Justificação Lógica

Índice:

Justificação Lógica
Justificação Lógica

Vídeo: Justificação Lógica

Vídeo: Justificação Lógica
Vídeo: Lógica proposicional [4] - Condições necessárias e/ou suficientes (2/4) 2024, Março
Anonim

Este é um arquivo nos arquivos da Enciclopédia Stanford of Philosophy. Informações sobre o autor e a citação | Visualização de PDF de amigos | Pesquisa InPho | Bibliografia PhilPapers

Justificação Lógica

Publicado pela primeira vez em 22 de junho de 2011; revisão substantiva qua 2011-07-20

Você pode dizer: “Eu sei que Abraham Lincoln era um homem alto. Por sua vez, você pode ser perguntado como sabe. Você quase certamente não responderia semanticamente, ao estilo Hintikka, que Abraham Lincoln era alto em todas as situações compatíveis com seu conhecimento. Em vez disso, você provavelmente diria: “Li sobre a altura de Abraham Lincoln em vários livros e vi fotos dele ao lado de outras pessoas. Certifica-se o conhecimento, fornecendo uma razão, uma justificativa. A semântica Hintikka captura conhecimento como crença verdadeira. A lógica da justificação fornece o terceiro componente que faltava na caracterização do conhecimento por Platão como crença verdadeira justificada.

  • 1. Por que lógica de justificação?

    • 1.1 Tradição epistêmica
    • 1.2 Tradição da lógica matemática
  • 2. Os componentes básicos da lógica da justificação

    • 2.1 A linguagem da lógica da justificação
    • 2.2 Lógica de justificação básica J 0
    • 2.3 Consciência lógica e especificações constantes
    • 2.4 Factividade
    • 2.5 Introspecção Positiva
    • 2.6 Introspecção negativa
  • 3. Semântica

    • 3.1 Modelos possíveis de justificação mundial para um agente para J
    • 3.2 Completude fraca e forte
    • 3.3 A família de agente único
    • 3.4 Modelos de justificação para um mundo único
  • 4. Teoremas da Realização
  • 5. Generalizações

    • 5.1 Misturando conhecimento explícito e implícito
    • 5.2 Modelos possíveis de justificação mundial para vários agentes
  • 6. Exemplo de Russell: fator induzido
  • 7. Auto-referencialidade das justificativas
  • 8. Quantificadores na lógica da justificação
  • 9. Notas históricas
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Entradas Relacionadas
  • Outros recursos da Internet

1. Por que lógica de justificação?

As lógicas de justificação são lógicas epistêmicas que permitem que as modalidades de conhecimento e crença sejam 'desdobradas' em termos de justificativa: em vez de □ X, escreve-se t: X e a lê como "X é justificado pela razão t". Pode-se pensar nos operadores modais tradicionais como modalidades implícitas, e termos de justificativa como suas elaborações explícitas que complementam as lógicas modais com maquinaria epistêmica mais refinada. A família de termos de justificação possui estrutura e operações. A escolha das operações gera diferentes lógicas de justificação. Para todas as lógicas epistêmicas comuns, suas modalidades podem ser completamente desdobradas em forma de justificação explícita. A este respeito, a lógica de justificação revela e usa o conteúdo explícito, mas oculto, da lógica modal epistêmica tradicional.

A lógica de justificação surgiu como parte de um projeto bem-sucedido para fornecer uma semântica construtiva para termos de justificação lógica intuicionista abstraídos, exceto os recursos mais básicos das provas matemáticas. As provas são justificativas, talvez em sua forma mais pura. Posteriormente, as lógicas de justificação foram introduzidas na epistemologia formal. Este artigo apresenta a gama geral de lógicas de justificação como atualmente entendidas. Ele discute seus relacionamentos com lógicas modais convencionais. Além das máquinas técnicas, o artigo examina de que maneira o uso de termos explícitos de justificação lança luz sobre vários problemas filosóficos tradicionais. O assunto como um todo ainda está em desenvolvimento ativo. O que é apresentado aqui é um instantâneo dele no momento da redação.

As raízes da lógica da justificação podem ser rastreadas até muitas fontes diferentes, duas das quais são discutidas em detalhes: epistemologia e lógica matemática.

1.1 Tradição epistêmica

As propriedades do conhecimento e da crença têm sido objeto de lógica formal pelo menos desde von Wright e Hintikka (Hintikka 1962, von Wright 1951). Conhecimento e crença são tratados como modalidades de uma maneira que agora é muito familiar - Lógica Epistêmica. Mas, dos três critérios de Platão para conhecimento, justificado, verdadeiro, crença (Gettier, 1963, Hendricks 2005), a lógica epistêmica realmente funciona com apenas dois deles. Mundos possíveis e crença de modelo indistinguível de capacidade - acredita-se o que é assim em todas as circunstâncias consideradas possíveis. A factividade coloca em jogo um componente de verdade - se algo não é tão real no mundo real, não pode ser conhecido, apenas acreditado. Mas não há representação para a condição de justificação. Não obstante,a abordagem modal foi notavelmente bem-sucedida em permitir o desenvolvimento de uma rica teoria e aplicações matemáticas (Fagin, Halpern, Moses e Vardi 1995, van Ditmarsch, van der Hoek e Kooi 2007). Ainda assim, não é o quadro completo.

A abordagem modal da lógica do conhecimento é, de certo modo, construída em torno do quantificador universal: X é conhecido em uma situação se X é verdadeiro em todas as situações indistinguíveis daquela. As justificativas, por outro lado, trazem um quantificador existencial para a imagem: X é conhecido em uma situação se existir uma justificativa para X nessa situação. Essa dicotomia universal / existencial é familiar para os lógicos - nas lógicas formais existe uma prova para a fórmula X se e somente se X é verdadeiro em todos os modelos para a lógica. Pensamos nos modelos como inerentemente não construtivos e nas provas como coisas construtivas. Não se errará ao pensar em justificativas em geral, tanto quanto em provas matemáticas. De fato, a primeira lógica de justificação foi projetada explicitamente para capturar provas matemáticas em aritmética,algo que será discutido mais adiante na Seção 1.2.

Na lógica de justificação, além da categoria de fórmulas, existe uma segunda categoria de justificativas. Justificativas são termos formais, criados a partir de constantes e variáveis usando vários símbolos de operação. As constantes representam justificativas para verdades comumente aceitas - normalmente axiomas. Variáveis denotam justificativas não especificadas. Diferentes lógicas de justificação diferem em quais operações são permitidas (e também de outras formas também). Se t é um termo de justificação e X é uma fórmula, t: X é uma fórmula e pretende ser lido:

t é uma justificativa para X.

Uma operação, comum a todas as lógicas de justificação, é a aplicação, escrita como multiplicação. A idéia é que, se s é uma justificativa para A → B e t é uma justificativa para A, então [s ⋅ t] é uma justificativa para B [1]. Ou seja, a validade do seguinte é geralmente assumida:

(1) s:(A → B) → (t: A → [s]: B).

Esta é a versão explícita da distributividade usual dos operadores de conhecimento e operadores modais em geral, por implicação:

2) □ (A → B) → (□ A → □ B).

De fato, a fórmula (2) está por trás de muitos dos problemas da onisciência lógica. Ele afirma que um agente sabe que tudo o que está implícito no conhecimento-conhecimento do agente é fechado em conseqüência. Embora o conhecimento em princípio, o conhecimento, seja fechado em conseqüência, o mesmo não pode ser dito para qualquer versão plausível do conhecimento real. A distinção entre (1) e (2) pode ser explorada em uma discussão do paradigmático Red Barn Example de Goldman e Kripke; Aqui está uma versão simplificada da história extraída de (Dretske 2005).

Suponha que eu esteja dirigindo por um bairro no qual, sem o meu conhecimento, os celeiros de papel machê estão espalhados, e vejo que o objeto à minha frente é um celeiro. Como percebo o celeiro antes de mim, acredito que o objeto à minha frente é um celeiro. Nossas intuições sugerem que eu não conheço o celeiro. Mas agora suponha que o bairro não possua celeiros vermelhos falsos, e também noto que o objeto na minha frente é vermelho, então sei que um celeiro vermelho está lá. Essa justaposição, sendo um celeiro vermelho, que eu conheço, implica a existência de um celeiro, o que eu não conheço "é uma vergonha".

Na primeira formalização do Exemplo do Celeiro Vermelho, a derivação lógica será realizada em uma lógica modal básica na qual □ é interpretada como a modalidade de 'crença'. Então, algumas das ocorrências de □ serão interpretadas externamente como 'conhecimento', de acordo com a descrição do problema. Seja B a frase "o objeto na minha frente é um celeiro" e seja R a frase "o objeto na minha frente é vermelho".

  1. □ B, 'acredito que o objeto à minha frente é um celeiro'
  2. □ (B ∧ R), 'acredito que o objeto à minha frente é um celeiro vermelho'.

No nível metal, 2 é realmente conhecimento, enquanto que pela descrição do problema, 1 não é conhecimento.

□ (B ∧ R → B), uma afirmação de conhecimento de um axioma lógico

Dentro dessa formalização, parece que o fechamento epistêmico em sua forma modal (2) é violado: a linha 2, □ (B ∧ R) e a linha 3, □ (B ∧ R → B) são casos de conhecimento, enquanto □ B (linha 1) não é conhecimento. O idioma modal aqui não parece ajudar a resolver esse problema.

Em seguida, considere o exemplo do celeiro vermelho na lógica da justificativa, onde t: F é interpretado como ' acredito que F pela razão t'. Seja uma justificativa individual específica para a crença em que B, e v, para a crença em que B ∧ R. Além disso, seja uma justificativa para a verdade lógica B ∧ R → B. Em seguida, a lista de suposições é:

  1. u: B, 'você é uma razão para acreditar que o objeto na minha frente é um celeiro'
  2. v:(B ∧ R), 'v é uma razão para acreditar que o objeto na minha frente é um celeiro vermelho'
  3. a:(B ∧ R → B).

No nível metal, a descrição do problema afirma que 2 e 3 são casos de conhecimento, e não apenas crença, enquanto 1 é crença que não é conhecimento. Aqui está como o raciocínio formal é:

  1. a:(B ∧ R → B) → (v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B), por princípio (1);
  2. v:(B ∧ R) → [a ⋅ v]: B, de 3 e 4, pela lógica proposicional;
  3. [a ⋅ v]: B, de 2 e 5, pela lógica proposicional.

Observe que a conclusão 6 é [a ⋅ v]: B, e não u: B; fechamento epistêmico é válido. Ao raciocinar na lógica da justificação, concluiu-se que [a ⋅ v]: B é um caso de conhecimento, ou seja, 'eu conheço B pela razão ⋅ v'. O fato de u: B não ser um caso de conhecimento não estraga o princípio do fechamento, uma vez que este último reivindica conhecimento especificamente para [a ⋅ v]: B. Portanto, depois de observar uma fachada vermelha, eu realmente conheço B, mas esse conhecimento nada tem a ver com 1, que permanece um caso de crença e não de conhecimento. A formalização da lógica de justificação representa a situação de maneira justa.

As justificativas de rastreamento representam a estrutura do Exemplo do Celeiro Vermelho de uma maneira que não é capturada pelas ferramentas modais epistêmicas tradicionais. A formalização da lógica da justificação modela o que parece estar acontecendo nesse caso; o fechamento do conhecimento sob vinculação lógica é mantido, mesmo que 'celeiro' não seja perceptualmente conhecido. [2]

1.2 Tradição da lógica matemática

Segundo Brouwer, a verdade na matemática construtiva (intuicionista) significa a existência de uma prova, cf. (Troelstra e van Dalen, 1988). Em 1931-34, Heyting e Kolmogorov fizeram uma descrição informal da semântica baseada em provas pretendida para a lógica intuicionista (Kolmogorov 1932, Heyting 1934), que agora é chamada de semântica de Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK). De acordo com as condições da BHK, uma fórmula é 'verdadeira' se tiver uma prova. Além disso, uma prova de uma declaração composta é conectada às provas de seus componentes da seguinte maneira:

  • uma prova de A ∧ B consiste em uma prova da proposição A e uma prova da proposição B;
  • uma prova de A ∨ B é apresentada apresentando uma prova de A ou uma prova de B;
  • uma prova de A → B é uma construção que transforma as provas de A em provas de B;
  • falsidade ⊥ é uma proposição que não tem prova, ¬ A é uma abreviação de A → ⊥.

Kolmogorov sugeriu explicitamente que os objetos do tipo prova em sua interpretação ("soluções de problemas") vieram da matemática clássica (Kolmogorov, 1932). De fato, de um ponto de vista fundamental, não faz muito sentido entender as 'provas' acima como provas de um sistema intuicionista que essas condições deveriam especificar.

O valor fundamental da semântica da BHK é que informalmente, mas sem ambiguidade, ela sugere tratar justificativas, aqui provas matemáticas, como objetos com operações.

Em (Gödel 1933), Gödel deu o primeiro passo no sentido de desenvolver uma semântica rigorosa baseada em provas para o intuicionismo. Gödel considerou a lógica modal clássica S4 como um cálculo que descreve propriedades de provabilidade:

  • Axiomas e regras da lógica proposicional clássica;
  • □ (F → G) → (□ F → □ G);
  • □ F → F;
  • □ F → □□ F;
  • Regra de necessidade: se ⊢ F, então ⊢ □ F.

Com base no entendimento de Brouwer da verdade lógica como provabilidade, Gödel definiu uma tradução tr (F) da fórmula proposicional F na linguagem intuicionista para a linguagem da lógica modal clássica: tr (F) é obtido prefixando todas as sub-fórmulas de F com a provabilidade modalidade □. Informalmente, quando o procedimento usual de determinar a verdade clássica de uma fórmula é aplicado a tr (F), ele testará a provabilidade (não a verdade) de cada uma das sub-fórmulas de F, de acordo com as idéias de Brouwer. Dos resultados de Gödel e do trabalho de McKinsey-Tarski na semântica topológica da lógica modal, segue-se que a tradução tr (F) fornece uma incorporação adequada do Cálculo Proposicional Intuicionista, IPC, no S4, ou seja, uma incorporação da lógica intuicionista na lógica clássica estendido pelo operador de disponibilidade.

(3) Se o IPC provar F, então S4 prova tr (F).

Ainda assim, o objetivo original de Gödel de definir a lógica intuicionista em termos de provabilidade clássica não foi atingido, uma vez que a conexão de S4 à noção matemática usual de provabilidade não foi estabelecida. Além disso, Gödel observou que a idéia direta de interpretar a modalidade □ F como F é comprovável em um determinado sistema formal T contradiz o segundo teorema da incompletude de Gödel. De fato, □ (□ F → F) pode ser derivado em S4 pela regra da necessidade a partir do axioma □ F → F. Por outro lado, interpretar a modalidade □ como o predicado de provabilidade formal na teoria T e F como contradição, converte essa fórmula em uma afirmação falsa de que a consistência de T é internamente comprovável em T.

A situação após (Gödel 1933) pode ser descrita pela figura a seguir, onde 'X ↪ Y' deve ser lido como 'X é interpretado em Y'

IPC (S4)? PRO PROVAS CLÁSSICAS

Em uma palestra pública em Viena em 1938, Gödel observou que, usando o formato de provas explícitas:

4) é uma prova de F

pode ajudar na interpretação de seu cálculo de provabilidade S4 (Gödel 1938). Infelizmente, o trabalho de Gödel (Gödel 1938) permaneceu inédito até 1995, quando a lógica gödeliana de provas explícitas já havia sido redescoberta e axiomatizada como a lógica das provas LP e fornecida com teoremas de completude, conectando-a às provas S4 e clássicas (Artemov 1995).

A lógica da prova LP tornou-se a primeira na família Justificação da lógica. Os termos de prova no LP nada mais são do que termos BHK entendidos como provas clássicas. Com o LP, a lógica intuicionista proposicional recebeu a semântica rigorosa desejada da BHK:

IPC ↪ S4 ↪ LP PRO PROVAS CLÁSSICAS

Para uma discussão mais aprofundada da tradição da lógica matemática, consulte a Seção 1 do documento complementar Some More Technical Matters.

2. Os componentes básicos da lógica da justificação

Nesta seção, são apresentadas a sintaxe e os axiomatics dos sistemas mais comuns de lógica de justificação.

2.1 A linguagem da lógica da justificação

Para construir um relato formal da lógica da justificação, é preciso fazer uma suposição estrutural básica: justificativas são objetos abstratos que possuem estrutura e operações sobre elas. Um bom exemplo de justificativa é fornecido por provas formais, que há muito tempo são objetos de estudo em lógica matemática e ciência da computação (cf. Seção 1.2).

Justificação A lógica é um quadro lógico formal que incorpora afirmações epistémicas t: F, representando 't é uma justificativa para F'. Justificação A lógica não analisa directamente o que significa t justificar F para além do formato t: F, mas tenta caracterizar esta relação axiomaticamente. É semelhante à maneira como a lógica booleana trata seus conectivos, digamos, disjunção: ela não analisa a fórmula p ∨ q, mas assume certos axiomas lógicos e tabelas de verdade sobre essa fórmula.

Existem várias decisões de design tomadas. Justificação A lógica começa com a base mais simples: lógica booleana clássica e por boas razões. As justificativas oferecem um desafio suficientemente sério, mesmo no nível mais simples. Os exemplos paradigmáticos de Russell, Goldman-Kripke, Gettier e outros, podem ser tratados com a lógica de justificação booleana. O núcleo da Lógica Epistêmica consiste em sistemas modais com uma base booleana clássica (K, T, K4, S4, K45, KD45, S5 etc.), e cada um deles recebeu um companheiro correspondente da lógica de justificação baseado na lógica booleana. Finalmente, nem sempre é assumida a factibilidade das justificativas. Isso torna possível capturar a essência das discussões em epistemologia envolvendo questões de crença e não de conhecimento.

A operação básica de justificativas é aplicação e soma. A operação de aplicação pega justificativas s e te produz uma justificativa s such tal que se s:(F → G) et: F, então [s ⋅ t]: G. Simbolicamente,

s:(F → G) → (t: F → [s]: G)

Essa é uma propriedade básica das justificativas assumidas na lógica combinatória e na semântica de λ -calculi (Troelstra e Schwichtenberg 1996), Brouwer-Heyting-Kolmogorov (Troelstra e van Dalen 1988), realizabilidade Kleene (Kleene 1945), Logic of Proofs LP, etc..

Quaisquer duas justificativas podem ser combinadas com segurança em algo com escopo mais amplo. Isso é feito usando a soma da operação '+'. Se s: F, qualquer que seja a evidência t, a evidência combinada s + t permanece uma justificativa para F. Mais apropriadamente, a operação '+' recebe justificativas se t e produz s + t, que é uma justificativa para tudo justificado por s ou por t.

s: F → [s + t]: F e t: F → [s + t]: F

Como motivação, pode-se pensar em s e dois volumes de uma enciclopédia, e s + t como o conjunto desses dois volumes. Imagine que um dos volumes, digamos s, contenha uma justificativa suficiente para uma proposição F, ou seja, s: F é o caso. Então, o conjunto maior s + t também contém uma justificativa suficiente para F, [s + t]: F. Na lógica das provas LP, seção 1.2, 's + t' pode ser interpretado como uma concatenação de provas s e t.

2.2 Lógica de justificação básica J 0

Os termos de justificação são construídos a partir das variáveis de justificação x, y, z,… e constantes de justificação a, b, c,… (com índices i = 1, 2, 3,… que são omitidos sempre que seguro) por meio das operações ' ⋅ 'e' + '. Lógicas mais elaboradas consideradas abaixo também permitem operações adicionais com justificativas. Constantes denotam justificativas atômicas que o sistema não analisa; variáveis denotam justificativas não especificadas. A lógica básica das justificativas, J 0, é axiomatizada pelo seguinte.

Lógica Clássica
Axiomas proposicionais clássicos e a regra Modus Ponens
Aplicação Axioma
s:(F → G) → (t: F → [s ⋅ t]: G),
Axiomas de soma
s: F → [s + t]: F, s: F → [t + s]: F.

J 0 é a lógica de justificações gerais (não necessariamente factivos) para um agente absolutamente cético para os quais não é comprovadamente fórmula justificado, ou seja, J 0 não deriva t: F para qualquer t e F. Tal agente é, no entanto, capaz de tirar conclusões de justificativa relativa da forma

Se x: A, y: B,…, z: C mantiverem-se, então t: F.

Com essa capacidade, J 0 é capaz de emular adequadamente outros sistemas de lógica de justificação em seu idioma.

2.3 Consciência lógica e especificações constantes

O princípio da Consciência Lógica afirma que os axiomas lógicos são justificados oficiosamente: um agente aceita axiomas lógicos como justificados (incluindo os relativos a justificativas). Como acabamos de afirmar, a Consciência Lógica pode ser muito forte em algumas situações epistêmicas. No entanto, a lógica oferece o mecanismo flexível das especificações constantes para representar vários tons de consciência lógica.

É claro que se distingue entre uma suposição e uma suposição justificada. Justificação As constantes lógicas são utilizadas para representar justificativas de suposições em situações em que não são mais analisadas. Suponha que se deseje postular que um axioma A é justificado para o conhecedor. Postula-se simplesmente e 1: A para alguma evidência constante e 1 (com índice 1). Se, além disso, se deseja postular que esse novo princípio e 1: A também se justifica, pode-se postular e 2:(e 1: A) para uma constante e 2(com índice 2). E assim por diante. Manter o controle dos índices não é necessário, mas é fácil e ajuda nos procedimentos de decisão (Kuznets 2008). O conjunto de todas as suposições desse tipo para uma dada lógica é chamado de Especificação Constante. Aqui está a definição formal:

Um CS de especificação constante para uma dada lógica de justificação L é um conjunto de fórmulas do formulário

e n: e n −1:…: e 1: A (n ≥ 1),

onde A é um axioma de L, e e 1, e 2,…, e n são constantes semelhantes aos índices 1, 2,…, n. Supõe-se que o CS contenha todas as especificações intermediárias, ou seja, sempre que e n: e n-1:…: e 1: A estiver em CS, e e- 1:…: e 1: A também esteja em CS.

Há várias condições especiais que foram colocadas em constantes especificações na literatura. A seguir, são os mais comuns.

Vazio
CS = ∅. Isso corresponde a um agente absolutamente cético. Isso equivale a trabalhar com a lógica J 0.
Finito
CS é um conjunto finito de fórmulas. Esse é um caso totalmente representativo, pois qualquer derivação específica na lógica de justificativa envolverá apenas um conjunto finito de constantes.
Axiomaticamente Apropriado
Cada axioma, incluindo aqueles recém-adquiridos através da própria especificação constante, tem justificativas. No cenário formal, para cada axioma A há uma constante e 1 tal que e 1: A está em CS, e se e n: e n -1:…: e 1: A ∈ CS, então e n +1: e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS, para cada n ≥ 1. Especificações constantes axiomaticamente apropriadas são necessárias para garantir a propriedade Internalization, discutida no final desta seção.
Total

Para cada axioma A e quaisquer constantes e 1, e 2,… e n,

e n: e n −1:…: e 1: A ∈ CS.

O nome TCS é reservado para a especificação constante total (para uma determinada lógica). Naturalmente, a especificação constante total é axiomaticamente apropriada.

Agora podemos especificar:

Lógica de justificativas com determinada especificação constante:

Seja CS uma especificação constante. J CS é a lógica J 0 + CS; os axiomas são os de J 0, juntamente com os membros do CS, ea única regra de inferência é Modus Ponens. Note que J 0 é J .

Lógica de justificativas

J é a lógica J 0 + Regra de internalização do axioma. A nova regra declara:

Para cada axioma A e quaisquer constantes E 1, E 2, …, e n inferir e n: e n -1: …: e 1: Uma.

Este último incorpora a idéia de Consciência Lógica irrestrita para J. Uma regra semelhante apareceu no LP Logic of Proofs, e também foi antecipada no Goldman (Goldman, 1967). A Consciência Lógica, conforme expressa por Especificações Constantes axiomaticamente apropriadas, é uma encarnação explícita da Regra da Necessidade na Lógica Modal: ⊢ F ⇒ ⊢ □ F, mas restrita a axiomas. Observe que J coincide com J TCS.

A principal característica dos sistemas de Justificação da lógica é sua capacidade de internalizar suas próprias derivações como afirmações de justificativa comprováveis em seus idiomas. Esta propriedade foi antecipada em (Gödel 1938).

Teorema 1: Para cada especificação constante axiomaticamente apropriada CS, J CS possui Internalização:

Se ⊢ F, então ⊢ p: F para algum termo de justificação p.

Prova. Indução no comprimento de derivação. Suponha ⊢ F. Se F é um membro de J 0, ou um membro de CS, não é uma constante e n (em que n pode ser 1) tal que e n: F é em CS, desde CS é axiomatically apropriado. Então e n: F é derivável. Se F é obtido por Modus Ponens a partir de X → F e X, então, pela Hipótese de Indução, X s:(X → F) e ⊢ t: X para alguns s, t. Usando o Axioma da Aplicação, ⊢ [s ⋅ t]: F.

Consulte a Seção 2 do documento suplementar Some More Matter Technical Matters para obter exemplos de derivações sintáticas concretas na lógica de justificação.

2.4 Factividade

A factividade afirma que as justificativas são suficientes para um agente concluir a verdade. Isso é incorporado a seguir.

Axioma de fatoração t: F → F.

O Axioma da Factividade tem uma motivação semelhante ao Axioma da Verdade da Lógica Epistêmica, □ F → F, que é amplamente aceito como uma propriedade básica do conhecimento.

Diferentemente dos princípios de Aplicação e Soma, a factibilidade das justificativas não é necessária nos sistemas lógicos de justificação básicos, o que os torna capazes de representar justificativas parciais e fatoriais. O Axiom de fator apareceu no Logic of Proofs LP, Seção 1.2, como uma característica principal das provas matemáticas. De fato, nesse cenário, a fatoração é claramente válida: se existe uma prova matemática t de F, então F deve ser verdadeiro.

O axioma da fatoração é adotado para justificativas que levam ao conhecimento. No entanto, a factividade sozinha não garante conhecimento, como foi demonstrado pelos exemplos de Gettier (Gettier, 1963).

Lógica das Justificativas Fativas

  • JT 0 = J 0 + Factividade;
  • JT = J + Factividade.

Os sistemas JT CS correspondentes às especificações constantes CS são definidos como na Seção 2.3.

2.5 Introspecção Positiva

Um dos princípios comuns do conhecimento é identificar o conhecimento e o conhecimento que se conhece. Em uma configuração modal, isso corresponde a □ F → □□ F. Esse princípio tem uma contrapartida explícita adequada: o fato de um agente aceitar t como evidência suficiente para F serve como evidência suficiente para t: F. Frequentemente, essa 'meta-evidência' tem uma forma física: um relatório do árbitro que certifica que uma prova em um artigo está correta; uma saída de verificação por computador, dada uma prova formal t de F como entrada; uma prova formal de que t é uma prova de F, etc. Uma operação de introspecção positiva '!' pode ser adicionado ao idioma para esse fim; então se assume que, dado t, o agente produz uma justificativa! t de t: F tal que t: F →! t:(t: F). A introspecção positiva nesta forma operacional apareceu pela primeira vez no Logic of Proofs LP.

Axioma de Introspecção Positiva: t: F →! t:(t: F).

Definimos então:

  • J4: = J + introspecção positiva;
  • LP: = JT + introspecção positiva. [3]

As lógicas J4 0, J4 CS, LP 0 e LP CS são definidas da maneira natural (consulte a Seção 2.3). O análogo direto do Teorema 1 também vale para J4 CS e LP CS.

Na presença do axioma da introspecção positiva, pode-se limitar o escopo da Regra de Internalização do Axioma a axiomas de internalização que não têm a forma e: A. Foi assim que foi feito no LP: Axiom Internalization pode ser emulado usando !! e:(! e:(e: A)) em vez de e 3:(e 2:(e 1: A)), etc. A noção de especificação constante também pode ser simplificada de acordo. Tais modificações são mínimas e não afetam os principais teoremas e aplicações da lógica de justificação.

2.6 Introspecção negativa

(Pacuit 2006, Rubtsova 2006) considerou a operação de introspecção negativa '?' que verifica se uma determinada afirmação de justificação é falsa. Uma possível motivação para considerar tal operação é que a operação de introspecção positiva '!' pode muito bem ser considerado capaz de fornecer julgamentos conclusivos de verificação sobre a validade das asserções de justificação t: F, portanto, quando t não é uma justificativa para F, esse '!' deve concluir que ¬ t: F. Normalmente, esse é o caso de verificadores de prova por computador, verificadores de prova em teorias formais etc. Essa motivação é, no entanto, sutil: os exemplos de verificadores de prova e verificadores de prova trabalham com teef como entradas, enquanto o formato Pacuit-Rubtsova? t sugere que a única entrada para '?' é uma justificação t, e o resultado? supõe-se que justifique proposições t:F uniformemente para todos os F s para os quais t: F não é válido. Tal operação '?' não existe para provas matemáticas formais desde então? deveria então ser uma prova única de infinitas proposições ¬ t: F, o que é impossível.

Introspecção Negativa Axioma F t: F →? t: (¬ t: F)

Nós definimos os sistemas:

  • J45 = J4 + introspecção negativa;
  • JD45 = J45 + ¬ t: ⊥;
  • JT45 = J45 + fator

e naturalmente estenda essas definições para J45 CS, JD45 CS e JT45 CS. O análogo direto do Teorema 1 é válido para J45 CS, JD45 CS e JT45 CS.

3. Semântica

A semântica agora padrão para lógica de justificação se origina em (Fitting 2005) - os modelos usados são geralmente chamados de modelos de ajuste na literatura, mas serão chamados aqui de possíveis modelos de justificação mundial. Os possíveis modelos de justificação mundial são um amálgama da semântica mundial possível e familiar para lógicas de conhecimento e crença, devido a Hintikka e Kripke, com máquinas específicas para termos de justificação, introduzidas por Mkrtychev em (Mkrtychev 1997), (cf. Seção 3.4).

3.1 Modelos possíveis de justificação mundial para um agente para J

Para ser preciso, uma semântica para J CS, onde CS é qualquer especificação constante, deve ser definida. Formalmente, um possível modelo de lógica de justificação mundial para J CS é uma estrutura M = ⟨G, R, E, V⟩. Disto, ⟨G, R⟩ é um quadro K padrão, onde G é um conjunto de mundos possíveis e R é uma relação binária. V é um mapeamento de variáveis proposicionais para subconjuntos de G, especificando a verdade atômica em mundos possíveis.

O novo item é E, uma função de evidência, originada em (Mkrtychev 1997). Isso mapeia termos e fórmulas de justificativa para conjuntos de mundos. A idéia intuitiva é que, se o mundo possível Γ estiver em E (t, X), então t é uma evidência relevante ou admissível para X no mundo Γ. Não se deve pensar em evidências relevantes como conclusivas. Em vez disso, pense nisso como mais uma evidência que pode ser admitida em um tribunal: esse testemunho, este documento é algo que um júri deve examinar, algo que é pertinente, mas algo cujo status determinante da verdade ainda deve ser considerado. As funções de evidência devem atender a certas condições, mas estas serão discutidas um pouco mais tarde.

Dado um modelo possível de justificação mundial J CS M = ⟨G, R, E, V⟩, a verdade da fórmula X no mundo possível Γ é denotada por M, ⊩ X e é necessária para atender às seguintes condições padrão:

Para cada ∈ ∈ G:

  1. M, if if P iff ∈ V (P) para P uma letra proposicional;
  2. não é o caso que M, ⊥ ⊩ ⊥;
  3. M, ⊩ X → Y se não for o caso de M, ⊩ X ou M, ⊩ Y.

Dizem apenas que a verdade atômica é especificada arbitrariamente, e os conectivos proposicionais se comportam de maneira funcional na verdade em cada mundo. O item chave é o próximo.

M, ⊩ (t: X) se e somente se ∈ ∈ E (t, X) e, para cada Δ ∈ G com Γ R Δ, temos esse M, Δ ⊩ X

Essa condição se divide em duas partes. A cláusula exigindo que M, Δ ⊩ X para cada Δ such G, de modo que Γ R Δ seja a condição familiar de Hintikka / Kripke para que X possa ser acreditado ou crível em Γ. A cláusula exigindo que ∈ ∈ E (t, X) acrescenta que t deve ser uma evidência relevante para X em Γ. Então, informalmente, t: X é verdadeiro em um mundo possível se X é crível nesse mundo no sentido usual da lógica epistêmica, e t é uma evidência relevante para X naquele mundo.

É importante perceber que, nessa semântica, não se pode acreditar em algo por uma razão específica no mundo, porque simplesmente não é crível ou porque é, mas a razão não é apropriada.

Algumas condições ainda devem ser colocadas nas funções de evidência, e a especificação constante também deve ser trazida à cena. Suponha que se receba s e t como justificativas. Pode-se combiná-los de duas maneiras diferentes: use simultaneamente as informações de ambos; ou use as informações de apenas um deles, mas primeiro escolha qual. Cada uma dá origem a uma operação básica em termos de justificação, ⋅ e +, introduzida axiomaticamente na Seção 2.2.

Suponha que s é uma evidência relevante para uma implicação e t é uma evidência relevante para o antecedente. Então, s e t juntos fornecem evidências relevantes para o conseqüente. A seguinte condição nas funções de evidência é assumida:

E (s, X → Y) ∩E (t, X) ⊆ E (s ⋅ t, Y)

Com essa condição adicionada, a validade de

s:(X → Y) → (t: X → [s]: Y)

está protegido.

Se s e t são itens de evidência, pode-se dizer que algo é justificado por um de s ou t, sem se preocupar em especificar qual, e isso ainda será evidência. O requisito a seguir é imposto às funções de evidência.

E (s, X) ∪ E (t, X) ⊆ E (s + t, X)

Não é de surpreender que ambos

s: X → [s + t]: X

e

t: X → [s + t]: X

agora espera.

Finalmente, o Constant Specification CS deve ser levado em consideração. Lembre-se de que as constantes pretendem representar razões para suposições básicas que são aceitas completamente. Um modelo M = ⟨G, R, E, V⟩ atende à Especificação Constante CS fornecida: se c: X ∈ CS então E (c, X) = G.

Possível modelo de justificativa mundial Um possível modelo de justificativa mundial para J CS é uma estrutura M = ⟨G, R, E, V⟩ que satisfaz todas as condições listadas acima e atende às especificações constantes CS.

Apesar de suas semelhanças, os possíveis modelos de justificativa mundial permitem uma análise refinada que não é possível com os modelos Kripke. Consulte a Seção 3 do documento suplementar Mais alguns assuntos técnicos para obter mais detalhes.

3.2 Completude fraca e forte

Uma fórmula X é válida em um modelo específico para J CS se for verdadeira em todos os mundos possíveis do modelo. Axiomatics para J CS foi dado nas seções 2.2 e 2.3. Um teorema da completude agora assume a forma esperada.

Teorema 2: Uma fórmula X é comprovável em J CS se e somente se X é válido em todos os modelos de J CS.

O teorema da completude, como acabamos de declarar, às vezes é chamado de completude fraca. Talvez seja um pouco surpreendente que seja significativamente mais fácil provar do que completude a lógica modal K. Comentários a seguir são apresentados. Por outro lado, é muito geral, trabalhando para todas as especificações constantes.

Em (Fitting 2005), uma versão mais forte da semântica também foi introduzida. Um modelo M = ⟨G, R, E, V⟩ é chamado de explicativo completo se atender à seguinte condição. Para cada ∈ ∈ G, se M, Δ X para todos os Δ G, de modo que R Δ, então M, ⊩ t: X para algum termo de justificação t. Observe que a condição, M, Δ ⊩ X para todos os Δ ∈ G, tal que Γ R Δ, é a condição usual para X ser crível em Γ no sentido Hintikka / Kripke. Então, totalmente explicativo realmente diz que, se uma fórmula é crível em um mundo possível, há uma justificativa para isso.

Nem todos os modelos fracos atendem à condição totalmente explicativa. Modelos que o fazem são chamados de modelos fortes. Se a especificação constante de CS é rica o suficiente para que um teorema de Internalização se mantenha, então a pessoa possui integridade em relação a modelos fortes que atendem a CS. De fato, em um sentido apropriado, a integridade em relação a modelos fortes é equivalente a ser capaz de provar a internalização.

A prova de completude com relação a modelos fortes tem uma grande semelhança com a prova de completude usando modelos canônicos para a lógica modal K. Por sua vez, modelos fortes podem ser usados para fornecer uma prova semântica do Teorema da Realização (cf. Seção 4).

3.3 A família de agente único

Até agora, uma possível semântica mundial para uma lógica de justificação foi discutida, para J, a contraparte de K. Agora, as coisas são ampliadas para abranger análogos de justificação de outras lógicas modais familiares.

Simplesmente adicionando reflexividade da relação de acessibilidade R às condições de um modelo na Seção 3.1, obtém-se a validade de t: X → X para cada te X, e obtém uma semântica para JT, a lógica de justificação análoga da lógica modal T, a mais fraca lógica do conhecimento. De fato, se M,: t: X, em particular, X é verdadeiro em todos os estados acessíveis a partir de Γ. Como é necessário que a relação de acessibilidade seja reflexiva, M, ⊩ ⊩ X. Teoremas de completude fracos e fortes são prováveis usando o mesmo mecanismo aplicado no caso de J, e uma prova semântica de um Teorema de Realização conectando JT e T também está disponível. O mesmo se aplica às lógicas discutidas abaixo.

Para um análogo de justificação do K4, um operador unário adicional '!' é adicionado ao termo idioma, consulte a Seção 2.5. Lembre-se de que esse operador mapeia justificativas para justificativas, onde a idéia é que, se t é uma justificativa para X, então! t deve ser uma justificativa para t: X. Semanticamente, isso adiciona condições ao modelo M = ⟨G, R, E, V⟩, conforme a seguir.

Primeiro, é claro, R deve ser transitivo, mas não necessariamente reflexivo. Segundo, é necessária uma condição de monotonicidade nas funções de evidência:

Se Γ R Δ e Γ ∈ E (t, X) então Δ ∈ E (t, X)

E, finalmente, é necessária mais uma condição de função de evidência.

E (t, X) ⊆ E (! T, t: X)

Essas condições juntas implicam a validade de t: X →! t: t: X e produz uma semântica para J4, um análogo de justificação de K4, com um Teorema de Realização conectando-os. Adicionar reflexividade leva a uma lógica chamada LP por razões históricas.

Pode-se também adicionar um operador de introspecção negativo, '?', Consulte a Seção 2.6. Modelos para lógicas de justificação que incluem esse operador adicionam três condições. Primeiro R é simétrico. Segundo, acrescenta-se uma condição que passou a ser conhecida como forte evidência: M, ⊩ t: X para todos ∈ ∈ E (t, X). Finalmente, há uma condição na função de evidência:

E (t, X) E (? T, t: X)

Se esse mecanismo for adicionado ao J4, obtemos a lógica J45, uma justificativa do K45. A solidez e a integridade axiomática podem ser comprovadas. De maneira semelhante, as lógicas relacionadas JD45 e JT45 podem ser formuladas.

Um Teorema da Realização levando esse operador em consideração foi mostrado em (Rubtsova 2006).

3.4 Modelos de justificação para um mundo único

Modelos de justificação de mundo único foram desenvolvidos consideravelmente antes dos modelos de justificação de mundo mais gerais possíveis que estamos discutindo (Mkrtychev 1997). Hoje, eles podem simplesmente ser vistos como possíveis modelos de justificação mundial que, por acaso, têm um único mundo. A prova de completude para J e as outras lógicas de justificativa mencionadas acima pode ser facilmente modificada para estabelecer a completude com relação aos modelos de justificativa para um único mundo, embora, é claro, esse não tenha sido o argumento original. O que é completo com relação aos modelos de justificação do mundo único nos diz é que as informações sobre a possível estrutura mundial dos modelos de justificação podem ser completamente codificadas pela função de evidência admissível, pelo menos para as lógicas discutidas até agora. Mkrtychev usou modelos de justificação de mundo único para estabelecer a decidibilidade do PL,e outros fizeram uso fundamental deles para estabelecer limites de complexidade para lógicas de justificação, bem como para mostrar resultados de conservatividade para lógicas de crença para justificação (Kuznets 2000, Kuznets 2008, Milnikel 2007, Milnikel 2009). Os resultados da complexidade foram ainda utilizados para resolver o problema da onisciência lógica.

4. Teoremas da Realização

A contraparte epistêmica modal natural da afirmação de evidência t: F é □ F, lida para alguns x, x: F. Essa observação leva à noção de projeção esquecida que substitui cada ocorrência de t: F por □ F e, portanto, converte uma sentença lógica de justificação S em uma sentença lógica modal correspondente S o. A projeção esquecida se estende de maneira natural das frases à lógica.

Obviamente, frases diferentes Justificação lógico pode ter a mesma projecção esquecido, portanto, S O perde certa informação que estava contido em S. Entretanto, é fácil observar que a projeção esquecida sempre mapeia fórmulas válidas da lógica de justificação (por exemplo, axiomas de J) para fórmulas válidas de uma lógica epistêmica correspondente (K, neste caso). O inverso também vale: qualquer fórmula válida da lógica epistêmica é a projeção esquecida de alguma fórmula válida da lógica da justificação. Isto segue o Teorema da Correspondência 3.

Teorema 3: J o = K.

Essa correspondência vale para outros pares de Justificação e sistemas epistêmicos, por exemplo, J4 e K4, ou LP e S4, e muitos outros. Em tal forma estendida, o Teorema da Correspondência mostra que grandes lógicas modais, como K, T, K4, S4, K45, S5 e algumas outras, têm contrapartes exatas da lógica de justificação.

No cerne do Teorema da Correspondência está o seguinte Teorema da Realização.

Teorema 4: Existe um algoritmo que, para cada fórmula modal F derivável em K, atribui termos de evidência a cada ocorrência da modalidade em F, de modo que a fórmula resultante F r seja derivável em J. Além disso, a realização atribui variáveis de evidência às ocorrências negativas dos operadores modais em F, respeitando, assim, a leitura existencial da modalidade epistêmica.

Algoritmos de realização conhecidos que recuperam termos de evidência em teoremas modais usam derivações livres de cortes nas lógicas modais correspondentes. Alternativamente, o Teorema da Realização pode ser estabelecido semanticamente pelo método de Fitting ou por suas modificações apropriadas. Em princípio, esses argumentos semânticos também produzem procedimentos de realização baseados em pesquisa exaustiva.

Seria um erro chegar à conclusão de que qualquer lógica modal tem uma contrapartida razoável da lógica de justificação. Por exemplo, a lógica da provabilidade formal, GL, (Boolos 1993) contém o Princípio de Löb:

(5) □ (□ F → F) → □ F,

que parece não ter uma versão explícita epistemicamente aceitável. Considere, por exemplo, o caso em que F é a constante proposicional ⊥ para false. Se um análogo do Teorema 4 abranger o Princípio de Löb, haveria termos de justificação s e t tais que x:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥. Mas isso é intuitivamente falso para justificação factual. De fato, s: ⊥ → ⊥ é uma instância do axioma da fatoração. Aplique Internalização Axiom para obter c:(s: ⊥ → ⊥) para alguma constante c. Essa escolha de c torna o antecedente de c:(s: ⊥ → ⊥) → t: ⊥ intuitivamente verdadeiro e a conclusão falsa [4]. Em particular, o Princípio de Löb (5) não é válido para a interpretação da prova (cf. (Goris 2007) para uma descrição completa de quais princípios de GL são realizáveis).

O Teorema da Correspondência fornece uma nova visão das lógicas modais epistêmicas. Mais notavelmente, fornece uma nova semântica para as principais lógicas modais. Além da leitura tradicional 'universal' no estilo Kripke de □ F como F é válida em todas as situações possíveis, agora existe uma semântica 'existencial' rigorosa para □ F que pode ser lida quando houver uma testemunha (prova, justificação) de F.

A semântica da justificação desempenha um papel semelhante na lógica modal à desempenhada pela realizabilidade de Kleene na lógica intuicionista. Em ambos os casos, a semântica pretendida é existencial: a interpretação Brouwer-Heyting-Kolmogorov da Lógica Intuicionista (Heyting 1934, Troelstra e van Dalen 1988, van Dalen 1986) e a leitura de provabilidade de S4 por Gödel (Gödel 1933, Gödel 1938). Em ambos os casos, há uma semântica possível no mundo de universalpersonagem que é uma ferramenta técnica altamente potente e dominante. Porém, ele não trata do caráter existencial da semântica pretendida. Foi necessária a capacidade de realização de Kleene (Kleene 1945, Troelstra 1998) para revelar a semântica computacional da lógica intuicionista e a lógica das provas para fornecer a semântica exata das provas BHK para a lógica intuicionista e modal.

No contexto epistêmico, a lógica da justificação e o teorema da correspondência acrescentam um novo componente de 'justificação' à lógica modal do conhecimento e da crença. Novamente, esse novo componente era, de fato, uma noção antiga e central que tem sido amplamente discutida pelos epistemólogos tradicionais, mas que permaneceu fora do escopo da lógica epistêmica clássica. O Teorema da Correspondência nos diz que as justificativas são compatíveis com os sistemas do estilo Hintikka e, portanto, podem ser incorporadas com segurança aos alicerces da Lógica Modal Epistêmica.

Consulte a Seção 4 do documento suplementar Mais alguns assuntos técnicos para obter mais informações sobre os teoremas da realização.

5. Generalizações

Até agora, neste artigo, apenas lógicas de justificação de agente único, análogas às lógicas de conhecimento de agente único, foram consideradas. Justificação A lógica pode ser considerada uma lógica do conhecimento explícito, relacionada com lógicas mais convencionais do conhecimento implícito. Vários sistemas além dos discutidos acima foram investigados na literatura, envolvendo múltiplos agentes ou possuindo operadores implícitos e explícitos, ou alguma combinação destes.

5.1 Misturando conhecimento explícito e implícito

Como a lógica da justificação fornece justificativas explícitas, enquanto a lógica convencional do conhecimento fornece um operador implícito do conhecimento, é natural considerar a combinação dos dois em um único sistema. A lógica conjunta mais comum do conhecimento explícito e implícito é o S4LP (Artemov e Nogina 2005). A linguagem do S4LP é semelhante à do LP, mas com um operador de conhecimento implícito adicionado, escrito K ou □. O axiomatics é como o do LP, combinado com o do S4 para o operador implícito, junto com um axioma de conexão, t: X → □ X, qualquer coisa que tenha uma justificativa explícita é conhecida.

Semanticamente, os possíveis modelos mundiais de justificação para LP não precisam de modificação, pois já possuem todo o maquinário dos modelos Hintikka / Kripke. Um modela o operador □ da maneira usual, usando apenas a relação de acessibilidade, e um modela os termos de justificação, conforme descrito na Seção 3.1, usando a acessibilidade e a função de evidência. Como a condição usual para □ X ser verdadeira em um mundo é uma das duas cláusulas da condição para t: X ser verdadeira, isso imediatamente produz a validade de t: X → □ X, e a solidez segue facilmente. A completude axiomática também é bastante direta.

No S4LP, tanto o conhecimento implícito quanto o explícito são representados, mas na possível semântica do modelo de justificação mundial, uma única relação de acessibilidade serve para ambos. Esta não é a única maneira de fazê-lo. De um modo mais geral, uma relação explícita de acessibilidade ao conhecimento pode ser uma extensão adequada para o conhecimento implícito. Isso representa a visão do conhecimento explícito como tendo padrões mais rígidos para o que conta como conhecido do que o conhecimento implícito. O uso de diferentes relações de acessibilidade para conhecimento explícito e implícito torna-se necessário quando essas noções epistêmicas obedecem a leis lógicas diferentes, por exemplo, S5 para conhecimento implícito e LP para explícito. O caso de relações de acessibilidade múltipla é comumente conhecido na literatura como modelos de Artemov-Fitting, mas será chamado aqui de modelos mundiais possíveis para vários agentes. (cf. Seção 5.2).

Curiosamente, enquanto a lógica S4LP parece bastante natural, um Teorema da Realização tem sido problemático para ele: nenhum teorema desse tipo pode ser provado se alguém insistir no que é chamado de realizações normais (Kuznets 2010). A realização de modalidades implícitas de conhecimento no S4LP por justificativas explícitas que respeitariam a estrutura epistêmica continua sendo um grande desafio nessa área.

Às vezes, as interações entre conhecimento implícito e explícito podem ser bastante delicadas. Como exemplo, considere o seguinte princípio misto de introspecção negativa (novamente □ deve ser lido como um operador epistêmico implícito),

(6) ¬ t: X → □: t: X.

Da perspectiva da provabilidade, é a forma correta de introspecção negativa. De fato, □ F seja interpretado como F é comprovável e t: F como t é uma prova de F em uma dada teoria formal T, por exemplo, no Peano Arithmetic PA. Então (6) afirma um princípio comprovável. De fato, se t não é uma prova de F, então, uma vez que essa afirmação é decidível, ela pode ser estabelecida dentro de T; portanto, em T essa frase é comprovável. Por outro lado, a prova p de 't não é prova de F' depende de t e F, p = p (t, F) e não pode ser calculada dada apenas t. A esse respeito, □ não pode ser substituído por nenhum termo de prova específico, dependendo apenas de t e (6) não pode ser apresentado em um formato de estilo de justificação totalmente explícito.

Os primeiros exemplos de sistemas de conhecimento explícito / implícito apareceram na área de lógica de provabilidade. Em (Sidon 1997, Yavorskaya (Sidon) 2001), foi introduzido um LPP lógico que combinava a lógica da provabilidade GL com a lógica das provas LP, mas para garantir que o sistema resultante tivesse propriedades lógicas desejáveis, algumas operações adicionais de fora dos idiomas originais de GL e LP foram adicionados. Em (Nogina 2006, Nogina 2007), foi oferecido um sistema lógico completo, GLA, para provas e provabilidade, na soma dos idiomas originais de GL e LP. Tanto o LPP quanto o GLA desfrutam de integridade em relação à classe de modelos aritméticos e também em relação à classe de possíveis modelos de justificação mundial.

Outro exemplo de um princípio de provabilidade que não pode ser completamente explícito é o Princípio de Löb (5). Para cada LPP e GLA, é fácil encontrar um termo de prova l (x) tal que

(7) x: (□ F → F) → l (x): F

detém. No entanto, não há realização que torne os três □ s em (5) explícitos. De fato, o conjunto de princípios de possibilidade de realização é a interseção de GL e S4 (Goris 2007).

5.2 Modelos possíveis de justificação mundial para vários agentes

Nos modelos de justificativa mundial possível para vários agentes, são empregadas várias relações de acessibilidade, com conexões entre eles (Artemov 2006). A idéia é que existem vários agentes, cada um com um operador de conhecimento implícito, e há termos de justificativa que cada agente entende. Vagamente, todo mundo entende razões explícitas; estes equivalem ao conhecimento comum baseado em evidências.

-Agent modelo justificação mundo possível um n é um ⟨G estrutura, R 1, …, R n, R, E, V⟩ satisfazer as seguintes condições. G é um conjunto de mundos possíveis. Cada um de R 1,…, R n é uma relação de acessibilidade, uma para cada agente. Estes podem ser considerados reflexivos, transitivos ou simétricos, conforme desejado. Eles são usados para modelar o conhecimento implícito do agente para a família de agentes. A relação de acessibilidade R atende às condições, reflexividade e transitividade do PL. É usado na modelagem de conhecimento explícito. E é uma função de evidência, atendendo às mesmas condições que para LP na Seção 3.3. V mapeia cartas proposicionais para conjuntos de mundos, como sempre. Existe uma condição especial imposta: para cada i = 1,…, n, R i ⊆ R.

Se M = ⟨G, R 1, …, R n, R, E, V⟩ é um possível modelo de justificação mundo multi-agente uma relação verdade-a-um-mundo, H, Γ ⊩ X, é definido com mais de as cláusulas usuais. Os de interesse particular são os seguintes:

  • M, ⊩ K i X se e somente se, para cada Δ ∈ G com Γ R i Δ, temos esse M, Δ ⊩ X.
  • M, ⊩ t: X se e somente se ∈ ∈ E (t, X) e, para cada Δ ∈ G com Γ R Δ, temos esse M, Δ ⊩ X.

A condição R i ⊆ R implica a validade de t: X → K i X, para cada agente i. Se houver apenas um agente, e a relação de acessibilidade para esse agente for reflexiva e transitiva, isso fornecerá outra semântica para o S4LP. Qualquer que seja o número de agentes, cada agente aceita razões explícitas como estabelecimento de conhecimento.

Uma versão do LP com dois agentes foi introduzida e estudada em (Yavorskaya (Sidon) 2008), embora possa ser generalizada para qualquer número finito de agentes. Neste, cada agente tem seu próprio conjunto de operadores de justificação, variáveis e constantes, em vez de ter um único conjunto para todos, como acima. Além disso, pode ser permitida uma comunicação limitada entre agentes, usando um novo operador que permita que um agente verifique a exatidão das justificativas do outro agente. Versões do mundo único e da semântica de justificação mundial mais geral possível foram criadas para a lógica de dois agentes. Isso envolve uma extensão direta da noção de função de evidência e, para possíveis modelos de justificação mundial, usando duas relações de acessibilidade. Teoremas de realização foram provados sintaticamente,embora, presumivelmente, uma prova semântica também funcionasse.

Houve alguma exploração recente do papel dos anúncios públicos nas lógicas de justificação de vários agentes (Renne 2008, Renne 2009).

Há mais informações sobre a noção de conhecimento comum baseado em evidências na Seção 5 do documento complementar Some More Matters Technical.

6. Exemplo de Russell: fator induzido

Existe uma técnica para usar a lógica de justificação para analisar justificativas diferentes para o mesmo fato, principalmente quando algumas são justificativas e outras não. Para demonstrar a técnica, considere um exemplo conhecido:

Se um homem acredita que o sobrenome do falecido primeiro-ministro começou com um 'B', ele acredita no que é verdade, já que o falecido primeiro-ministro era Sir Henry Campbell Bannerman [5]. Mas se ele acredita que o Sr. Balfour foi o falecido primeiro-ministro [6], ele ainda acreditará que o sobrenome do falecido primeiro-ministro começou com um 'B', mas essa crença, embora verdadeira, não seria considerada um conhecimento. (Russell, 1912)

Como no Exemplo do Celeiro Vermelho, discutido na Seção 1.1, aqui é preciso lidar com duas justificativas para uma afirmação verdadeira, uma das quais está correta e a outra não. Seja B uma sentença (átomo proposicional), w seja uma variável justificativa designada pela razão errada para B e ra variável justificativa designada pela razão correta (portanto factual) para B. Então, o exemplo de Russell solicita o seguinte conjunto de suposições [7]:

R = {w: B, r: B, r: B → B}

De certa forma contrário à intuição, pode-se deduzir logicamente a efetividade de w a partir de R:

  1. r: B (suposição)
  2. r: B → B (suposição)
  3. B (de 1 e 2 por Modus Ponens)
  4. B → (w: B → B) (axioma proposicional)
  5. w: B → B (de 3 e 4 por Modus Ponens)

Entretanto, essa derivação utiliza o fato de que r é uma justificativa factual para B concluir w: B → B, que constitui um caso de 'fatoração induzida' para w: B. A questão é: como distinguir a factividade "real" de r: B da "factividade induzida" de w: B? É necessário algum tipo de rastreamento da verdade aqui, e a lógica da justificação é uma ferramenta apropriada. A abordagem natural é considerar o conjunto de suposições sem r: B, ou seja,

S = {w: B, r: B → B}

e estabeleça que a factividade de w, isto é, w: B → B não é derivável de S. Aqui está um modelo de justificação mundial possível M = (G, R, E, V) no qual S é válido, mas w: B → B não:

  • G = { 1 },
  • R = ∅,
  • V (B) = ∅ (e portanto não- um ⊩ B),
  • E (t, F) = { 1 } para todos os pares (t, F), exceto (r, B), e
  • E (r, B) = ∅.

É fácil ver que as condições de fechamento Aplicação e Soma em E são cumpridas. Em 1, w: B mantém, ou seja,

1 ⊩ w: B

como w é evidência admissível para B em 1 e não há mundos possíveis acessíveis a partir de 1. Além disso,

não- um ⊩ r: B

uma vez que, de acordo com E, r não é evidência admissível para B em 1. Conseqüentemente:

1 ⊩ r: B → B

Por outro lado,

não- um ⊩ W: B B →

já que B não se mantém em 1.

7. Auto-referencialidade das justificativas

Os algoritmos de Realização às vezes produzem Especificações Constantes contendo afirmações de justificativas autorreferenciais c: A (c), ou seja, afirmações nas quais a justificativa (aqui c) ocorre na proposição afirmada (aqui A (c)).

A auto-referencialidade das justificativas é um fenômeno novo que não está presente na linguagem modal convencional. Além de serem objetos epistêmicos intrigantes, essas afirmações autorreferenciais oferecem um desafio especial do ponto de vista semântico, devido ao círculo vicioso incorporado. De fato, para avaliar c, seria de esperar primeiro avaliar A e depois atribuir um objeto de justificação para A a c. No entanto, isso não pode ser feito, pois A contém c que ainda está para ser avaliado. A questão de saber se a lógica modal pode ou não ser realizada sem o uso de justificativas autorreferenciais foi uma questão importante em aberto nessa área.

O principal resultado de Kuznets em (Brezhnev e Kuznets 2006) afirma que a auto-referencialidade das justificativas é inevitável na realização de S4 no LP. O estado atual das coisas é dado pelo seguinte teorema devido a Kuznets:

Teorema 5: A auto-referencialidade pode ser evitada nas realizações das lógicas modais K e D. A auto-referencialidade não pode ser evitada nas realizações das lógicas modais T, K4, D4 e S4.

Este teorema estabelece que um sistema de termos de justificação para S4 será necessariamente auto-referencial. Isso cria uma restrição séria, embora não diretamente visível, à semântica de provabilidade. No contexto gödeliano de provas aritméticas, o problema foi resolvido por um método geral de atribuir semântica aritmética a afirmações autorreferenciais c: A (c) afirmando que c é uma prova de A (c). No Logic of Proofs LP, foi tratado por uma construção de ponto fixo não trivial.

A autorreferencialidade fornece uma perspectiva interessante sobre o paradoxo de Moore. Consulte a Seção 6 do documento suplementar Mais alguns assuntos técnicos para obter detalhes.

8. Quantificadores na lógica da justificação

Embora a investigação da lógica de justificação proposicional esteja longe de ser concluída, também houve trabalhos esporádicos nas versões de primeira ordem. As versões quantificadas do Modal Logic já oferecem complexidades além da lógica padrão de primeira ordem. A quantificação tem um campo ainda mais amplo a desempenhar quando a lógica de justificação está envolvida. Classicamente, quantifica-se sobre 'objetos' e os modelos são equipados com um domínio sobre o qual os quantificadores variam. Modalmente, um pode ter um único domínio comum a todos os mundos possíveis, ou um pode ter domínios separados para cada mundo. O papel da fórmula Barcan é bem conhecido aqui. As opções de domínio constante e variável também estão disponíveis para a lógica de justificação. Além disso, existe uma possibilidade que não tem analógico para a Modal Logic: pode-se quantificar sobre as próprias justificativas.

Os resultados iniciais relativos à possibilidade de lógica de justificação quantificada foram notavelmente desfavoráveis. A semântica aritmética de provabilidade para o Logic of Proofs LP, naturalmente generaliza para uma versão de primeira ordem com quantificadores convencionais e para uma versão com quantificadores sobre provas. Nos dois casos, as questões de axiomatizabilidade foram respondidas negativamente.

Teorema 6: A lógica de primeira ordem das provas não é recursivamente enumerável (Artemov e Yavorskaya (Sidon) 2001). A lógica das provas com quantificadores sobre as provas não é recursivamente enumerável (Yavorsky 2001).

Embora uma semântica aritmética não seja possível, em (Fitting 2008) foi possível uma semântica mundial possível e uma teoria axiomática da prova para uma versão do LP com quantificadores que ultrapassavam justificativas. A solidez e a integridade foram comprovadas. Nesse ponto, a possível semântica do mundo se separa da semântica aritmética, o que pode ou não ser motivo de alarme. Também foi mostrado que S4 incorpora a lógica quantificada traduzindo □ Z como "existe uma justificativa x tal que x: Z * ", onde Z * é a tradução de Z. Embora essa lógica seja um pouco complicada, ela encontrou aplicações, por exemplo, em (Dean e Kurokawa 2009b), é usada para analisar o Paradoxo do Conhecedor, embora tenham sido levantadas objeções a essa análise (Arlo-Costa e Kishida 2009).

Também foi realizado trabalho em versões da Justificação lógica com quantificadores sobre objetos, com e sem um análogo da fórmula de Barcan. Nada disso foi publicado e deve ser considerado ainda em andamento.

9. Notas históricas

O sistema lógico de justificação inicial, o Logic of Proofs LP, foi introduzido em 1995 em (Artemov 1995) (cf. também (Artemov 2001)) onde propriedades básicas como Internalização, Realização e completude aritmética foram estabelecidas. O LP ofereceu uma semântica de provabilidade pretendida para a lógica de provabilidade S4 de Gödel, fornecendo assim uma formalização da semântica de Brouwer-Heyting-Kolmogorov para a lógica proposicional intuicionista. A semântica e a integridade epistêmicas (Fitting 2005) foram estabelecidas pela primeira vez para LP. Modelos simbólicos e decidibilidade para LP são devidos a Mkrtychev (Mkrtychev 1997). As estimativas de complexidade apareceram pela primeira vez em (Brezhnev e Kuznets 2006, Kuznets 2000, Milnikel 2007). Uma visão abrangente de todos os resultados de decisão e complexidade pode ser encontrada em (Kuznets 2008). Sistemas J, J4,e JT foram considerados pela primeira vez em (Brezhnev 2001) sob nomes diferentes e em um ambiente ligeiramente diferente. JT45 apareceu independentemente em (Pacuit 2006) e (Rubtsova 2006) e JD45 em (Pacuit 2006). A lógica das provas uni-conclusivas foi encontrada em (Krupski 1997). Uma abordagem mais geral ao conhecimento comum baseada no conhecimento justificado foi oferecida em (Artemov 2006). A semântica de jogos da lógica de justificação e da lógica epistêmica dinâmica com justificativas foi estudada em (Renne 2008, Renne 2009). As conexões entre a lógica da justificação e o problema da onisciência lógica foram examinadas em (Artemov e Kuznets 2009, Wang 2009). O nome Justificação Lógica foi introduzido em (Artemov 2008), no qual os exemplos de Kripke, Russell e Gettier foram formalizados; essa formalização foi usada para a resolução de paradoxos, verificação,análise de suposições ocultas e eliminação de redundâncias. Em (Dean e Kurokawa 2009a), a lógica de justificação foi usada para a análise dos paradoxos de conhecimento e conhecimento.

Bibliografia

  • Antonakos, E. (2007). “Conhecimento Justificado e Comum: Conservatividade Limitada”, em S. Artemov e A. Nerode (orgs.), Fundamentos Lógicos da Ciência da Computação, Simpósio Internacional, LFCS 2007, Nova York, NY, EUA, de 4 a 7 de junho de 2007, Proceedings (Notas de aula em Ciência da Computação: Volume 4514), Berlin: Springer, pp. 1-11.
  • Arlo-Costa, H. e K. Kishida (2009). “Três provas e o conhecedor da lógica quantificada de provas”, no Workshop formal de epistemologia / FEW 2009. Anais, Universidade Carnegie Mellon, Pittsburgh, PA, EUA.
  • Artemov, S. (1995). “Lógica modal operacional”, Relatório Técnico MSI 95–29, Universidade de Cornell.
  • –––. (2001) “Provability explícito e semântica construtiva”, The Bulletin of Symbolic Logic, 7 (1): 1–36.
  • –––. (2006). "Conhecimento comum justificado", Ciência da Computação Teórica, 357 (1–3): 4–22.
  • –––. (2008). "A lógica da justificação", The Review of Symbolic Logic, 1 (4): 477-513.
  • Artemov, S. e R. Kuznets (2009). “Onisciência lógica como um problema de complexidade computacional”, em A. Heifetz (ed.), Aspectos teóricos da racionalidade e do conhecimento, Atas da décima segunda conferência (TARK 2009), ACM Publishers, pp. 14–23.
  • Artemov, S. e E. Nogina (2005). "Introduzindo justificação na lógica epistêmica", Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059-1073.
  • Artemov, S. e T. Yavorskaya (Sidon) (2001). "Na lógica de primeira ordem das provas", Moscow Mathematics Journal, 1 (4): 475-490.
  • Boolos, G. (1993). The Logic of Provability, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Brezhnev, V. (2001). “Na lógica das provas”, em K. Striegnitz (ed.), Anais da Sexta Sessão de Estudantes da ESSLLI, 13ª Escola Européia de Verão em Lógica, Idioma e Informação (ESSLLI'01), pp. 35–46.
  • Brezhnev, V. e R. Kuznets (2006). “Tornar o conhecimento explícito: quão difícil é”, Theoretical Computer Science, 357 (1–3): 23–34.
  • Cubitt, RP e R. Sugden (2003). “Conhecimento comum, relevância e convenção: uma reconstrução da teoria dos jogos de David Lewis”, Economics and Philosophy, 19: 175–210.
  • Dean, W. e H. Kurokawa (2009a). "Do paradoxo do conhecimento à existência de provas", Synthese, 176 (2): 177-225.
  • –––. (2009b). “Conhecimento, prova e conhecedor”, em A. Heifetz (ed.), Aspectos teóricos da racionalidade e conhecimento, Anais da décima segunda conferência (TARK 2009), ACM Publications, pp. 81–90.
  • Dretske, F. (2005). “O conhecimento é encerrado sob um reforço conhecido? The Case against Closure”, em M. Steup e E. Sosa (eds.), Contemporary Debates in Epistemology, Oxford: Blackwell, pp. 13–26.
  • Fagin, R., J. Halpern, Y. Moses e M. Vardi (1995). Raciocínio sobre o conhecimento, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Fitting, M. (2005). "A lógica das provas, semanticamente", Annals of Pure and Applic Logic, 132 (1): 1–25.
  • –––. (2006). “Um teorema de substituição para LP ”, Relatório Técnico TR-2006002, Departamento de Ciência da Computação, City University of New York.
  • –––. (2008). "Uma lógica quantificada da evidência", Annals of Pure and Applic Logic, 152 (1–3): 67–83.
  • –––. (2009). "Realizações e LP ", Annals of Pure and Applic Logic, 161 (3): 368-387.
  • Gettier, E. (1963). "É justificado o verdadeiro conhecimento da crença?" Analysis, 23: 121–123.
  • Girard, J.-Y., P. Taylor e Y. Lafont (1989). Provas e Tipos (Cambridge Tracts in Computer Science: Volume 7), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Gödel, K. (1933). "Eine Interpretation des intuitionistischen Aussagenkalkuls", Ergebnisse Math. Kolloq. 4: 39-40. Tradução para o inglês em: S. Feferman et al. (eds.), Kurt Gödel Collected Works (Volume 1), Oxford e Nova York: Oxford University Press e Clarendon Press, 1986, pp. 301–303.
  • –––. (1938). “Vortrag bei Zilsel / Palestra na Zilsel's” (* 1938a), em S. Feferman, JJ Dawson, W. Goldfarb, C. Parsons e R. Solovay (eds.), Ensaios e Palestras Não Publicados (Kurt Gödel Collected Works: Volume III), Oxford: Oxford University Press, 1995, pp. 86-113.
  • Goldman, A. (1967). "Uma teoria causal do significado", The Journal of Philosophy, 64: 335–372.
  • Goodman, N. (1970). "Uma teoria das construções é equivalente à aritmética", em J. Myhill, A. Kino e R. Vesley (orgs.), Intuitionism and Proof Theory, Amsterdã: North-Holland, pp. 101-120.
  • Goris, E. (2007). “Provas explícitas na lógica formal de provabilidade”, em S. Artemov e A. Nerode (orgs.), Fundamentos lógicos da ciência da computação, International Symposium, LFCS 2007, Nova York, NY, EUA, de 4 a 7 de junho de 2007, Proceedings (Notas de aula em Ciência da Computação: Volume 4514), Berlim: Springer, pp. 241–253.
  • Hendricks, V. (2005). Epistemologia convencional e formal, Nova York: Cambridge University Press.
  • Heyting, A. (1934). Mathematische Grundlagenforschung. Intuitionismus. Beweistheorie, Berlin: Springer.
  • Hintikka, J. (1962). Conhecimento e crença, Ithaca: Cornell University Press.
  • Kleene, S. (1945). “Sobre a interpretação da teoria dos números intuicionistas”, The Journal of Symbolic Logic, 10 (4): 109–124.
  • Kolmogorov, A. (1932). "Zur Deutung der Intuitionistischen Logik", Mathematische Zeitschrift, 35: 58–65. Tradução para o inglês em VM Tikhomirov (ed.), Trabalhos selecionados de AN Kolmogorov. Volume I: Matemática e Mecânica, Dordrecht: Kluwer, 1991, pp. 151–158.
  • Kreisel, G. (1962). "Fundamentos da lógica intuicionista", em E. Nagel, P. Suppes e A. Tarski (eds.), Lógica, Metodologia e Filosofia da Ciência. Anais do Congresso Internacional de 1960, Stanford: Stanford University Press, pp. 198-210.
  • –––. (1965). "Lógica matemática", em T. Saaty (ed.), Lectures in Modern Mathematics III, Nova York: Wiley and Sons, pp. 95-195.
  • Krupski, V. (1997). “Lógica operacional de provas com condição de funcionalidade em predicado de prova”, em S. Adian e A. Nerode (eds.), Fundamentos Lógicos da Ciência da Computação, 4º Simpósio Internacional, LFCS'97, Yaroslavl, Rússia, 6 a 12 de julho de 1997, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlin: Springer, pp. 167-177.
  • Kurokawa, H. (2009). "Tableaux e Hypersequents for Justificação de lógica", em S. Artemov e A. Nerode (eds.), Fundamentos lógicos da ciência da computação, Simpósio Internacional, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, EUA, de 3 a 6 de janeiro de 2009, Proceedings (Notas de aula em Ciência da Computação: Volume 5407), Berlin: Springer, pp. 295–308.
  • Kuznets, R. (2000). “Sobre a complexidade da lógica modal explícita”, em P. Clote e H. Schwichtenberg (orgs.), Computer Science Logic, 14º Workshop Internacional, CSL 2000, Conferência Anual da EACSL, Fischbachau, Alemanha, 21 a 26 de agosto de 2000, Proceedings (Lecture Notes in Computer Science: Volume 1862), Berlin: Springer, pp. 371–383.
  • –––. (2008). Questões de complexidade na lógica da justificativa, dissertação de doutorado, Departamento de Ciência da Computação, City University of New York Graduate Center.
  • –––. (2010). “Uma nota sobre a anormalidade das realizações do S4LP ”, em K. Brünnler e T. Studer (eds.), Prova, Computação, Complexidade PCC 2010, Workshop Internacional, Anais, Relatórios Técnicos do IAM IAM-10-001, Institute of Computer Ciências e Matemática Aplicada, Universidade de Berna.
  • McCarthy, J., M. Sato, T. Hayashi e S. Igarishi (1978). “Na teoria modelo do conhecimento”, Relatório Técnico STAN-CS-78-667, Departamento de Ciência da Computação, Universidade de Stanford.
  • Milnikel, R. (2007). “Derivabilidade em certos subsistemas da Lógica de Provas é Π 2 p- completo”, Annals of Pure and Applic Logic, 145 (3): 223–239.
  • –––. (2009). “Conservativity for Logics of Justified Belief”, em S. Artemov e A. Nerode (orgs.), Fundamentos Lógicos da Ciência da Computação, International Symposium, LFCS 2009, Deerfield Beach, FL, EUA, de 3 a 6 de janeiro de 2009, Proceedings (Notas de aula em Ciência da Computação: Volume 5407), Berlin: Springer, pp. 354–364.
  • Mkrtychev, A. (1997). “Models for the Logic of Proofs”, em S. Adian e A. Nerode (eds.), Fundamentos Lógicos da Ciência da Computação, 4º Simpósio Internacional, LFCS'97, Yaroslavl, Rússia, 6 a 12 de julho de 1997, Proceedings (Palestra Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlim: Springer, pp. 266-275.
  • Nogina, E. (2006). “Sobre lógica das provas e provabilidade”, em 2005, Reunião de verão da Associação de Lógica Simbólica, Logic Colloquium'05, Atenas, Grécia (28 de julho a 3 de agosto de 2005), The Bulletin of Symbolic Logic, 12 (2): 356.
  • –––. (2007). “Conclusão epistêmica da ABL ”, em 2007 Reunião Anual da Associação de Lógica Simbólica, Universidade da Flórida, Gainesville, Flórida (10 a 13 de março de 2007), The Bulletin of Symbolic Logic, 13 (3): 407.
  • Pacuit, E. (2006). “Uma observação sobre algumas lógicas modais explícitas”, Relatório Técnico PP – 2006–29, Instituto de Lógica, Linguagem e Computação, Universidade de Amsterdã.
  • Plaza, J. (2007). "Lógicas das comunicações públicas", Synthese, 158 (2): 165-179.
  • Renne, B. (2008). Lógica Epistêmica Dinâmica com Justificação, tese de doutorado, Departamento de Ciência da Computação, CUNY Graduate Center, Nova York, NY, EUA.
  • –––. (2009). “Eliminação de Evidências na Lógica de Justificação Multi-Agente”, em A. Heifetz (ed.), Aspectos Teóricos da Racionalidade e do Conhecimento, Anais da Décima Segunda Conferência (TARK 2009), ACM Publications, pp. 227-236.
  • Rose, G. (1953). "Cálculo proposicional e realização", Transactions of the American Mathematics Society, 75: 1–19.
  • Rubtsova, N. (2006). “Na realização da modalidade S5 por termos de evidência”, Journal of Logic and Computation, 16 (5): 671–684.
  • Russell, B. (1912). Os Problemas da Filosofia, Oxford: Oxford University Press.
  • Sidon, T. (1997). “Lógica de disponibilidade com operações em provas”, em S. Adian e A. Nerode (eds.), Fundamentos Lógicos da Ciência da Computação, 4º Simpósio Internacional, LFCS'97, Yaroslavl, Rússia, 6 a 12 de julho de 1997, Proceedings (Palestra Notes in Computer Science: Volume 1234), Berlim: Springer, pp. 342–353.
  • Troelstra, A. (1998). "Realizability", em S. Buss (ed.), Handbook of Proof Theory, Amsterdã: Elsevier, pp. 407-474.
  • Troelstra, A. e H. Schwichtenberg (1996). Teoria Básica da Prova, Amsterdã: Cambridge University Press.
  • Troelstra, A. e D. van Dalen (1988). Construtivismo em matemática (volumes 1, 2), Amsterdã: Holanda do Norte.
  • van Dalen, D. (1986). “Lógica Intuicionista”, em D. Gabbay e F. Guenther (eds.), Manual de Lógica Filosófica (Volume 3), Bordrecht: Reidel, pp. 225-340.
  • van Ditmarsch, H., W. van der Hoek e B. Kooi (ed.), (2007). Lógica Epistêmica Dinâmica (Synthese Library, Volume 337), Berlim: Springer..
  • von Wright, G. (1951). Um ensaio em Modal Logic, Amsterdã: Holanda do Norte.
  • Wang, R.-J. (2009). “Conhecimento, Tempo e Onisciência Lógica”, em H. Ono, M. Kanazawa e R. de Queiroz (eds.), Lógica, Idioma, Informação e Computação, 16º Workshop Internacional, WoLLIC 2009, Tóquio, Japão, 21 de junho -24, 2009, Proceedings (Lecture Notes in Artificial Intelligence: Volume 5514), Berlim: Springer, pp. 394-407.
  • Yavorskaya (Sidon), T. (2001). “Lógica de provas e provabilidade”, Annals of Pure and Applic Logic, 113 (1–3): 345–372.
  • –––. (2008). “Interagindo sistemas explícitos de evidência”, Theory of Computing Systems, 43 (2): 272–293.
  • Yavorsky, R. (2001). "Lógicas de disponibilidade com quantificadores em provas", Annals of Pure and Applic Logic, 113 (1–3): 373–387.

Ferramentas Acadêmicas

ícone de homem de sep
ícone de homem de sep
Como citar esta entrada.
ícone de homem de sep
ícone de homem de sep
Visualize a versão em PDF desta entrada nos Amigos da Sociedade SEP.
ícone inpho
ícone inpho
Consulte este tópico de entrada no Projeto de Ontologia de Filosofia de Indiana (InPhO).
ícone de papéis phil
ícone de papéis phil
Bibliografia aprimorada para esta entrada na PhilPapers, com links para o banco de dados.

Outros recursos da Internet

Recomendado: