gx).

Nesse contexto, um modelo de base é um modelo clássico M = <D, I> da linguagem L: começamos com um domínio do discurso, D, e uma interpretação do predicado F e do símbolo de relação R. Gostaríamos de estender M a uma interpretação da linguagem L + G. Portanto, neste contexto, uma hipótese será pensada como uma extensão hipotética para o recém-introduzido conceito G. Formalmente, uma hipótese é simplesmente uma função h: D → { t, f } Dada a hipótese h, consideramos M + h o modelo clássico M + h = <D, I '>, onde eu' interpreta F e R da mesma maneira que eu e onde eu '(G) = h. Dada uma interpretação hipotética h de G, geramos uma nova interpretação de G da seguinte maneira: e o objeto d ∈ D está na nova extensão de G, apenas no caso de a fórmula definidora A (x, G) ser verdadeira de d no modelo M + h. Formalmente, usamos o modelo de base M e a definição D para definir uma regra de revisão, δ D, M, mapeando hipóteses para hipóteses, ou seja, interpretações hipotéticas de G para interpretações hipotéticas de G. Em particular, para qualquer fórmula B com uma variável livre x e d ∈ D, podemos definir o valor verdade Val M + h, d (B) da maneira padrão. Então,

δ D, M (h) (d) = Val M + h, d (A)

Dada uma regra de revisão δ D, H, que se pode generalizar a noção de uma sequência de revisão, que é agora uma sequência de extensões hipotéticas de G em vez de T. Podemos generalizar a noção de uma sentença B sendo estavelmente verdadeira, quase estavelmente verdadeira, etc., relativa a uma sequência de revisão. Gupta e Belnap apresentam os sistemas S * e S #, análogos a T * e T #, da seguinte forma: [10]

Definição 5.1.

  • Uma frase B é válido na definição D no modelo de chão M no sistema S * (notação M ⊨ *, D B) sse B é estavelmente verdadeiro em relação a cada sequência de revisão para a regra de revisão δ D, H.
  • Uma frase B é válido na definição D no modelo de chão M no sistema S # (notação M ⊨ #, D B) sse B é quase estavelmente verdadeiro em relação a cada sequência de revisão para a regra de revisão δ D, H.
  • Uma frase B é válida na definição D no sistema S * (notação ⊨ *, D B) se, para todos os modelos clássicos de solo M, tivermos M ⊨ *, D B.
  • Uma frase B é válida na definição D no sistema S # (notação ⊨ #, D B) se, para todos os modelos clássicos de solo M, temos M ⊨ #, D B.

Uma das principais questões em aberto de Gupta e Belnap é se existe um cálculo completo para esses sistemas: ou seja, para cada definição D, um dos dois conjuntos de frases a seguir é axiomatizável recursivamente: {B: ⊨ *, D B} e {B: ⊨ #, D B}. Kremer 1993 demonstra que a resposta não é: ele mostra que existe uma definição de D, tal que cada um destes conjuntos de penas é de pelo menos complexidade Π 1 2, colocando, assim, um limite inferior sobre a complexidade do S * e S #. (Antonelli 1994b e 2002 mostra que esse também é um limite superior.)

A prova de Kremer explora uma relação íntima entre definições circulares entendidas revisão - teoricamente e definições circulares entendidas como definições indutivas: a teoria das definições indutivas tem sido bastante bem entendida há algum tempo. Em particular, Kremer prova que todo conceito definido indutivamente pode ser definido em teoria de revisão. O poder expressivo e outros aspectos do tratamento teórico da revisão de definições circulares é o tópico de muitos trabalhos interessantes: ver Welch 2001, Löwe 2001, Löwe e Welch 2001 e Kühnberger et al. 2005.

5.5 Aplicações

Dado o tratamento geral teórico da revisão por Gupta e Belnap de definições circulares - cujo tratamento da verdade é um caso especial -, seria de esperar que as idéias teóricas da revisão fossem aplicadas a outros conceitos. Antonelli 1994a aplica essas idéias a conjuntos não fundamentados: um conjunto X não fundamentado pode ser considerado circular, pois, para alguns X 0,…, X n temos X ∈ X 0 ∈… ∈ X n ∈ X. E Chapuis 2003 aplica idéias teóricas de revisão à tomada de decisão racional.

5.5 Uma questão em aberto

Encerramos com uma pergunta em aberto sobre T * e T #. Lembre-se da definição 3.11, acima, que define quando uma sentença A de uma linguagem de verdade L é válida no modelo básico M por T * ou por T #. Diremos que A é válido por T * [alternativamente, por T #] se A for válido no modelo de solo M por T * [alternativamente, por T #] para cada modelo de solo M. Nossa pergunta em aberto é a seguinte: qual é a complexidade do conjunto de sentenças válido por T * [ T #]?

Bibliografia

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