Métodos Não Dedutivos Em Matemática

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Métodos Não Dedutivos em Matemática

Publicado pela primeira vez em 17 de agosto de 2009; revisão substantiva terça-feira 21 de abril de 2020

Tal como está, não existe um subcampo filosófico único e bem definido dedicado ao estudo de métodos não dedutivos em matemática. Como o termo está sendo usado aqui, ele incorpora um conjunto de diferentes posições filosóficas, abordagens e programas de pesquisa cuja motivação comum é a visão de que (i) existem aspectos não dedutivos da metodologia matemática e que (ii) a identificação e análise desses aspectos tem o potencial de ser filosoficamente frutífero.

  • 1. Introdução

    • 1.1 Descoberta versus justificação
    • 1.2 Dedução e formalização
    • 1.3 Dedutivismo e Fundações
  • 2. Aspectos não dedutivos do método dedutivo

    • 2.1 Aspectos da informalidade

      • 2.1.1 Provas semi-formais
      • 2.1.2 Lacunas nas provas
      • 2.1.3 Diagramas
    • 2.2 Justificando a dedução

      • 2.2.1 Justificação das regras
      • 2.2.2 O status dos axiomas
    • 2.3 Resultados de Gödel
  • 3. Métodos não dedutivos alternativos

    • 3.1 Matemática Experimental
    • 3.2 Indução Enumerativa
    • 3.3 Provas de computador
    • 3.4 Provas probabilísticas
  • 4. Resumo / Conclusões
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. Introdução

As visões filosóficas sobre a ontologia da matemática variam desde o platonismo (a matemática é sobre um domínio de objetos abstratos), ao ficcionalismo (a matemática é uma ficção cujo assunto não existe), ao formalismo (declarações matemáticas são seqüências sem sentido manipuladas de acordo com formalidades). regras), sem consenso sobre o que é correto. Por outro lado, parece justo dizer que há uma visão recebida filosoficamente estabelecida da metodologia básica da matemática. Grosso modo, é que os matemáticos pretendem provar afirmações matemáticas de vários tipos, e essa prova consiste na derivação lógica de uma dada afirmação de axiomas. Essa visão tem uma longa história;assim, Descartes escreve em seu Rules for the Direction of the Mind (1627-1628) que uma proposição matemática deve ser “deduzida dos princípios verdadeiros e conhecidos pela ação contínua e ininterrupta de uma mente que tenha uma visão clara de cada etapa do processo. (47) Uma implicação importante dessa visão é que não há espaço, pelo menos idealmente, em matemática para métodos não dedutivos. Frege, por exemplo, afirma que "é da natureza da matemática sempre preferir a prova, sempre que possível, a qualquer confirmação por indução" (1884, 2). Berry (2016) oferece uma defesa mais recente da prova como promotora das principais virtudes da investigação compartilhada na comunidade matemática.pelo menos idealmente, em matemática para métodos não dedutivos. Frege, por exemplo, afirma que "é da natureza da matemática sempre preferir a prova, sempre que possível, a qualquer confirmação por indução" (1884, 2). Berry (2016) oferece uma defesa mais recente da prova como promotora das principais virtudes da investigação compartilhada na comunidade matemática.pelo menos idealmente, em matemática para métodos não dedutivos. Frege, por exemplo, afirma que "é da natureza da matemática sempre preferir a prova, sempre que possível, a qualquer confirmação por indução" (1884, 2). Berry (2016) oferece uma defesa mais recente da prova como promotora das principais virtudes da investigação compartilhada na comunidade matemática.

Na literatura filosófica, talvez o desafio mais famoso dessa visão recebida tenha vindo de Imre Lakatos, em seu influente (publicado postumamente) livro de 1976, Provas e refutações:

A Metodologia Euclidiana desenvolveu um certo estilo obrigatório de apresentação. Vou me referir a isso como 'estilo dedutivista'. Esse estilo começa com uma lista minuciosa de axiomas, lemas e / ou definições. Os axiomas e as definições frequentemente parecem artificiais e complicados. Nunca se sabe como essas complicações surgiram. A lista de axiomas e definições é seguida pelos teoremas cuidadosamente redigidos. Estes são carregados com condições pesadas; parece impossível que alguém os tenha adivinhado. O teorema é seguido pela prova.

No estilo dedutivista, todas as proposições são verdadeiras e todas as inferências válidas. A matemática é apresentada como um conjunto cada vez maior de verdades eternas e imutáveis.

O estilo dedutivista esconde a luta, esconde a aventura. A história toda desaparece, as sucessivas formulações tentativas do teorema no curso do procedimento de prova estão fadadas ao esquecimento, enquanto o resultado final é exaltado em infalibilidade sagrada (Lakatos, 1976, 142).

Antes de prosseguir, vale a pena fazer algumas distinções para focar os tópicos das discussões subseqüentes.

1.1 Descoberta versus justificação

A ampla afirmação de que existem alguns aspectos não dedutivos da atividade matemática parece relativamente incontroversa. Pois isso equivale apenas à afirmação de que nem tudo o que os matemáticos fazem quando fazem matemática consiste em derivar afirmações de outras afirmações. Como James Franklin coloca:

A matemática não pode consistir apenas de conjecturas, refutações e provas. Qualquer um pode gerar conjecturas, mas quais valem a pena investigar? … O que pode ser capaz de provar por um método no repertório do matemático? … Quais são improváveis de dar resposta até depois da próxima revisão da posse? O matemático deve responder a essas perguntas para alocar seu tempo e esforço. (Franklin 1987, 2)

Uma maneira de restringir a afirmação geral de modo a torná-la mais substantiva é fazer uso da distinção familiar (embora não totalmente não problemática) entre "contexto de descoberta" e "contexto de justificação". Por um lado, essa distinção pode permitir que a visão dedutivista tradicional seja mantida diante da crítica de Lakatos, argumentando que o que Lakatos está apontando diz respeito ao contexto da descoberta em matemática. No contexto da justificação, a derivação de resultados de axiomas ainda pode ser a história correta e completa. Algumas das reações dos matemáticos às visões de Lakatos têm esse caráter, por exemplo, a seguinte observação de Morris Kline em uma carta escrita a Lakatos:

Acredito que precisamos de muito mais literatura enfatizando o lado da descoberta da matemática. Toda a ênfase, como você sabe e implica, está na estrutura dedutiva da matemática e a impressão que é dada aos alunos é que se deduz novas conclusões das antigas. [1]

Também é possível encontrar passagens em linhas semelhantes no trabalho de Pólya, que foi uma grande influência em Lakatos:

Estudando os métodos de resolução de problemas, percebemos outra face da matemática. Sim, a matemática tem duas faces; é a ciência rigorosa de Euclides, mas também é outra coisa. A matemática apresentada à maneira euclidiana aparece como uma ciência dedutiva sistemática, mas a matemática em elaboração parece uma ciência experimental e indutiva. (Pólya 1945, vii) [itálico no original]

Por outro lado, para apresentar um desafio genuíno à posição dedutivista familiar, a reconvenção deve ser que os métodos não dedutivos desempenham um papel na justificação dos resultados matemáticos (Paseau 2015). Portanto, serão principalmente contextos justificativos que serão focados no restante desta pesquisa. [2]

1.2 Dedução e formalização

Este não é o lugar para uma análise detalhada da dedução. Para os propósitos atuais, presume-se que essa noção seja bastante direta, pelo menos em princípio. Uma dedução é qualquer sequência de instruções, cada uma das quais derivada de algum conjunto inicial de instruções (as premissas) ou de uma instrução anterior na sequência. No entanto, uma questão que precisa ser abordada é a relação entre dedução e formalização (ver, por exemplo, Azzouni 2013).

Um argumento pode ser dedutivo sem ser formal. Embora os casos paradigmáticos de dedução tendam a ocorrer em sistemas altamente formalizados, isso não é necessário. “Todos os números pares maiores que 2 são compostos; 1058 é maior que 2; 1058 é par; portanto, 1058 é composto”é uma dedução perfeitamente boa, apesar de não ter sido formalizada. Portanto, ao contrário do que às vezes é assumido nas discussões sobre essas questões, não é verdade que todos os aspectos informais da prática matemática sejam, portanto, não dedutivos.

Por outro lado, o desenvolvimento da lógica formal está intimamente ligado ao fornecimento de uma linguagem clara para apresentar (e avaliar) o raciocínio matemático dedutivo. De fato, como John Burgess argumenta em (1992), a lógica clássica moderna se desenvolveu amplamente como base para o raciocínio matemático, especialmente a prova. O aumento no rigor dentro da matemática durante a 19 ª Century está devidamente visto como uma causa, não um efeito, da revolução lógica partiu pelo trabalho de Frege. A lógica, na visão de Burgess, é descritiva: seu objetivo é construir modelos matemáticos de raciocínio. A lógica clássica constitui uma descrição idealizada da prova matemática clássica.

Também pode ser importante distinguir elementos informais de uma determinada prova matemática de elementos não-formatáveis (se houver). [3] Na seção 4, esta questão será abordada em conexão com o uso de diagramas no raciocínio matemático.

1.3 Dedutivismo e Fundações

Além do desenvolvimento da lógica formal, outro aspecto do dedutivismo é a ênfase nos "fundamentos". A razão para isso é que a passagem dos axiomas para o teorema é direta, em princípio, uma vez que é uma questão de derivação lógica. De fato, não há nada distintamente matemático envolvido nessa transição. Portanto, a atenção é desviada para o ponto de partida do processo dedutivo, a saber, os axiomas. E se esses axiomas são eles próprios teoremas de alguma teoria mais básica, essa busca de um ponto de partida seguro pode ser perseguida através de uma hierarquia de teorias matemáticas cada vez mais fundamentais.

É inegável que questões nos fundamentos da matemática têm sido a preocupação central dos filósofos da matemática durante a maior parte do século XX. Isso não ocorre, é claro, porque áreas fundamentais, como a teoria dos conjuntos, são as únicas áreas da matemática em que os filósofos pensam que a dedução ocorre, mas sim porque, como apontado acima, o foco na dedução coloca ênfase particular nos pontos de partida das provas. Mesmo aqueles que simpatizam com esse foco em questões fundamentais provavelmente reconhecerão que muitas áreas da prática matemática são assim ignoradas. A questão é: se algo de interesse filosófico se perder no processo.

2. Aspectos não dedutivos do método dedutivo

2.1 Aspectos da informalidade

2.1.1 Provas semi-formais

Como mencionado em 1.2 acima, uma característica do estilo dedutivista é que as provas matemáticas paradigmáticas são expressas inteiramente em alguma linguagem formal apropriada (por exemplo, lógica de predicado de primeira ordem com identidade). Isso permite que a validade de uma determinada prova seja facilmente, de fato mecanicamente, verificada. Mas é claro que poucas ou nenhuma das provas divulgadas e publicadas por matemáticos têm essa forma. O que qualifica como prova para os matemáticos trabalhadores varia do completamente informal ao detalhado e preciso, com todas as lacunas (ou quase todas) preenchidas. No entanto, mesmo as provas detalhadas e precisas raramente são expressas puramente na linguagem da lógica; ao contrário, são uma mistura de linguagem comum, símbolos matemáticos e lógicos e terminologia.

Às vezes, os filósofos que escrevem na tradição dedutivista fazem parecer que esse é um ponto bastante trivial; é apenas uma questão de matemáticos que têm um "esquema de tradução" em mãos, mas não escrevem a prova em pura lógica para torná-la mais acessível e fácil de ler. De fato, muitas vezes está longe de ser óbvio como traduzir uma determinada prova em lógica formal. Além disso, não está claro que a noção de 'traduzir' uma prova informal para uma linguagem formal seja necessariamente a maneira correta de encarar a situação. Stewart Shapiro apresenta essencialmente essa visão no início de seu livro de 1991, Foundations Without Foundationalism, escrevendo que:

Os idiomas da lógica completa são, pelo menos em parte, modelos matemáticos de fragmentos de idiomas naturais comuns, como o inglês, ou talvez idiomas comuns aumentados com expressões usadas na matemática. O último pode ser chamado de "linguagens naturais da matemática". Para enfatizar, ou para evitar confusão, a linguagem de uma lógica completa às vezes é chamada de 'linguagem formal'.

Como modelo matemático, há sempre uma lacuna entre a linguagem de uma lógica e sua contraparte na linguagem natural. O ajuste entre o modelo e o modelado pode ser bom ou ruim, útil ou enganoso, para qualquer finalidade em questão. (Shapiro 1991, 3)

Uma imagem alternativa é que as linguagens formais e informais oferecem diferentes maneiras de expressar teoremas e provas matemáticas. A linguagem formal não é usada para 'traduzir' e, portanto, não precisa ser medida em relação ao que é expresso em uma prova informal. Em vez disso, oferece recursos próprios, indiscutivelmente superiores, para expressar o conteúdo de declarações matemáticas em um ambiente preciso e rigoroso que foi projetado especificamente para esse fim. Qualquer que seja o quadro adotado da relação entre apresentações formais e informais da matemática, restam dois pontos. Primeiro, argumentos matemáticos dedutivos - argumentos produzidos, transmitidos e construídos por matemáticos - podem ser formais ou informais. Segundo,a avaliação de tais argumentos como dedutivamente válidos ou inválidos é mais fácil de ser realizada definitivamente no contexto de um sistema formal de algum tipo.

Também é importante notar que Lakatos defende uma terceira categoria de prova, além de formal e informal, que ele chama de “quase formal”. Lakatos escreve que:

sugerir que uma prova informal é apenas uma prova formal incompleta parece-me cometer o mesmo erro que os primeiros educadores quando, assumindo que uma criança era apenas um adulto em miniatura, eles negligenciaram o estudo direto do comportamento infantil em favor de teorização baseada em analogias simples com o comportamento adulto. (Lakatos 1980, 63)

2.1.2 Lacunas nas provas

A palestra acima sobre “toda lacuna sendo preenchida” na transição para uma prova ideal encobre o fato de que a noção de uma “lacuna” em uma prova precisa ela própria de mais esclarecimentos. Por um lado, a maneira mais direta de definir uma lacuna de prova - conforme indicado abaixo - é aplicável apenas a sistemas totalmente formais.

Uma lacuna é qualquer ponto em uma prova em que a linha escrita não segue de algum subconjunto das linhas anteriores (junto com axiomas) pela aplicação de uma regra de inferência formalmente válida e explicitamente declarada para o sistema.

A razão para a condição de que qualquer regra seja uma regra de inferência explicitamente declarada para o sistema é porque queremos abrir espaço para provas lacunas e válidas. Por exemplo, "2 + 2 = 4, portanto, existem infinitos primos" é um argumento válido, mas claramente há uma grande lacuna entre sua premissa e sua conclusão. Por outro lado, apesar da definição acima, apenas trabalhando para provas formais, a falta de atenção e a formalidade nem sempre andam juntas. Assim, um silogismo tradicional como: “Todos os homens são mortais; Sócrates é um homem; portanto, Sócrates é mortal”é um exemplo de uma prova informal e contínua. Uma maneira de estender a noção de empatia (e falta de atenção) a provas informais é através da noção de uma inferência matemática básica,em outras palavras, uma inferência que é “aceita pela comunidade matemática como utilizável na prova sem qualquer necessidade adicional de argumento” (Fallis 2003, 49).

No entanto, como acabamos caracterizando lacunas, é inegavelmente o caso de que a maioria das provas reais apresentadas pelos matemáticos apresenta lacunas. Don Fallis propõe uma taxonomia de tipos de lacunas de prova em seu (2003):

  1. Lacunas Inferenciais

    “Um matemático deixa uma lacuna inferencial sempre que a sequência específica de proposições que o matemático tem em mente (como sendo uma prova) não é uma prova” (Fallis 2003, 53).

  2. Lacunas entimemáticas

    “Um matemático deixa uma lacuna entimática sempre que não declara explicitamente a sequência específica de proposições que tem em mente” (Fallis 2003, 54). [4]

  3. Lacunas não transferidas

    “Um matemático deixa uma lacuna não transferida sempre que não tenta verificar diretamente se cada proposição na sequência de proposições que ele tem em mente (como prova) segue as proposições anteriores da sequência por uma inferência matemática básica” (Fallis 2003, pp. 56–7).

Além desse trabalho taxonômico, Fallis também defende a tese filosófica de que lacunas nas provas não são necessariamente uma coisa ruim. Com base em (iii) acima, ele introduz a noção de uma lacuna universalmente não-transversa, ou seja, uma lacuna que não foi preenchida por nenhum membro da comunidade matemática. Fallis alega que tais lacunas não são incomuns e que pelo menos algumas das provas que os contêm são aceitas pelos matemáticos em um contexto justificativo. Essa visão é confirmada em trabalhos mais recentes de Andersen (2018).

Uma área de trabalho atualmente ativa que levou à descoberta de lacunas de vários tipos até então não reconhecidas é a verificação automática de provas. Programas de computador especialmente projetados são usados para verificar a validade das provas que foram renderizadas em uma linguagem formal apropriada. Até agora, o foco principal não foi descobrir novos resultados, mas verificar o status das provas de resultados já estabelecidos. George Gonthier usou essa abordagem para verificar uma prova do teorema das quatro cores (Gonthier 2008) e uma prova do teorema da ordem ímpar na teoria dos grupos (Gonthier et al. 2013), e Thomas Hales verificou uma prova do teorema da curva de Jordan (Hales 2007). Em cada caso, várias lacunas foram encontradas e depois atravessadas. A verificação formal desse tipo também pode revelar outras informações ocultas no conteúdo de argumentos matemáticos comuns. Georg Kreisel descreveu esse processo geral como "provas de desenrolamento", enquanto Ulrich Kohlenbach cunhou mais recentemente o termo "mineração de provas". Em conexão com os métodos descritos acima, o Avigad escreve que

… Métodos e percepções teóricas da prova podem ser usados… no campo do raciocínio automatizado e da verificação formal. Desde o início do século XX, tem sido entendido que argumentos matemáticos comuns podem ser representados em teorias axiomáticas formais, pelo menos em princípio. A complexidade envolvida até nos argumentos matemáticos mais básicos, no entanto, tornou a maior parte da formalização inviável na prática. O advento dos assistentes de prova computacional começou a mudar isso, possibilitando a formalização de provas matemáticas cada vez mais complexas. … [Os] métodos também podem ser usados para a tarefa mais tradicional de verificação de provas matemáticas comuns e são especialmente pertinentes aos casos em que as provas se baseiam em cálculos muito extensos para serem verificados manualmente. (Avigad, 2007, p. 7)

Delariviere e Van Kerkhove (2017) apontam, no entanto, que, embora os métodos computacionais possam desempenhar uma regra cada vez mais importante na verificação de provas, é muito menos claro que esses métodos podem desempenhar um papel correspondentemente central no avanço da compreensão matemática.

2.1.3 Diagramas

Outro aspecto da prova informal que tem sido objeto de atenção renovada na literatura filosófica recente é o papel dos diagramas (Giaquinto 2007; Shin & Lemon 2008). O que não está em disputa é que as provas - especialmente em geometria, mas também em outras áreas que vão da análise à teoria dos grupos - são frequentemente acompanhadas de diagramas. Uma questão diz respeito à questão de saber se esses diagramas desempenham um papel indispensável na cadeia de raciocínio que vai das premissas de uma determinada prova à sua conclusão. Prima facie, parece haver três situações possíveis:

  1. Os diagramas não desempenham nenhum papel substantivo na prova e servem apenas como "ilustrações" de aspectos do assunto com o qual lida.
  2. Em termos práticos, é difícil (ou mesmo impossível) apreender a prova sem fazer uso dos diagramas, mas essa indispensabilidade é mais psicológica do que lógica.
  3. Os diagramas desempenham um papel essencial na estrutura lógica da prova.

A onda inicial de trabalho filosófico realizada sobre o raciocínio diagramático enfocou os Elementos de Euclides, em parte por causa da centralidade e importância histórica desse trabalho, e em parte porque é freqüentemente vista como um exemplo canônico do método dedutivo (ver, por exemplo, Mumma 2010). Se alguns ou todos os diagramas dos Elementos se enquadrarem na opção (iii) acima, a exclusão de todos os diagramas invalidará muitas das provas. Isso levanta a questão adicional de saber se uma forma distintamente diagramática de raciocínio pode ser identificada e analisada e, se houver, se pode ser capturada em um sistema puramente dedutivo. Uma dificuldade para qualquer rigor proposto é o "problema de generalização": como uma prova vinculada a um diagrama específico pode ser generalizada para outros casos? Isso está entrelaçado com a questão de distinguir, em termos formais,entre as características essenciais e coincidentes de um determinado diagrama.

Trabalhos mais recentes sobre o papel dos diagramas nas provas incluíram uma defesa da posição de que as provas diagramáticas às vezes podem ser totalmente rigorosas (Azzouni, 2013) e a exploração do raciocínio baseado em diagrama em áreas da prática matemática que não a geometria (de Toffoli e Giardino, 2014; de Toffoli, 2017).

2.2 Justificando a dedução

Mesmo se restringirmos a atenção ao contexto da justificação, uma prova dedutiva só produzirá conhecimento categórico se for de um ponto de partida seguro e se as regras de inferência preservarem a verdade. Será que a nossa confiança de que essas duas condições são obtidas também pode ser fundamentada puramente dedutivamente? Essas condições serão consideradas por sua vez.

2.2.1 Justificação das regras

Em certo sentido, parece bastante simples dar uma justificativa dedutiva para algum conjunto de regras de inferência favorecido. Pode-se demonstrar, por exemplo, que se as premissas de uma aplicação do Modus Ponens são verdadeiras, a conclusão também deve ser verdadeira. O problema, pelo menos potencialmente, é que essas justificativas costumam fazer uso da própria regra que procuram justificar. No caso acima: se MP é aplicado a premissas verdadeiras, a conclusão é verdadeira; MP é aplicado a premissas verdadeiras; portanto, a conclusão é verdadeira. Haack (1976) e outros debateram se a circularidade aqui é cruel ou não. Uma consideração crucial é se "justificativas" análogas podem ser dadas para regras inválidas, por exemplo, regras de introdução e eliminação de Prior para "tonk", que também possuem esse recurso de usar uma regra para se justificar.[5] (Uma questão intimamente relacionada pode ser rastreada até Lewis Carroll e seu artigo clássico (1895).)

2.2.2 O status dos axiomas

Suponhamos, então, que uma prova dedutiva idealizada forneça um tipo de segurança: a transparência de cada etapa garante a validade do argumento como um todo e, portanto, garante que, se todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão deve ser verdadeira. Mas e os axiomas introduzidos no início do processo de prova? A resposta tradicional a esta pergunta é afirmar que a verdade dos axiomas é segura porque os axiomas são "auto-evidentes". Essa certamente parece ter sido a visão geralmente aceita dos axiomas da geometria euclidiana, por exemplo. No entanto, essa atitude é muito menos prevalente na matemática contemporânea, por várias razões. Em primeiro lugar, a descoberta da geometria não euclidiana no início do século XIXCentury mostrou que a aparente auto-evidência, pelo menos no caso do Postulado Paralelo, não é garantia da verdade necessária. Segundo, o crescente alcance e complexidade das teorias matemáticas - e suas axiomatizações - tornaram muito menos plausível afirmar que cada axioma individual era transparentemente verdadeiro. Em terceiro lugar, muitos subcampos matemáticos tornaram-se abstraídos em grande parte de qualquer modelo concreto, e isso acompanha a tendência de pelo menos alguns matemáticos adotarem uma atitude formalista em relação às teorias que desenvolvem. Em vez de expressar verdades fundamentais, sob esse ponto de vista, os axiomas servem simplesmente para fornecer a posição inicial de um jogo formal.

O deslize em direção a esse tipo de atitude formalista em relação aos axiomas também pode ser traçado através do lógica do Frege. O programa lógico procurou mostrar que a matemática é redutível à lógica, em outras palavras, que as provas matemáticas podem consistir em deduções lógicas de premissas logicamente verdadeiras. Para Frege, essas premissas logicamente verdadeiras são definições dos termos que ocorrem nelas. Mas isso novamente levanta a questão do que distingue definições aceitáveis de definições inaceitáveis. A preocupação aqui não é apenas se nossos axiomas são verdadeiros, mas também se são consistentes (uma armadilha que se abateu sobre o próprio sistema de Frege). E isso é um problema quando a evidência em si é abandonada como o 'padrão-ouro' dos axiomas, se passamos daqui para uma visão formalista ou lógica. Em ambos os casos,alguns outros limites sobre a aceitabilidade dos axiomas candidatos devem ser fornecidos.

Existe um meio termo, então, entre o alto padrão de auto-evidência, por um lado, e a atitude de "vale tudo", por outro? Uma idéia, cuja versão pode ser rastreada até Bertrand Russell, é invocar uma versão de inferência para a melhor explicação. A visão de Russell, plausivelmente, é que as proposições de aritmética elementar - “2 + 2 = 4”, “7 é primo” etc. - são muito mais evidentes do que os axiomas de qualquer sistema lógico ou teórico-conjunto invente para aterrá-los. Portanto, em vez de considerar axiomas como maximamente evidentes, devemos pensar neles como sendo escolhidos com base em sua capacidade (coletiva) de sistematizar, derivar e explicar os fatos aritméticos básicos. Em outras palavras, a direção da implicação lógica permanece dos axiomas aos fatos aritméticos,mas a direção da justificação pode seguir o contrário, pelo menos no caso de fatos aritméticos óbvios muito simples. Derivar “2 + 2 = 4” de nossos axiomas da teoria dos conjuntos não aumenta nossa confiança na verdade de “2 + 2 = 4”, mas o fato de podermos derivar esse fato conhecido anteriormente (e não derivar outras proposições que saber ser falso) aumenta nossa confiança na verdade dos axiomas.

A direção da justificação aqui reflete a direção da justificação em inferência à melhor explicação. Uma vez que tenhamos uma medida de confiança em uma escolha específica de axiomas, a direção da justificação também pode fluir na direção mais convencional, acompanhando as inferências dedutivas de uma prova. Isso acontecerá quando o teorema provado não era aquele cuja verdade era anteriormente óbvia. Easwaran (2005), Mancosu (2008) e Schlimm (2013) desenvolveram esse relato básico da escolha de axiomas de diferentes maneiras. Por exemplo, Mancosu argumenta que um processo análogo pode estar subjacente ao desenvolvimento de novas teorias matemáticas que estendem o domínio de aplicação ou a ontologia de teorias anteriores. Fazer mais progressos na análise desse processo dependerá de fornecer uma explicação satisfatória das explicações matemáticas,e isso se tornou uma área de considerável interesse na literatura recente sobre filosofia da matemática.

Outra abordagem, adotada por Maddy (1988, 1997, 2001, 2011), é examinar com mais detalhes a prática real dos matemáticos e as razões que eles dão para aceitar ou rejeitar diferentes axiomas candidatos. O foco principal de Maddy está nos axiomas da teoria dos conjuntos, e ela argumenta que existem várias virtudes teóricas, sem ligação direta à 'auto-evidência', que axiomas podem possuir. O que são essas virtudes e como elas são ponderadas uma em relação à outra podem muito bem variar em diferentes áreas da matemática. Duas virtudes centrais que Maddy identifica para axiomas da teoria dos conjuntos são UNIFY (isto é, que fornecem uma única teoria fundamental para decidir questões da teoria dos conjuntos) e MAXIMIZE (isto é, que não restringem arbitrariamente a variedade de tipos de isomorfismos). A questão da escolha do axioma na teoria dos conjuntos também foi abordada em trabalhos recentes de Lingamneni (2017) e Fontanella (2019).

2.3 Resultados de Gödel

Sem dúvida, as mais notórias das limitações do método dedutivo em matemática são aquelas que resultam dos resultados incompletos de Gödel. Embora esses resultados se apliquem apenas a teorias matemáticas fortes o suficiente para incorporar aritmética, a centralidade dos números naturais (e suas extensões nos racionais, reais, complexos etc.) como foco da atividade matemática significa que as implicações são amplas.

As implicações precisas do trabalho de Gödel também não devem ser exageradas. A ordem dos quantificadores é importante. O que Gödel mostrou é que, para qualquer sistema formal consistente e recursivamente axiomatizado, F, forte o suficiente para aritmética, existem verdades expressáveis em linguagem puramente aritmética que não são prováveis em F. Ele não mostrou que existem verdades aritméticas que não são prováveis em qualquer sistema formal. No entanto, os resultados de Gödel martelaram alguns pregos significativos no caixão de uma versão do ideal dedutivo da matemática. Não pode haver um sistema formal único e recursivamente axiomatizável para toda a matemática que seja (a) consistente, (b) puramente dedutivo e (c) completo. Uma linha de resposta a essa situação é explorar opções para métodos não dedutivos de justificação em matemática.

3. Métodos não dedutivos alternativos

3.1 Matemática Experimental

O papel dos métodos não dedutivos na ciência empírica é prontamente aparente e relativamente incontroverso (ritmo Karl Popper). De fato, o padrão canônico de justificação na ciência é a posteriori e indutivo. O que torna a ciência empírica empírica é o papel crucial desempenhado pela observação e, em particular, pelo experimento. Um ponto de partida natural, portanto, em uma pesquisa de métodos não dedutivos em matemática, é observar a ascensão de um gênero conhecido como "matemática experimental". Nos últimos 15 anos, mais ou menos, surgiram jornais (por exemplo, The Journal of Experimental Mathematics), institutos (por exemplo, o Instituto de Matemática Experimental da Universidade de Essen), colóquios (por exemplo, o Colóquio Experimental de Matemática da Universidade Rutgers) e livros (por exemplo, Borwein e Bailey 2003 e 2004) dedicados a esse tema. Esses últimos autores também argumentam, em Borwein e Bailey (2015), a importância da matemática experimental na prática matemática de maneira mais geral, enquanto Sorensen (2016) fornece uma análise histórica e sociológica mais ampla da matemática experimental.

No contexto da dicotomia tradicional entre as rotas matemáticas e empíricas do conhecimento, o próprio termo "matemática experimental" parece, na melhor das hipóteses, oximorônico e, na pior das hipóteses, completamente paradoxal. Uma sugestão natural é que a matemática experimental envolve a realização de experimentos matemáticos, onde o termo "experimento" aqui é interpretado o mais literalmente possível. Essa é a abordagem adotada por van Bendegem (1998). De acordo com van Bendegem, um experimento envolve “a manipulação de objetos,… estabelecendo processos no mundo 'real' e… observando possíveis resultados desses processos” (Van Bendegem 1998, 172). Sua sugestão é que a maneira natural de entender o que um experimento matemático pode ser é considerar como um experimento nesse sentido paradigmático pode ter ramificações matemáticas.

Um exemplo citado por van Bendegem remonta ao trabalho realizado pelo físico belga Plateau do século XIX sobre problemas mínimos de área superficial. Ao construir várias formas geométricas a partir de arame e mergulhar essas armações em uma solução de sabão, a Plateau conseguiu responder a perguntas específicas sobre a superfície mínima que limita várias formas particulares e, eventualmente, formular alguns princípios gerais que governam as configurações dessas superfícies. [6]Uma maneira de entender o que está acontecendo neste exemplo é que um experimento físico - mergulhar uma armação de arame em uma solução de sabão - está produzindo resultados diretamente relevantes para uma determinada classe de problemas matemáticos. A principal desvantagem dessa maneira de caracterizar a matemática experimental é que ela é muito restritiva. Exemplos do tipo que van Bendegem cita são extremamente raros; portanto, o impacto de experimentos matemáticos desse tipo na prática matemática real só pode ser muito limitado na melhor das hipóteses. Além disso, não pode ser apenas esse sentido literal de experimento que os matemáticos têm em mente quando falam sobre matemática experimental e real.

É o suficiente para a leitura mais literal do "experimento matemático". Uma abordagem potencialmente mais proveitosa é pensar em termos analógicos ou funcionais. Em outras palavras, talvez a “matemática experimental” esteja sendo usada para rotular atividades que funcionam dentro da matemática de uma maneira análoga ao papel do experimento na ciência empírica. Assim, experimentos matemáticos podem compartilhar alguns recursos com experimentos literais, mas não outros (Baker 2008; McEvoy 2008, 2013; Sorensen 2010; van Kerkhove 2008). Antes de prosseguir com esta linha de análise, pode ser útil analisar brevemente um estudo de caso.

Um bom exemplo de trabalho atual em matemática experimental aparece em um dos dois livros recentes de Borwein e Bailey (1995b, cap. 4). Diz-se que um número real é normal na base n se todas as seqüências de dígitos da base n (de qualquer comprimento determinado) ocorrerem com igual frequência em sua expansão base-n. Um número é absolutamente normal se for normal em todas as bases. Considere a seguinte hipótese:

Conjectura: Todo número algébrico não racional é absolutamente normal.

Borwein e Bailey usaram um computador para calcular até 10.000 dígitos decimais as raízes quadradas e raízes de cubos dos números inteiros positivos menores que 1.000 e depois submeteram esses dados a determinados testes estatísticos.

Existem algumas características marcantes deste exemplo que podem apontar para uma caracterização mais geral da matemática experimental. Em primeiro lugar, o caminho da evidência para a hipótese é via indução enumerativa. Em segundo lugar, envolve o uso de computadores. A seguir, esses dois recursos serão examinados por sua vez.

3.2 Indução Enumerativa

Em uma carta a Euler escrita em 1742, Christian Goldbach conjeturou que todos os números pares maiores que 2 são expressáveis como a soma de dois números primos. [7] Nos dois séculos e meio seguintes, os matemáticos foram incapazes de provar a conjectura de Goldbach. No entanto, foi verificado para muitos bilhões de exemplos e parece haver um consenso entre os matemáticos de que a conjectura é provavelmente verdadeira. Abaixo está uma lista parcial (em outubro de 2007) mostrando a ordem de grandeza até a qual todos os números pares foram verificados e mostrados em conformidade com o GC.

Limite Encontro Autor
1 × 10 3 1742 Euler
1 × 10 4 1885 Desboves
1 × 10 5 1938 Pipping
1 × 10 8 1965 Stein & Stein
2 × 10 10 1989 Granville
1 × 10 14 1998 Deshouillers
1 × 10 18 2007 Oliveira & Silva

Apesar desse vasto acúmulo de instâncias positivas individuais de GC, auxiliado desde o início da década de 1960 pela introdução - e subsequentes aumentos rápidos na velocidade - do computador digital, nenhuma prova de GC ainda foi encontrada. Não apenas isso, mas poucos teóricos dos números estão otimistas de que há alguma prova futura. O medalhista de campo Alan Baker declarou em uma entrevista de 2000: “É improvável que possamos avançar mais [na prova da GC] sem grandes avanços. Infelizmente, não há uma idéia tão grande no horizonte.” Também em 2000, os editores Faber e Faber ofereceram um prêmio de US $ 1.000.000 a quem comprovasse a GC entre 20 de março de 2000 e 20 de março de 2002, confiantes de que seu dinheiro era relativamente seguro.

O que torna essa situação especialmente interessante é que os matemáticos há muito confiam na verdade da GC. Hardy & Littlewood afirmaram, em 1922, que "não há dúvida razoável de que o teorema está correto", e Echeverria, em um artigo recente de pesquisa, escreve que "a certeza dos matemáticos sobre a verdade da GC está completa" (Echeverria 1996 42). Além disso, essa confiança na verdade da GC está tipicamente ligada explicitamente à evidência indutiva: por exemplo, GH Hardy descreveu a evidência numérica que apóia a verdade da GC como "esmagadora". Assim, parece razoável concluir que os fundamentos da crença dos matemáticos no GC são as evidências indutivas enumerativas.

Uma característica distintiva do caso matemático que pode fazer diferença no poder justificativo da indução enumerativa é a importância da ordem. As instâncias que se enquadram em uma determinada hipótese matemática (pelo menos na teoria dos números) são intrinsecamente ordenadas e, além disso, a posição nessa ordem pode fazer uma diferença crucial nas propriedades matemáticas envolvidas. Como escreve Frege, no que diz respeito à matemática:

O terreno é desfavorável à indução; pois aqui não existe essa uniformidade que em outros campos possa dar ao método um alto grau de confiabilidade. (Frege, fundamentos da aritmética)

Frege então cita Leibniz, que argumenta que a diferença de magnitude leva a todo tipo de outras diferenças relevantes entre os números:

Um número par pode ser dividido em duas partes iguais, um número ímpar não pode; três e seis são números triangulares, quatro e nove são quadrados, oito é um cubo e assim por diante. (Frege, fundamentos da aritmética)

Frege também compara explicitamente os contextos matemático e não matemático para indução:

Nas induções comuns, frequentemente fazemos bom uso da proposição de que toda posição no espaço e todo momento no tempo são tão bons em si quanto qualquer outra. … A posição na série numérica não é uma questão de indiferença, como a posição no espaço. (Frege, fundamentos da aritmética)

Como sugerem as observações de Frege, uma maneira de sustentar um argumento contra o uso da indução enumerativa na matemática é através de algum tipo de princípio de não uniformidade: na ausência de prova, não devemos esperar que números (em geral) compartilhem propriedades interessantes. Portanto, estabelecer que uma propriedade vale para um número específico não dá motivos para pensar que um segundo número escolhido arbitrariamente também terá essa propriedade. [8] Em vez do princípio da uniformidade, sugerido por Hume, é o único caminho para fundamentar a indução, temos quase precisamente o princípio oposto! Parece partir deste princípio que a indução enumerativa é injustificada, uma vez que não devemos esperar que amostras (finitas) da totalidade dos números naturais sejam indicativas de propriedades universais.

Um problema potencialmente ainda mais sério, no caso do GC e em todos os outros casos de indução em matemática, é que a amostra que estamos vendo é tendenciosa. Observe primeiro que todas as instâncias conhecidas do GC (e de fato todas as instâncias que é possível saber) são, em um sentido importante, pequenas.

Num sentido muito real, não há números grandes: qualquer número inteiro explícito pode ser considerado "pequeno". De fato, não importa quantos dígitos ou torres de expoentes você escreva, existem apenas finitos números naturais menores que o seu candidato e infinitamente muitos que são maiores (Crandall e Pomerance 2001, 2).

Obviamente, seria errado simplesmente reclamar que todas as instâncias do GC são finitas. Afinal, todo número é finito; portanto, se o GC mantém todos os números finitos, o GC mantém o simplificador. [9] Mas podemos isolar uma sensação mais extrema de pequenez, que pode ser chamada de minúcia.

Definição: um número inteiro positivo, n, é minuto apenas no caso de n estar dentro do intervalo de números que podemos escrever usando notação decimal comum, incluindo exponenciação (não iterada).

As instâncias verificadas do GC até o momento não são apenas pequenas, são minuciosas. E a minúcia, embora admitidamente definida de maneira vaga, é conhecida por fazer a diferença. Considere, por exemplo, a estimativa logarítmica da densidade primária (ou seja, a proporção de números menores que um dado n que são primos) que é conhecido por se tornar uma subestimação para n suficientemente grande. Seja n * o primeiro número para o qual a estimativa logarítmica é muito pequena. Se a hipótese de Riemann for verdadeira, pode-se provar que um limite superior para n * (o primeiro número de Skewes) é 8 × 10 370. Embora seja um número impressionantemente grande, ainda assim é um minuto, de acordo com a definição acima. No entanto, se a hipótese de Riemann for falsa, nosso limite superior mais conhecido para n *(o segundo número Skewes) é 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 10 ↑ 3. [10] A necessidade de inventar uma notação de 'flecha' aqui para representar esse número nos diz que não é um minuto. A segunda parte deste resultado, portanto, embora admitavelmente condicional a um resultado considerado improvável (a falsidade do RH), implica que existe uma propriedade que contém todos os números de minutos, mas não é válida para todos os números. Minuteness pode fazer a diferença.

E a aparente confiança que os teóricos dos números têm na verdade da GC? Echeverria (1996) discute o importante papel desempenhado pela publicação de Cantor, em 1894, de uma tabela de valores da função da partição Goldbach, G (n), para n = 2 a 1.000 (Echeverria 1996,29–30). A função de partição mede o número de maneiras distintas pelas quais um determinado número (par) pode ser expresso como a soma de dois números primos. Portanto, G (4) = 1, G (6) = 1, G (8) = 1, G (10) = 2, etc. Essa mudança de foco na função de partição coincidiu com um aumento dramático na confiança dos matemáticos no GC. O que ficou evidente no trabalho de Cantor é que G (n) tende a aumentar à medida que n aumenta. Observe que o que o GC representa nesse contexto é que G (n) nunca aceita o valor 0 (para qualquer n igual a 2). A impressão esmagadora causada pelos dados na função de partição é que é altamente improvável que o GC falhe em alguns n grandes. Por exemplo, para números da ordem de 100.000, sempre há pelo menos 500 maneiras distintas de expressar cada número par como a soma de dois números primos!

No entanto, como estão, esses resultados são puramente heurísticos. Os trinta anos após a publicação de sua tabela de valores (descrito por Echeverria como o “2 de Cantor nd período” de investigação sobre GC) viu inúmeras tentativas de encontrar uma expressão analítica para G (n). Se isso pudesse ser feito, presumivelmente seria relativamente simples provar que essa função analítica nunca assume o valor 0 (Echeverria 1996, 31). Por volta de 1921, o pessimismo sobre as chances de encontrar essa expressão levou a uma mudança de ênfase, e os matemáticos começaram a direcionar sua atenção para tentar encontrar limites mais baixos para G (n). Isso também se mostrou malsucedido, pelo menos até o momento.

Portanto, a consideração da função de partição não aproximou mais a prova do GC. No entanto, permite-nos dar uma reviravolta interessante ao argumento da seção anterior. O gráfico sugere que os casos de teste mais difíceis para GC provavelmente ocorrerão entre os menores números; portanto, a amostra indutiva para GC é enviesada, mas é enviesada contra as chances de GC. A confiança dos matemáticos na verdade da GC não se baseia puramente na indução enumerativa. Os valores obtidos pela função de partição indicam que a amostra de instâncias positivas de GC é realmente tendenciosa, e as amostras tendenciosas não - como regra geral - dão muito apoio a uma hipótese. Mas, nesse caso em particular, a natureza do viés torna a evidência mais forte, e não mais fraca. Portanto, é possível argumentar que a indução enumerativa é injustificada, ao mesmo tempo que se concorda que os matemáticos são racionais em acreditar na GC com base nas evidências disponíveis. (Observe que há um equilíbrio delicado a ser mantido aqui, porque a evidência do comportamento da função de partição é ela mesma não dedutiva. No entanto, a impressão de que G (n) provavelmente será delimitada abaixo por alguma função analítica crescente não se baseia em enumerações indução propriamente dita, portanto a justificativa - embora não dedutiva - não seja circular.)No entanto, a impressão de que G (n) provavelmente será delimitada abaixo por alguma função analítica crescente não se baseia na indução enumerativa per se; portanto, a justificativa, embora não dedutiva, não é circular.)No entanto, a impressão de que G (n) provavelmente será delimitada abaixo por alguma função analítica crescente não se baseia na indução enumerativa per se; portanto, a justificativa, embora não dedutiva, não é circular.)

O resultado da discussão acima, embora baseado em um único estudo de caso, é que os matemáticos não devem - e em geral não dão peso à indução enumerativa per se na justificação de afirmações matemáticas. (Até que ponto a indução enumerativa desempenha um papel na descoberta de novas hipóteses, ou na escolha de quais problemas abertos os matemáticos decidem trabalhar, é uma questão separada que não foi abordada aqui.) Mais precisamente, a tese está em duas partes:

  1. A indução enumerativa não deve aumentar a confiança nas generalizações matemáticas universais (em um domínio infinito).
  2. Indução enumerativa não faz (em geral) matemáticos levam a ser mais confiante na verdade da conclusão de tais generalizações.

3.3 Provas de computador

Uma característica marcante do trabalho contemporâneo em matemática experimental é que ele é feito usando computadores. É essa dependência de peças eletrônicas complexas que torna o campo "experimental"? Se olharmos para o que é publicado em jornais, livros e conferências contemporâneos dedicados à matemática experimental, a impressão é que todos os itens estão intimamente ligados aos computadores. Por exemplo, não parece haver um único artigo publicado em mais de uma década de edições de Matemática Experimental que não envolvam o uso de computadores. E os tipos de exemplos que os matemáticos tendem a oferecer como paradigmas da matemática experimental? Aqui os dados são menos claros. Por um lado, uma pesquisa informal sugere que a maioria desses exemplos envolve o uso explícito de computadores. Por outro lado, não é incomum os matemáticos também citarem um ou mais exemplos históricos,bem antes da era do computador, para ilustrar o suposto pedigree da subdisciplina.

O maior desafio baseado na prática de equiparar a matemática experimental à matemática baseada em computador vem do que os matemáticos experimentais com estilo denominam a sua disciplina nascente. Pois quando os matemáticos refletem conscientemente sobre a noção de matemática experimental, eles tendem a rejeitar a afirmação de que o uso do computador é um recurso necessário. Por exemplo, os editores da revista Experimental Mathematics - em sua "declaração de filosofia" sobre o escopo e a natureza da revista - fazem as seguintes observações:

A palavra "experimental" é concebida de maneira ampla: muitos experimentos matemáticos hoje em dia são realizados em computadores, mas outros ainda são o resultado do trabalho com lápis e papel, e existem outras técnicas experimentais, como a construção de modelos físicos. ("Objetivos e escopo", matemática experimental - consulte outros recursos da Internet)

E aqui está outra passagem com um sabor semelhante do matemático Doron Zeilberger:

[A] matemática experimental de transição … foi perseguida por todos os grandes e menos grandes matemáticos ao longo dos séculos, usando lápis e papel. (Gallian e Pearson 2007, 14)

Parece justo dizer que amarrar a matemática experimental ao uso do computador se encaixa bem com o que os matemáticos experimentais contemporâneos fazem, mas não tão bem com o que eles dizem. [11]

Um segundo problema com a caracterização proposta é de natureza mais filosófica. Considere outro exemplo amplamente citado de matemática experimental que surge em conexão com a conjectura de Goldbach. Em abril de 2007, todos os números pares até 10 18 foram verificados em conformidade com o GC, e esse projeto (sob a direção de Oliveira e Silva) está em andamento. Essa tarefa de computação massiva é geralmente considerada um exemplo paradigmático da matemática experimental. E parece claro que os computadores estão desempenhando um papel essencial aqui: nenhum matemático, ou grupo de matemáticos, poderia esperar duplicar 10 18 cálculos manualmente.

No contexto atual, a questão central não é se a matemática baseada em computador é 'experimental', mas se é, pelo menos às vezes, não dedutiva. Em certo sentido, é claro, todos os cálculos individuais realizados por um computador são dedutivos, ou pelo menos são isomórficos às operações de um sistema formal puramente dedutivo. Quando um computador verifica uma instância do GC, essa verificação é completamente dedutiva. Podemos então separar duas questões distintas. Primeiramente, esses cálculos estão desempenhando um papel não dedutivo em algum argumento matemático maior? E, em segundo lugar, as crenças que formamos diretamente a partir dos resultados dos cálculos computacionais são dedutivas? A primeira dessas perguntas não liga nada específico aos computadores,e, portanto, volta ao assunto discutido na Seção 3 (B) acima sobre indução enumerativa. A segunda pergunta será examinada abaixo.

A discussão filosófica do status das provas de computador foi motivada em grande parte pela prova de Appel e Haken, baseada em computador, do Teorema das Quatro Cores, em 1976. Em seu (1979), Tymoczko argumenta de forma controversa que o conhecimento matemático baseado em provas de computador é essencialmente empírico em personagem. Isso ocorre porque essas provas não são a priori, não são certas, não são passíveis de exame e não são verificáveis por matemáticos humanos. Em todos esses aspectos, de acordo com Tymoczko, as provas de computador são diferentes das tradicionais provas de "lápis e papel". Em relação à topografia, Tymoczko escreve:

Uma prova é uma construção que pode ser examinada, revisada e verificada por um agente racional. Costumamos dizer que uma prova deve ser visível ou capaz de ser verificada manualmente. É uma exposição, uma derivação da conclusão, e não precisa de nada fora de si para ser convincente. O matemático examina a prova em sua totalidade e, assim, chega a conhecer a conclusão. (Tymoczko 1979, 59)

Suponha, por uma questão de argumento, que a prova de computador em questão é dedutivamente correta, mas também é insuperável no sentido acima. Nossa decisão de confiar na saída do computador aqui constitui um método não dedutivo? Uma maneira de ver esse tipo de exemplo é conduzir uma cunha entre um método dedutivo e nosso acesso não dedutivo aos resultados desse método. Compare, por exemplo, ser informado sobre um resultado matemático específico por um matemático especialista (com um bom histórico). Este é um 'método não dedutivo'? [12]

3.4 Provas probabilísticas

Existe um pequeno, mas crescente, subconjunto de métodos matemáticos que são essencialmente probabilísticos por natureza. No contexto da justificação, esses métodos não implicam dedutivamente sua conclusão, mas estabelecem que há uma alta probabilidade (muitas vezes precisamente especificável) de que a conclusão seja verdadeira. A discussão filosófica desses métodos começou com Fallis (1997, 2002), enquanto Berry (2019) é uma contribuição recente útil para o debate.

Um tipo de método probabilístico remonta à discussão anterior da matemática experimental, na medida em que envolve a realização de experimentos em um sentido bastante literal. A idéia é aproveitar o poder de processamento do DNA para criar efetivamente um computador massivamente paralelo para resolver certos problemas combinatórios intratáveis. O mais famoso deles é o problema do "Vendedor ambulante", que envolve determinar se existe alguma rota possível pelos nós de um gráfico conectado por setas unidirecionais que visitam cada nó exatamente uma vez. Adleman (1994) mostra como o problema pode ser codificado usando cadeias de DNA que podem então ser unidas e recombinadas usando diferentes reações químicas. A aparência de certas fitas de DNA mais longas no final do processo corresponde à descoberta de um caminho da solução através do gráfico. Considerações probabilísticas aparecem mais claramente no caso em que não são mais encontradas cadeias de DNA. Isso indica que não há caminho no gráfico, mas mesmo se o experimento for realizado corretamente, o suporte aqui fica aquém da certeza total. Pois há uma pequena chance de que exista uma solução, mas que ela não seja codificada por nenhuma fita de DNA no início do experimento.

Também existem métodos probabilísticos em matemática que não são experimentais no sentido acima. Por exemplo, existem propriedades de números compostos (ou seja, não primos) que podem ser mostrados como retidos em relação à metade dos números inferiores a um determinado número composto. Se vários números menores que N são selecionados aleatoriamente e nenhum deles mantém essa relação com N, então segue-se que N é quase certamente primo. O nível de probabilidade aqui pode ser calculado com precisão e pode ser tão alto quanto necessário, escolhendo mais números de 'testemunhas' para testar.

Observe que esses tipos de métodos probabilísticos contêm bastante raciocínio puramente dedutivo. De fato, no segundo exemplo, o fato de que a probabilidade de N ser primo é 0,99 é estabelecido puramente dedutivamente. No entanto, existe um consenso geral na comunidade matemática de que tais métodos não são substitutos aceitáveis da prova dedutiva da conclusão. Fallis (1997, 2002) argumenta que essa rejeição não é razoável porque qualquer propriedade de métodos probabilísticos que possa ser apontada como problemática é compartilhada por algumas provas que a comunidade matemática aceita. O foco de Fallis é estabelecer a verdade como o principal objetivo epistêmico da matemática. No entanto, parece plausível que uma das principais razões para a insatisfação dos matemáticos com os métodos probabilísticos seja que eles não explicam por que suas conclusões são verdadeiras. Além disso, Easwaran argumenta, contra Fallis, que existe uma propriedade, que ele chama de 'transferibilidade', que faltam provas probabilísticas e que há provas aceitáveis (Easwaran 2009; Jackson 2009). Fallis (2011) é uma resposta a algumas dessas objeções.

Por outro lado, pode haver casos em que a verdadeira verdade ou falsidade de uma alegação seja importante, mesmo na ausência de explicações complementares. Por exemplo, alguém poderia imaginar uma situação em que uma conjectura importante e interessante - digamos a Hipótese de Riemann - está sendo considerada, e um método probabilístico é usado para mostrar que algum número é muito provavelmente um contra-exemplo. É interessante especular qual seria a reação da comunidade matemática a essa situação. Trabalharia em tentar provar que o RH cessou? Continuaria até que uma prova dedutiva rigorosa do contra-exemplo seja construída?

4. Resumo / Conclusões

Não está claro por que se deve esperar que os vários métodos não dedutivos usados na matemática compartilhem quaisquer características substantivas que não sejam a não dedutividade. Filósofos que olham para o papel do raciocínio não dedutivo no contexto da descoberta costumam falar como se houvesse alguma unidade a ser encontrada (por exemplo, a legenda das Provas e refutações de Lakatos é "a lógica da descoberta matemática". que a variedade de métodos não dedutivos é diversa e heterogênea (compare a observação de Stanislaw Ulam de que "o estudo da física não linear é como o estudo da biologia não-elefante").

O trabalho dos filósofos contemporâneos da matemática continua a impulsionar o estudo de métodos matemáticos não dedutivos em novas direções. Uma área de interesse está nos 'tipos naturais matemáticos' e se essa noção pode ser usada para fundamentar o uso da analogia no raciocínio matemático (Corfield 2004 [Outros Recursos da Internet]). Outra área sendo investigada é o suposto papel dos princípios heurísticos na matemática. (Grande parte deste trabalho remonta a Pólya (1945).)

Uma questão de fundo em todos esses debates diz respeito à extensão em que cada método não dedutivo específico desempenha um papel essencial nas práticas justificativas da matemática. Essa questão surge no nível local e global. No nível local, um determinado raciocínio para justificar um determinado resultado pode ser inevitavelmente não dedutivo, mas o resultado também pode ser estabelecido por outro raciocínio puramente dedutivo. No nível global, pode ser que nossa única justificativa para certas afirmações matemáticas seja não dedutiva. A extensão em que nosso uso de métodos não dedutivos se deve a limitações na prática, e não a limitações em princípio, continua sendo um problema para uma investigação mais aprofundada.

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Outros recursos da Internet

  • Objetivos e escopo da revista Experimental Mathematics, fundada por David Epstein em 1992.
  • Filosofia da Matemática: Aspectos Sociológicos e Prática Matemática, Benedikt Löwe e Thomas Müller (coordenação).
  • Corfield, D., 2004, "Tipos Matemáticos, ou Ser Gentil com a Matemática", no PhilSci Archive, Universidade de Pittsburgh.

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