Teoria Dos Modelos

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Teoria dos Modelos

Publicado pela primeira vez em 10 de novembro de 2001; revisão substantiva qua 2013-07-17

A teoria dos modelos começou com o estudo das linguagens formais e suas interpretações, e dos tipos de classificação que uma determinada linguagem formal pode fazer. A teoria dos modelos dominantes agora é um ramo sofisticado da matemática (veja a entrada na teoria dos modelos de primeira ordem). Mas, em um sentido mais amplo, a teoria dos modelos é o estudo da interpretação de qualquer linguagem, formal ou natural, por meio de estruturas teóricas dos conjuntos, com a definição da verdade de Alfred Tarski como paradigma. Nesse sentido mais amplo, a teoria dos modelos encontra a filosofia em vários pontos, por exemplo, na teoria das consequências lógicas e na semântica das linguagens naturais.

  • 1. Noções básicas da teoria dos modelos
  • 2. Definição teórica do modelo
  • 3. Consequência teórica do modelo
  • 4. Força expressiva
  • 5. Modelos e modelagem
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. Noções básicas da teoria dos modelos

Às vezes, escrevemos ou falamos uma sentença (S) que não expressa nada verdadeiro ou falso, porque faltam algumas informações cruciais sobre o significado das palavras. Se continuarmos adicionando essas informações, para que (S) expresse uma afirmação verdadeira ou falsa, é dito que interpretamos (S), e as informações adicionadas serão chamadas de interpretação de (S). Se a interpretação (I) faz com que (S) afirme algo verdadeiro, dizemos que (I) é um modelo de (S), ou que (I) satisfaz (S), nos símbolos '(I / vDash S)'. Outra maneira de dizer que (I) é um modelo de (S) é dizer que (S) é verdadeiro em (I) e, portanto, temos a noção de verdade teórica do modelo, que é verdade em uma interpretação particular. Mas devemos lembrar que a afirmação '(S) é verdadeira em (I)' é apenas uma paráfrase de '(S), quando interpretada como em (I), é verdadeira'então a verdade teórica do modelo é parasitária da verdade comum e sempre podemos parafrasear.

Por exemplo, eu poderia dizer

Ele está matando todos eles,

e ofereça a interpretação de que 'ele' é Alfonso Arblaster, de 35 The Crescent, Beetleford, e que 'eles' são os pombos em seu loft. Essa interpretação explica (a) a quais objetos algumas expressões se referem e (b) a quais classes alguns quantificadores se estendem. (Neste exemplo, há um quantificador: 'todos eles'). As interpretações que consistem nos itens (a) e (b) aparecem com muita frequência na teoria dos modelos e são conhecidas como estruturas. Tipos particulares de teoria dos modelos usam tipos particulares de estrutura; por exemplo, a teoria dos modelos matemáticos tende a usar as chamadas estruturas de primeira ordem, a teoria dos modelos da lógica modal usa as estruturas de Kripke e assim por diante.

A estrutura (I) no parágrafo anterior envolve um objeto fixo e uma classe fixa. Como descrevemos a estrutura hoje, a classe é a classe de pombos no loft de Alfonso hoje, e não aqueles que virão amanhã para substituí-los. Se Alfonso Arblaster mata todos os pombos hoje em seu loft, então (I) satisfaz a sentença citada hoje, mas não a satisfaz amanhã, porque Alfonso não pode matar os mesmos pombos duas vezes. Dependendo do motivo pelo qual você deseja usar a teoria dos modelos, é possível avaliar as frases hoje (o horário padrão) ou registrar como elas são satisfeitas em um momento e não em outro. No último caso, você pode relativizar a noção de modelo e escrever '(I / vDash_t S)' para significar que (I) é um modelo de (S) no tempo (t). O mesmo se aplica aos lugares,ou a qualquer outra coisa que possa ser identificada por outras características indexadas implícitas na frase. Por exemplo, se você acredita em mundos possíveis, pode indexar (vDash) pelo mundo possível em que a sentença deve ser avaliada. Além de usar a teoria dos conjuntos, a teoria dos modelos é completamente independente do tipo de coisa que existe.

Observe que os objetos e classes em uma estrutura carregam rótulos que os direcionam para as expressões corretas na frase. Esses rótulos são uma parte essencial da estrutura.

Se a mesma classe é usada para interpretar todos os quantificadores, a classe é chamada de domínio ou universo da estrutura. Mas, às vezes, existem quantificadores que variam em diferentes classes. Por exemplo, se eu disser

Uma dessas doenças é matar todos os pássaros.

você procurará uma interpretação que designe uma classe de doenças para 'aquelas doenças comuns' e uma classe de pássaros para 'os pássaros'. Diz-se que as interpretações que dão duas ou mais classes para diferentes quantificadores de abrangência são classificadas de várias maneiras, e às vezes as classes são chamadas de sortes.

As idéias acima ainda podem ser úteis se começarmos com uma sentença (S) que diz algo verdadeiro ou falso, sem a necessidade de uma interpretação adicional. (Os teóricos dos modelos dizem que essa sentença é totalmente interpretada.) Por exemplo, podemos considerar interpretações erradas (I) de uma sentença totalmente interpretada (S). Uma interpretação incorreta de (S) que a torna verdadeira é conhecida como modelo não padrão ou não intencional de (S). O ramo da matemática chamado análise não-padrão é baseado em modelos não-padrão de declarações matemáticas sobre os sistemas numéricos reais ou complexos; veja a Seção 4 abaixo.

Também se fala da semântica teórica do modelo das línguas naturais, que é uma maneira de descrever os significados das sentenças da linguagem natural, não uma maneira de lhes dar significados. A conexão entre essa semântica e a teoria dos modelos é um pouco indireta. Está na definição de verdade de Tarski de 1933. Veja a entrada nas definições de verdade de Tarski para obter mais detalhes.

2. Definição teórica do modelo

Uma sentença (S) divide todas as suas possíveis interpretações em duas classes, aquelas que são modelos dela e aquelas que não são. Dessa forma, define uma classe, ou seja, a classe de todos os seus modelos, escrita (Mod (S)). Para dar um exemplo legal, a sentença

A primeira pessoa transferiu a propriedade para a segunda pessoa, que, portanto, detém a propriedade para o benefício da terceira pessoa.

define uma classe de estruturas que assumem a forma de quatro tuplas rotuladas, como por exemplo (escrevendo o rótulo à esquerda):

  • a primeira pessoa = Alfonso Arblaster;
  • a propriedade = a terra abandonada atrás da casa de Alfonso;
  • a segunda pessoa = John Doe;
  • a terceira pessoa = Richard Roe.

Essa é uma definição típica da teoria dos modelos, definindo uma classe de estruturas (nesse caso, a classe conhecida pelos advogados como trustes).

Podemos estender a idéia de definição teórica do modelo de uma única sentença (S) para um conjunto (T) de sentenças; (Mod (T)) é a classe de todas as interpretações que são simultaneamente modelos de todas as frases em (T). Quando um conjunto (T) de sentenças é usado para definir uma classe dessa maneira, os matemáticos dizem que (T) é uma teoria ou um conjunto de axiomas, e que (T) axiomatiza a classe (Mod (T)).

Tomemos, por exemplo, o seguinte conjunto de frases de primeira ordem:

(begin {align *} e / forall x / forall y / forall z (x + (y + z) = (x + y) + z). \& / forall x (x + 0 = x). \& / forall x (x + (-x) = 0). \& / forall x / forall y (x + y = y + x). / end {align *})

Aqui os rótulos são o símbolo de adição '+', o símbolo de menos '(-)' e o símbolo constante '0'. Uma interpretação também precisa especificar um domínio para os quantificadores. Com uma ressalva, os modelos desse conjunto de sentenças são precisamente as estruturas que os matemáticos conhecem como grupos abelianos. A condição é que, em um grupo abeliano (A), o domínio deva conter a interpretação do símbolo 0 e feche-o sob as interpretações dos símbolos + e (-). Na teoria dos modelos matemáticos, constrói-se essa condição (ou as condições correspondentes para outras funções e símbolos constantes) na definição de uma estrutura.

Cada estrutura matemática está ligada a uma linguagem de primeira ordem específica. Uma estrutura contém interpretações de certos predicados, funções e símbolos constantes; cada símbolo de predicado ou função tem uma aridade fixa. A coleção (K) desses símbolos é chamada de assinatura da estrutura. Os símbolos na assinatura são freqüentemente chamados de constantes não lógicas e um nome mais antigo para eles é primitivo. A linguagem de primeira ordem da assinatura (K) é a linguagem de primeira ordem criada usando os símbolos em (K), juntamente com o sinal de igualdade =, para criar suas fórmulas atômicas. (Veja a entrada sobre lógica clássica.) Se (K) é uma assinatura, (S) é uma sentença do idioma da assinatura (K) e (A) é uma estrutura cuja assinatura é (K), então, como os símbolos coincidem, sabemos que (A) torna (S) verdadeiro ou falso. Então, define-se a classe de grupos abelianos como a classe de todas as estruturas de assinatura (+), (-), (0) que são modelos das frases acima. Além de usar uma linguagem formal de primeira ordem, essa é exatamente a definição usual dos algebristas da classe de grupos abelianos; a teoria dos modelos formaliza um tipo de definição extremamente comum em matemática.

Agora, os axiomas que definem os grupos abelianos têm três tipos de símbolos (além da pontuação). Primeiro, há o símbolo lógico = com um significado fixo. Segundo, existem as constantes não lógicas, que obtêm sua interpretação sendo aplicadas a uma estrutura específica; deve-se agrupar os símbolos quantificadores com eles, porque a estrutura também determina o domínio sobre o qual os quantificadores variam. E terceiro, existem as variáveis (x, y) etc. Esse padrão de três níveis de símbolos nos permite definir classes de uma segunda maneira. Em vez de procurar as interpretações das constantes não lógicas que tornarão uma sentença verdadeira, corrigimos as interpretações das constantes não lógicas escolhendo uma estrutura específica (A) e procuramos atribuições de elementos de (A) para variáveis que tornarão verdadeira uma fórmula em (A).

Por exemplo, seja (mathbb {Z}) o grupo aditivo de números inteiros. Seus elementos são os números inteiros (positivo, negativo e 0), e os símbolos (+), (-), (0) têm seus significados usuais. Considere a fórmula

[v_1 + v_1 = v_2.)

Se atribuirmos o número (- 3) a (v_1) e o número (- 6) a (v_2), a fórmula funcionará como verdadeira em (mathbb {Z}). Expressamos isso dizendo que o par ((- 3, -6)) satisfaz essa fórmula em (mathbf {Z}). Da mesma forma (15,30) e (0,0) satisfazem, mas ((2, -4)) e (3,3) não. Assim, a fórmula define uma relação binária nos números inteiros, ou seja, o conjunto de pares de números inteiros que a satisfazem. Uma relação definida dessa maneira em uma estrutura (A) é chamada de relação definível de primeira ordem em (A). Uma generalização útil é permitir que a fórmula definidora use nomes adicionados para alguns elementos específicos de (A); esses elementos são chamados parâmetros e a relação é então definível com parâmetros.

Esse segundo tipo de definição, definindo relações dentro de uma estrutura, em vez de classes de estrutura, também formaliza uma prática matemática comum. Mas desta vez a prática pertence à geometria e não à álgebra. Você pode reconhecer a relação no campo dos números reais definidos pela fórmula

[v_1 ^ 2 + v_2 ^ 2 = 1.)

É o círculo do raio 1 em torno da origem no plano real. A geometria algébrica está cheia de definições desse tipo.

Durante a década de 1940, ocorreu a várias pessoas (principalmente Anatolii Mal'tsev na Rússia, Alfred Tarski nos EUA e Abraham Robinson na Grã-Bretanha) que os metateoremas da lógica clássica poderiam ser usados para provar teoremas matemáticos sobre classes definidas das duas maneiras que temos. apenas descrito. Em 1950, Robinson e Tarski foram convidados a discursar no Congresso Internacional de Matemáticos da Cambridge Mass. Sobre essa nova disciplina (que ainda não tinha nome - Tarski propôs o nome "teoria dos modelos" em 1954). Vale a pena citar a conclusão do discurso de Robinson ao Congresso:

[Os] exemplos concretos produzidos no presente artigo mostraram que a lógica simbólica contemporânea pode produzir ferramentas úteis - embora de modo algum onipotentes - para o desenvolvimento da matemática real, mais particularmente para o desenvolvimento da álgebra e, ao que parece, geometria algébrica. Esta é a realização de uma ambição que Leibniz expressou em uma carta a Huyghens desde 1679.

De fato, Mal'tsev já havia feito aplicações bastante profundas da teoria dos modelos na teoria dos grupos vários anos antes, mas, sob as condições políticas da época, seu trabalho na Rússia ainda não era conhecido no Ocidente. No final do século XX, as esperanças de Robinson haviam sido amplamente cumpridas; veja a entrada na teoria dos modelos de primeira ordem.

Existem pelo menos dois outros tipos de definição na teoria dos modelos além desses dois acima. O terceiro é conhecido como interpretação (um caso especial das interpretações com as quais começamos). Aqui começamos com uma estrutura (A) e construímos outra estrutura (B) cuja assinatura não precisa estar relacionada à de (A), definindo o domínio (X) de (B) e todas as relações e funções rotuladas de (B) para serem as relações definíveis em (A) por certas fórmulas com parâmetros. Um refinamento adicional é encontrar uma relação de equivalência definível em (X) e considerar o domínio de (B) não (X), mas o conjunto de classes de equivalência dessa relação. Diz-se que a estrutura (B) construída dessa maneira é interpretada na estrutura (A).

Um exemplo simples, novamente da matemática padrão, é a interpretação do grupo (mathbb {Z}) de números inteiros na estrutura (mathbb {N}) que consiste nos números naturais 0, 1, 2 etc. com etiquetas para 0, 1 e +. Para construir o domínio de (mathbb {Z}), primeiro pegamos o conjunto (X) de todos os pares ordenados de números naturais (claramente uma relação definível em (mathbb {N})) e depois Neste conjunto (X), definimos a relação de equivalência (sim) por

[(a, b) sim (c, d) text {se e somente se} a + d = b + c)

(novamente definível). O domínio de (mathbb {Z}) consiste nas classes de equivalência dessa relação. Definimos adição em (mathbb {Z}) por

[(a, b) + (c, d) = (e, f) text {se e somente se} a + c + f = b + d + e.)

A classe de equivalência de ((a, b)) torna-se o número inteiro (a - b).

Quando uma estrutura (B) é interpretada em uma estrutura (A), toda declaração de primeira ordem sobre (B) pode ser convertida novamente em uma declaração de primeira ordem sobre (A), e neste Dessa forma, podemos ler a teoria completa de (B) a partir de (A). De fato, se realizarmos essa construção não apenas para uma única estrutura (A), mas para uma família de modelos de uma teoria (T), sempre usando as mesmas fórmulas definidoras, as estruturas resultantes serão todas modelos de uma teoria (T ') que pode ser lida em (T) e nas fórmulas definidoras. Isso dá um sentido preciso à afirmação de que a teoria (T ') é interpretada na teoria (T). Os filósofos da ciência às vezes experimentaram essa noção de interpretação como uma maneira de tornar preciso o que significa uma teoria ser redutível a outra. Mas exemplos realistas de reduções entre teorias científicas geralmente parecem muito mais sutis do que essa idéia teórica do modelo de mente simples permitirá. Veja a entrada sobre relações interteóricas em física.

O quarto tipo de definibilidade é um par de noções, definibilidade implícita e definibilidade explícita de uma relação específica em uma teoria. Consulte a seção 3.3 da entrada sobre teoria dos modelos de primeira ordem.

Infelizmente, costumava haver uma teoria muito confusa sobre axiomas teóricos do modelo, que também ficava sob o nome de definição implícita. No final do século XIX, a geometria matemática geralmente deixou de ser um estudo do espaço, e tornou-se o estudo de classes de estruturas que satisfazem certos axiomas "geométricos". Termos geométricos como 'ponto', 'linha' e 'entre' sobreviveram, mas apenas como símbolos primitivos em axiomas; eles não tinham mais nenhum significado associado a eles. Portanto, a velha pergunta, se o postulado paralelo de Euclides (como uma afirmação sobre o espaço) era dedutível das outras suposições de Euclides sobre o espaço, não era mais interessante para os geômetros. Em vez disso, os geômetros mostraram que, se alguém escrevesse uma versão atualizada das outras suposições de Euclides, na forma de uma teoria (T),então foi possível encontrar modelos de (T) que não satisfazem o postulado paralelo. (Veja a entrada sobre geometria no século XIX para as contribuições de Lobachevski e Klein a essa conquista.) Em 1899, David Hilbert publicou um livro no qual ele construiu esses modelos, usando exatamente o método de interpretação que acabamos de descrever.

Os problemas surgiram devido à maneira como Hilbert e outros descreveram o que estavam fazendo. A história é complicada, mas aproximadamente o seguinte aconteceu. Por volta da metade do século XIX, as pessoas notaram, por exemplo, que em um grupo abeliano a função menos é definível em termos de 0 e + (a saber: (- a) é o elemento (b) tal que (a + b = 0)). Como essa descrição de menos é de fato um dos axiomas que definem grupos abelianos, podemos dizer (usando um termo retirado de JD Gergonne, que não deve ser responsabilizado pelo uso posterior feito) que os axiomas para grupos abelianos definem implicitamente menos. No jargão da época, não se dizia que os axiomas definem a função menos, mas que eles definem o conceito menos. Agora, suponha que alternemos e tentemos definir mais em termos de menos e 0. Desta forma, isso não pode ser feito, pois é possível ter dois grupos abelianos com o mesmo 0 e menos, mas diferentes funções plus. Em vez de dizer isso, os matemáticos do século XIX concluíram que os axiomas definem apenas parcialmente mais em termos de menos e 0. Tendo engolido isso, eles continuaram dizendo que os axiomas juntos formam uma definição implícita dos conceitos mais, menos e 0 juntos, e que essa definição implícita é apenas parcial, mas diz exatamente sobre esses conceitos o quanto precisamos saber.eles continuaram dizendo que os axiomas juntos formam uma definição implícita dos conceitos mais, menos e 0 juntos, e que essa definição implícita é apenas parcial, mas diz sobre esses conceitos exatamente o quanto precisamos saber.eles continuaram dizendo que os axiomas juntos formam uma definição implícita dos conceitos mais, menos e 0 juntos, e que essa definição implícita é apenas parcial, mas diz sobre esses conceitos exatamente o quanto precisamos saber.

Alguém se pergunta como poderia acontecer que, durante cinquenta anos, ninguém desafiasse esse absurdo. De fato, algumas pessoas o desafiaram, principalmente o geômetro Moritz Pasch, que na seção 12 de sua Vorlesungen über Neuere Geometrie (1882) insistiu que os axiomas geométricos não nos dizem nada sobre os significados de "ponto", "linha" etc. dito, os axiomas nos dão relações entre os conceitos. Se alguém pensa em uma estrutura como uma espécie de (n) - tupla de conjuntos etc., então uma classe (Mod (T)) se torna uma relação (n) - ária, e a conta de Pasch concorda com o nosso. Mas ele não foi capaz de explicar os detalhes, e há algumas evidências de que seus contemporâneos (e alguns comentaristas mais recentes) pensavam que ele estava dizendo que os axiomas podem não determinar os significados de 'ponto' e 'linha',mas eles determinam termos termos relacionais como 'entre' e 'incidente com'! A demolição de Frege da doutrina implícita de definição foi magistral, mas chegou tarde demais para impedir Hilbert de dizer, no início de seu Grundlagen der Geometrie, que seus axiomas fornecem 'a descrição exata e matematicamente adequada' das relações 'mentiras'. entre 'e' congruente '. Felizmente, a matemática de Hilbert fala por si, e pode-se simplesmente ignorar essas faltas filosóficas. O relato teórico-modelo que agora tomamos como descrição correta dessa linha de trabalho parece ter surgido primeiro no grupo em torno de Giuseppe Peano na década de 1890, e chegou ao mundo de língua inglesa através dos Princípios de Matemática de Bertrand Russell, em 1903.mas chegou tarde demais para impedir Hilbert de dizer, no início de sua Grundlagen der Geometrie, que seus axiomas fornecem "a descrição exata e matematicamente adequada" das relações "mentiras", "entre" e "congruentes". Felizmente, a matemática de Hilbert fala por si, e pode-se simplesmente ignorar essas faltas filosóficas. O relato teórico-modelo que agora tomamos como descrição correta dessa linha de trabalho parece ter surgido primeiro no grupo em torno de Giuseppe Peano na década de 1890, e chegou ao mundo de língua inglesa através dos Princípios de Matemática de Bertrand Russell, em 1903.mas chegou tarde demais para impedir Hilbert de dizer, no início de sua Grundlagen der Geometrie, que seus axiomas fornecem "a descrição exata e matematicamente adequada" das relações "mentiras", "entre" e "congruentes". Felizmente, a matemática de Hilbert fala por si, e pode-se simplesmente ignorar essas faltas filosóficas. O relato teórico-modelo que agora tomamos como descrição correta dessa linha de trabalho parece ter surgido primeiro no grupo em torno de Giuseppe Peano na década de 1890, e chegou ao mundo de língua inglesa através dos Princípios de Matemática de Bertrand Russell, em 1903. Felizmente, a matemática de Hilbert fala por si mesma, e pode-se simplesmente ignorar essas faltas filosóficas. O relato teórico-modelo que agora tomamos como descrição correta dessa linha de trabalho parece ter surgido primeiro no grupo em torno de Giuseppe Peano na década de 1890, e chegou ao mundo de língua inglesa através dos Princípios de Matemática de Bertrand Russell, em 1903. Felizmente, a matemática de Hilbert fala por si mesma, e pode-se simplesmente ignorar essas faltas filosóficas. O relato teórico-modelo que agora tomamos como descrição correta dessa linha de trabalho parece ter surgido primeiro no grupo em torno de Giuseppe Peano na década de 1890, e chegou ao mundo de língua inglesa através dos Princípios de Matemática de Bertrand Russell, em 1903.

3. Consequência teórica do modelo

Suponha que (L) seja uma linguagem de assinatura (K, T) seja um conjunto de sentenças de (L) e (phi) seja uma sentença de (L). Então a relação

(Mod (T) subseteq / Mod (phi))

expressa que toda estrutura de assinatura (K) que é um modelo de (T) também é um modelo de (phi). Isso é conhecido como relação de conseqüência teórico-modelo e é escrito de forma abreviada

[T / vDash / phi)

O uso duplo de (vDash) é um infortúnio. Mas no caso particular em que (L) é de primeira ordem, o teorema da completude (veja a entrada na lógica clássica) nos diz que '(T / vDash / phi)' vale se e somente se houver uma prova de (phi) de (T), uma relação comumente escrita

[T / vdash / phi)

Como (vDash) e (vdash) expressam exatamente a mesma relação nesse caso, os teóricos do modelo geralmente evitam o uso duplo de (vDash) usando (vdash) como conseqüência teórica do modelo. Mas como o que se segue não se limita às linguagens de primeira ordem, a segurança sugere que continuemos com (vDash) aqui.

Antes de meados do século XIX, os livros didáticos de lógica geralmente ensinavam o aluno a verificar a validade de um argumento (digamos em inglês), mostrando que ele possui uma de várias formas padrão ou parafraseando-a dessa forma. Os formulários padrão eram formas sintáticas e / ou semânticas de argumento em inglês. O processo foi perigoso: formas semânticas são quase por definição invisíveis na superfície e não existe uma forma puramente sintática que garanta a validade de um argumento. Por esse motivo, a maioria dos livros antigos tinha uma longa seção sobre 'falácias' - maneiras pelas quais um argumento inválido pode parecer válido.

Em 1847, George Boole mudou esse arranjo. Por exemplo, para validar o argumento

Todos os monarcas são seres humanos. Nenhum ser humano é infalível. Portanto, nenhum ser infalível é monarca.

Boole interpretaria os símbolos (P, Q, R) como nomes de classes:

(P) é a classe de todos os monarcas.

(Q) é a classe de todos os seres humanos.

(R) é a classe de todos os seres infalíveis.

Depois, ele apontaria que o argumento original parafraseia uma conseqüência da teoria dos conjuntos:

[(P / subseteq Q), (Q / cap R = 0) vDash (R / cap P = 0))

(Este exemplo é de Stanley Jevons, 1869. A conta de Boole é idiossincrática, mas acredito que o exemplo de Jevons representa as intenções de Boole com precisão.) Hoje, escreveríamos (forall x (Px / rightarrow Qx)) em vez de (P / subseteq Q), mas essa é essencialmente a definição padrão de (P / subseteq Q), portanto a diferença entre nós e Boole é pequena.

Na medida em que seguem Boole, os modernos livros de lógica estabelecem que os argumentos em inglês são válidos, reduzindo-os a consequências teóricas do modelo. Como a classe de consequências teóricas do modelo, pelo menos na lógica de primeira ordem, não possui uma das imprecisões das antigas formas de argumento, os livros didáticos de lógica nesse estilo há muito deixaram de ter um capítulo sobre falácias.

Mas há um aviso que sobrevive dos livros antigos: se você formalizar seu argumento de uma maneira que não seja uma conseqüência teórica do modelo, isso não significa que o argumento não é válido. Pode significar apenas que você falhou em analisar os conceitos do argumento com profundidade suficiente antes de formalizar. Os livros antigos costumavam discutir isso em uma seção ragbag chamada 'topics' (ou seja, dicas para encontrar argumentos que você pode ter perdido). Aqui está um exemplo da Summulae Logicales do século 13 de Pedro da Espanha:

'Há um pai. Portanto, há um filho. … De onde vem a validade desse argumento? Da relação. A máxima é: quando um de um par correlacionado é colocado, o mesmo acontece com o outro.

Hilbert e Ackermann, possivelmente o livro que mais contribuiu para estabelecer o estilo moderno, discutem em sua seção III.3 um exemplo muito semelhante: "Se há um filho, há um pai". Eles apontam que qualquer tentativa de justificar isso usando o simbolismo

(existe xSx / rightarrow / existe xFx)

está fadado ao fracasso. “Uma prova dessa afirmação só é possível se analisarmos conceitualmente os significados dos dois predicados que ocorrem”, como eles continuam ilustrando. E, claro, a análise encontra precisamente a relação a que Pedro se referiu na Espanha.

Por outro lado, se o seu argumento em inglês se traduzir em uma consequência teórica do modelo inválida, um contraexemplo da consequência pode muito bem fornecer pistas sobre como você pode descrever uma situação que tornaria as premissas do seu argumento verdadeiras e a conclusão falsa. Mas isso não é garantido.

Pode-se levantar uma série de perguntas sobre se o procedimento moderno do livro didático realmente captura uma noção sensata de conseqüência lógica. Por exemplo, no caso de Boole, as conseqüências da teoria dos conjuntos em que ele se baseia são facilmente prováveis por provas formais na lógica de primeira ordem, sem sequer usar axiomas da teoria dos conjuntos; e pelo teorema da completude (veja a entrada sobre lógica clássica) o mesmo se aplica à lógica de primeira ordem. Mas para algumas outras lógicas isso certamente não é verdade. Por exemplo, a relação de conseqüências teóricas do modelo para algumas lógicas do tempo pressupõe alguns fatos sobre a estrutura física do tempo. Além disso, como o próprio Boole apontou, sua tradução de um argumento em inglês para sua forma teórica-conjunto exige que acreditemos que, para cada propriedade usada no argumento,existe uma classe correspondente de todas as coisas que possuem a propriedade. Isso se aproxima perigosamente do axioma inconsistente de compreensão de Frege!

Em 1936, Alfred Tarski propôs uma definição de conseqüência lógica para argumentos em uma linguagem formal totalmente interpretada. Sua proposta era a de que um argumento é válido se e somente se: sob qualquer reinterpretação permitida de seus símbolos não lógicos, se as premissas são verdadeiras, então é a conclusão. Tarski supôs que a classe de reinterpretações permitidas pudesse ser lida a partir da semântica da língua, conforme estabelecido em sua definição de verdade. Ele deixou indeterminado quais símbolos contam como não lógicos; de fato, ele esperava que essa liberdade permitisse definir diferentes tipos de necessidade, talvez separando "lógico" de "analítico". Uma coisa que dificulta a avaliação da proposta de Tarski é que ele ignora completamente a questão que discutimos acima, de analisar os conceitos para alcançar todas as conexões lógicas entre eles. A única explicação plausível que posso encontrar para isso reside em sua observação entre parênteses sobre

a necessidade de eliminar quaisquer sinais definidos que possam ocorrer nas frases em questão, ou seja, de substituí-los por sinais primitivos.

Isso me sugere que ele quer que seus sinais primitivos sejam por estipulação não analisáveis. Mas então, por estipulação, será puramente acidental se sua noção de consequência lógica captar tudo o que normalmente seria considerado uma consequência lógica.

Os historiadores observam uma semelhança entre a proposta de Tarski e a da seção 147 da Wissenschaftslehre de Bernard Bolzano, de 1837. Como Tarski, Bolzano define a validade de uma proposição em termos da verdade de uma família de proposições relacionadas. Ao contrário de Tarski, Bolzano faz sua proposta de proposições no vernáculo, não de sentenças de uma linguagem formal com uma semântica definida com precisão.

Em toda esta seção, consulte também a entrada sobre conseqüência lógica.

4. Força expressiva

Uma sentença (S) define sua classe (Mod (S)) de modelos. Dadas duas línguas (L) e (L '), podemos compará-las perguntando se todas as classes (Mod (S)), com (S) uma sentença de (L), também é uma classe do formato (Mod (S ')) em que (S') é uma sentença de (L '). Se a resposta for Sim, dizemos que (L) é redutível a (L '), ou que (L') é pelo menos tão expressivo quanto (L).

Por exemplo, se (L) é uma linguagem de primeira ordem com identidade, cuja assinatura consiste em símbolos predicados de 1 ária e (L ') é a linguagem cujas frases consistem nas quatro formas silogísticas (Todas (A) são (B), Alguns (A) são (B), Não (A) são (B), Alguns (A) não são (B)) usando os mesmos símbolos predicados, então (L ') é redutível a (L), porque as formas silogísticas são expressáveis na lógica de primeira ordem. (Existem algumas brigas sobre qual é a maneira correta de expressá-las; veja a entrada no quadrado tradicional da oposição.) Mas a linguagem de primeira ordem (L) certamente não é redutível à linguagem (L ') de silogismos, já que em (L) podemos escrever uma frase dizendo que exatamente três elementos satisfazem (Px), e não há como dizer isso usando apenas as formas silogísticas. Ou movendo para o outro lado,se formarmos um terceiro idioma (L '') adicionando a (L) o quantificador (Qx) com o significado "Existem incontáveis muitos elementos (x) tais que …", então trivialmente (L) é redutível a (L ''), mas o teorema de Loewenheim-Skolem para baixo mostra imediatamente que (L '') não é redutível a (L).

Essas noções são úteis para analisar a força das linguagens de consulta do banco de dados. Podemos pensar nos possíveis estados de um banco de dados como estruturas, e uma simples consulta Sim / Não se torna uma sentença que provoca a resposta Sim, se o banco de dados é um modelo dele e Não, caso contrário. Se um idioma de consulta do banco de dados não for redutível para outro, o primeiro poderá expressar alguma consulta que não possa ser expressa no segundo.

Portanto, precisamos de técnicas para comparar os pontos fortes expressivos das línguas. Uma das técnicas mais poderosas disponíveis consiste nos jogos alternados de Ehrenfeucht e Fraïssé entre os dois jogadores Spoiler e Duplicator; veja a entrada sobre lógica e jogos para detalhes. Imagine, por exemplo, que jogamos o jogo usual de vaivém de primeira ordem (G) entre duas estruturas (A) e (B). A teoria desses jogos estabelece que, se alguma sentença de primeira ordem (phi) for verdadeira em exatamente uma de (A) e (B), haverá um número (n), calculável a partir de (phi), com a propriedade que Spoiler possui uma estratégia para (G) que garantirá que ele ganhe no máximo (n) etapas. Por outro lado, para mostrar que a lógica de primeira ordem não pode distinguir entre (A) e (B), basta mostrar que, para cada (n) finito,O duplicador tem uma estratégia que garante que ela não perde (G) nas primeiras (n) etapas. Se conseguirmos mostrar isso, segue-se que qualquer linguagem que distingue entre (A) e (B) não é redutível à linguagem de primeira ordem das estruturas (A) e (B).

Esses jogos de vaivém são imensamente flexíveis. Para começar, eles fazem tanto sentido em estruturas finitas quanto no infinito; muitas outras técnicas da teoria clássica dos modelos assumem que as estruturas são infinitas. Eles também podem ser adaptados sem problemas a muitos idiomas de primeira ordem.

Em 1969, Per Lindström usou jogos alternativos para dar algumas caracterizações abstratas da lógica de primeira ordem em termos de seu poder expressivo. Um de seus teoremas diz que se (L) é uma linguagem com uma assinatura (K, L) é fechada sob todas as operações sintáticas de primeira ordem e (L) obedece ao teorema de Loewenheim-Skolem para frases simples e o teorema da compactação, então (L) é redutível para o idioma de primeira ordem da assinatura (K). Esses teoremas são muito atraentes; veja o capítulo XII de Ebbinghaus, Flum e Thomas para uma boa explicação. Mas eles nunca cumpriram sua promessa. Tem sido difícil encontrar caracterizações semelhantes de outras lógicas. Mesmo para a lógica de primeira ordem, é um pouco difícil ver exatamente o que as caracterizações nos dizem. Mas, grosso modo,eles nos dizem que a lógica de primeira ordem é a lógica única com duas propriedades: (1) podemos usá-la para expressar coisas arbitrariamente complicadas sobre padrões finitos e (2) é inútil discriminar entre um cardeal infinito e outro.

Essas duas propriedades (1) e (2) são apenas as propriedades da lógica de primeira ordem que permitiram a Abraham Robinson construir sua análise fora do padrão. O pano de fundo é que Leibniz, quando inventou o cálculo diferencial e integral, usou números infinitesimais, ou seja, números maiores que 0 e menores que todos os 1/2, 1/3, 1/4 etc. Infelizmente, não existem números reais. Durante o século XIX, todas as definições e provas no estilo Leibniz foram reescritas para falar de limites em vez de infinitesimais. Agora vamos (mathbb {R}) ser a estrutura que consiste no campo de números reais, juntamente com quaisquer características estruturais às quais queremos dar nomes: certamente mais e vezes, talvez a ordem, o conjunto de números inteiros, as funções sin e log, etc. Seja (L) o idioma de primeira ordem cuja assinatura é a de (mathbb {R}). Devido à força expressiva de (L), podemos escrever qualquer número de teoremas de cálculo como sentenças de (L). Devido à fraqueza expressiva de (L), não há como expressar em (L) que (mathbb {R}) não possui números infinitesimais. De fato, Robinson usou o teorema da compactação para construir uma estrutura (mathbb {R} ') que é um modelo exatamente das mesmas frases de (L) que (mathbb {R}), mas que possui infinitesimais. Como Robinson mostrou, podemos copiar os argumentos de Leibniz usando os infinitesimais em (mathbb {R} '), e assim provar que vários teoremas de cálculo são verdadeiros em (mathbb {R}'). Mas esses teoremas são expressáveis em (L), então eles também devem ser verdadeiros em (mathbb {R}).não há como expressar em (L) que (mathbb {R}) não possui números infinitesimais. De fato, Robinson usou o teorema da compactação para construir uma estrutura (mathbb {R} ') que é um modelo exatamente das mesmas frases de (L) que (mathbb {R}), mas que possui infinitesimais. Como Robinson mostrou, podemos copiar os argumentos de Leibniz usando os infinitesimais em (mathbb {R} '), e assim provar que vários teoremas de cálculo são verdadeiros em (mathbb {R}'). Mas esses teoremas são expressáveis em (L), então eles também devem ser verdadeiros em (mathbb {R}).não há como expressar em (L) que (mathbb {R}) não possui números infinitesimais. De fato, Robinson usou o teorema da compactação para construir uma estrutura (mathbb {R} ') que é um modelo exatamente das mesmas frases de (L) que (mathbb {R}), mas que possui infinitesimais. Como Robinson mostrou, podemos copiar os argumentos de Leibniz usando os infinitesimais em (mathbb {R} '), e assim provar que vários teoremas de cálculo são verdadeiros em (mathbb {R}'). Mas esses teoremas são expressáveis em (L), então eles também devem ser verdadeiros em (mathbb {R}).podemos copiar os argumentos de Leibniz usando os infinitesimais em (mathbb {R} ') e, assim, provar que vários teoremas de cálculo são verdadeiros em (mathbb {R}'). Mas esses teoremas são expressáveis em (L), então eles também devem ser verdadeiros em (mathbb {R}).podemos copiar os argumentos de Leibniz usando os infinitesimais em (mathbb {R} ') e, assim, provar que vários teoremas de cálculo são verdadeiros em (mathbb {R}'). Mas esses teoremas são expressáveis em (L), então eles também devem ser verdadeiros em (mathbb {R}).

Como argumentos usando infinitesimais geralmente são mais fáceis de visualizar do que argumentos usando limites, a análise fora do padrão é uma ferramenta útil para analistas matemáticos. Jacques Fleuriot em seu Ph. D. A tese (2001) automatizou a teoria da prova de análise fora do padrão e a usou para mecanizar algumas das provas nos Principia de Newton.

5. Modelos e modelagem

Modelar um fenômeno é construir uma teoria formal que a descreva e a explique. Em um sentido estreitamente relacionado, você modela um sistema ou estrutura que planeja construir, escrevendo uma descrição dele. Esses são sentidos do 'modelo' muito diferentes dos da teoria dos modelos: o 'modelo' do fenômeno ou do sistema não é uma estrutura, mas uma teoria, geralmente em uma linguagem formal. A Universal Modeling Language, UML, para abreviar, é uma linguagem formal projetada para esse fim. É relatado que a Marinha Australiana contratou um teórico modelo para um trabalho 'modelando fenômenos hidrodinâmicos'. (Por favor, não os esclareça!)

Um pouco de história mostrará como a palavra 'modelo' passou a ter esses dois usos diferentes. No latim tardio, um 'modellus' era um dispositivo de medição, por exemplo, para medir água ou leite. Pelos caprichos da linguagem, a palavra gerou três palavras diferentes em inglês: molde, módulo, modelo. Muitas vezes, um dispositivo que mede uma quantidade de uma substância também impõe uma forma à substância. Vemos isso com um molde de queijo, e também com as letras de metal (chamadas 'módulos' no início do século XVII) que transportam tinta para papel na impressão. Assim, 'modelo' passa a significar um objeto na mão que expressa o design de alguns outros objetos no mundo: o modelo do artista tem a forma que o artista descreve, e o 'módulo' da Catedral de São Paulo de Christopher Wren serve para guiar os construtores.

Já no final do século XVII, a palavra "modelo" poderia significar um objeto que mostra a forma, não de objetos do mundo real, mas de construções matemáticas. Leibniz se gabava de não precisar de modelos para fazer matemática. Outros matemáticos ficaram felizes em usar modelos de gesso ou metal de superfícies interessantes. Os modelos da teoria dos modelos apareceram pela primeira vez como versões abstratas desse tipo de modelo, com teorias no lugar da equação definidora de uma superfície. Por outro lado, pode-se ficar com objetos do mundo real, mas mostrar sua forma através de uma teoria e não de uma cópia física na mão; 'modelagem' está construindo tal teoria.

Temos uma situação confusa no meio do caminho, quando um cientista descreve um fenômeno no mundo por uma equação, por exemplo, uma equação diferencial com funções exponenciais como soluções. O modelo é a teoria que consiste na equação ou essas funções exponenciais são elas mesmas modelos do fenômeno? Exemplos desse tipo, nos quais teoria e estruturas fornecem essencialmente a mesma informação, dão algum apoio à afirmação de Patrick Suppes de que "o significado do conceito de modelo é o mesmo em matemática e ciências empíricas" (página 12 de seu livro de 1969 citado abaixo). Vários filósofos da ciência buscaram a idéia de usar uma versão informal de modelos teóricos para modelagem científica. Às vezes, os modelos são descritos como não linguísticos - pode ser difícil conciliar com nossa definição de modelos na seção 1 acima.

A ciência cognitiva é uma área em que a diferença entre modelos e modelagem tende a ficar embaçada. Uma questão central da ciência cognitiva é como representamos fatos ou possibilidades em nossas mentes. Se alguém formaliza essas representações mentais, elas se tornam algo como "modelos de fenômenos". Mas é uma hipótese séria que, de fato, nossas representações mentais tenham muito em comum com estruturas simples da teoria dos conjuntos, de modo que também sejam "modelos" no sentido da teoria dos modelos. Em 1983, dois trabalhos influentes da ciência cognitiva foram publicados, ambos sob o título Modelos Mentais. O primeiro, editado por Dedre Gentner e Albert Stevens, tratava das "conceituações" das pessoas sobre os fatos elementares da física; pertence diretamente ao mundo da "modelagem de fenômenos". O segundo, de Philip Johnson-Laird, é basicamente sobre raciocínio,e faz vários apelos à "semântica teórica do modelo" em nosso sentido. Pesquisadores na tradição Johnson-Laird tendem a se referir à sua abordagem como "teoria dos modelos" e a vê-la como aliada, em algum sentido, ao que chamamos de teoria dos modelos.

Imagens e diagramas parecem à primeira vista pairando no meio do caminho entre teorias e modelos. Na prática, os teóricos dos modelos costumam desenhar figuras de estruturas e usá-las para pensar sobre as estruturas. Por outro lado, as imagens geralmente não trazem a rotulagem, que é uma característica essencial das estruturas teóricas dos modelos. Existe um corpo de trabalho em rápido crescimento sobre o raciocínio com diagramas, e a tendência esmagadora deste trabalho é ver figuras e diagramas como uma forma de linguagem e não como uma forma de estrutura. Por exemplo, Eric Hammer e Norman Danner (no livro editado por Allwein e Barwise, veja a Bibliografia) descrevem uma "teoria modelo dos diagramas de Venn"; os próprios diagramas de Venn são a sintaxe, e a teoria dos modelos é uma explicação teórica do conjunto de seus significados.

O teórico do modelo Yuri Gurevich introduziu as máquinas de estado abstrato (ASMs) como uma maneira de usar idéias teóricas do modelo para especificação em ciência da computação. De acordo com o site Abstract State Machine (consulte Outros recursos da Internet abaixo),

qualquer algoritmo pode ser modelado em seu nível de abstração natural por um ASM apropriado. … ASMs usam estruturas matemáticas clássicas para descrever estados de uma computação; estruturas são modelos bem compreendidos e precisos.

O livro de Börger e Stärk, citado abaixo, é um relato oficial dos ASMs e seus usos.

Hoje você pode fazer seu nome e fortuna encontrando um bom sistema de representação. Não há razão para esperar que todos esses sistemas se encaixem perfeitamente na estrutura de sintaxe / semântica da teoria dos modelos, mas será surpreendente se as idéias da teoria dos modelos não continuarem a dar uma contribuição importante nessa área.

Bibliografia

Textos introdutórios

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Definição teórica do modelo

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  • Pasch, M., 1882, Vorlesungen über Neuere Geometrie, Berlim: Springer-Verlag.
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  • Suppes, P., 1957, "Teoria da definição" em Introdução à Lógica (Capítulo 8), Princeton, NJ: Van Nostrand.
  • Tarski, A., 1954, “Contribuições para a teoria dos modelos, I”, Indagationes Mathematicae, 16: 572–581.

Consequência teórica do modelo

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  • Etchemendy, J., 1990, The Concept of Logical Consequence, Cambridge, MA: Harvard University Press.
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  • Gómez-Torrente, M., 1996, “Tarso sobre conseqüência lógica”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 37: 125–151.
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  • Kreisel, G., 1969, "Rigor informal e provas de completude", em J. Hintikka (ed.), The Philosophy of Mathematics, Londres: Oxford University Press, pp. 78-94.
  • Tarski, A., 1983, “No conceito de conseqüência lógica”, traduzido em A. Tarski, Lógica, Semântica, Metamatemática, J. Corcoran (ed.), Indianapolis: Hackett, pp. 409-420.
  • Van Benthem, J., 1991 [1983], A lógica do tempo: uma investigação modelo-teórica sobre as variedades de ontologia temporal e discurso temporal, Dordrecht: Reidel, 1983; segunda edição, Springer, 1991.

Força expressiva

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  • Ebbinghaus, H.-D., Flum, J. e Thomas, W., 1984, Mathematics Logic, Nova Iorque: Springer-Verlag.
  • Fleuriot, J., 2001, A Combination of Geometry Theorem Proving and Nonstandard Analysis, com Aplicação a Principia de Newton, Nova York: Springer-Verlag.
  • Immerman, N., 1999, Descritive Complexity, Nova Iorque: Springer-Verlag.
  • Libkin, L., 2004, Elements of Finite Model Theory, Berlim: Springer-Verlag.
  • Loeb, P. e Wolff, M. (eds.), 2000, Análise não padronizada para o matemático de trabalho, Dordrecht: Kluwer.
  • Robinson, A., 1967, “A metafísica do cálculo”, em Problems in the Philosophy of Mathematics, I. Lakatos (ed.), Amsterdã: Holanda do Norte, pp. 28-40.

Modelos e modelagem

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  • Fowler, M., 2000, UML Distilled, Boston: Addison-Wesley.
  • Garnham, A., 2001, Modelos mentais e a interpretação de Anaphora, Filadélfia: Taylor e Francis.
  • Gentner, D. e Stevens, A. (orgs.), 1983, Mental Models, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum.
  • Johnson-Laird, P., 1983, Modelos mentais: Rumo a uma ciência cognitiva da linguagem, inferência e consciência, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Meijers, A. (ed.), 2009, Filosofia da Tecnologia e Ciências da Engenharia, Amsterdã: Elsevier; veja os capítulos W. Hodges, “Modelagem Funcional e Modelos Matemáticos”; R. Müller, “A noção de modelo, teorias de modelos e história”; e N. Nersessian, "Raciocínio baseado em modelo em engenharia interdisciplinar".
  • Moktefi, A. e Shin, S.‑J. (eds.), 2013, Visual Reasoning with Diagrams, Basileia: Birkhäuser.
  • Morgan, MS e Morrison, M. (orgs.), 1999, Models as Mediators, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Pullum, GK e Scholz, BC, 2001, “Sobre a distinção entre frameworks sintáticos teórico-modelo e generativo-enumerativo”, em Aspectos Lógicos da Linguística Computacional (Lecture Notes in Computer Science: Volume 2099), P. De Groote et al. (eds.), Berlim: Springer-Verlag, pp. 17-43.
  • Stenning, K., 2002, Seeing Reason, Oxford: Oxford University Press.
  • Suppes, P., 1969, Estudos em Metodologia e Fundamentos da Ciência, Dordrecht: Reidel.

Ferramentas Acadêmicas

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Outros recursos da Internet

  • mentalmodelsblog: Modelos mentais no pensamento e no raciocínio humano, de Ruth Byrne.
  • Algorithmic Model Theory, por E. Graedel, D. Berwanger e M. Hoelzel (Mathematische Grundlagen der Informatik, RWTH Aachen)
  • Abstract State Machines, de Jim Huggins

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