Origens Modernas Da Lógica Modal

Índice:

Origens Modernas Da Lógica Modal
Origens Modernas Da Lógica Modal

Vídeo: Origens Modernas Da Lógica Modal

Vídeo: Origens Modernas Da Lógica Modal
Vídeo: Documentário: A Alegria da Lógica - Lógica Clássica e Moderna - Aplicações da Lógica 2024, Março
Anonim

Navegação de entrada

  • Conteúdo da Entrada
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Pré-visualização do Friends PDF
  • Informações sobre autor e citação
  • De volta ao topo

Origens modernas da lógica modal

Publicado pela primeira vez em 2010-11-16; revisão substantiva Mon 8 de maio de 2017

A lógica modal pode ser vista amplamente como a lógica de diferentes tipos de modalidades, ou modos de verdade: alético ("necessariamente"), epistêmico ("sabe-se que"), deôntico ("deve ser o caso"), ou temporal ("tem sido o caso"), entre outros. Recursos lógicos comuns desses operadores justificam o rótulo comum. No sentido estrito, no entanto, o termo “lógica modal” é reservado para a lógica das modalidades aléticas, em oposição, por exemplo, à lógica temporal ou deôntica. Do ponto de vista meramente técnico, qualquer lógica com operadores não funcionais da verdade, incluindo lógica de primeira ordem, pode ser considerada uma lógica modal: nessa perspectiva, os quantificadores também podem ser considerados operadores modais (como em Montague 1960). No entanto, seguimos o entendimento tradicional das lógicas modais como não incluindo a lógica de primeira ordem completa. Nesta perspectiva, são os operadores modais que podem ser considerados quantificadores restritos, abrangendo entidades especiais, como mundos possíveis ou instantes temporais. Arthur Prior foi um dos primeiros filósofos / lógicos a enfatizar que o sistema modal S5 pode ser traduzido em um fragmento da lógica de primeira ordem, que ele chamou de "cálculo uniforme de predicado monádico de primeira ordem" (Prior e Fine 1977: 56). Monádico, já que nenhuma relação entre mundos precisa ser declarada para S5; e uniforme, pois apenas uma variável é necessária para quantificar mundos (instantes) quando ligados e para se referir ao estado privilegiado (o mundo real ou o tempo presente) quando livre (ver Prior e Fine, 1977). Com relação à questão técnica sobre quais características da teoria do modelo caracterizam as lógicas modais entendidas como fragmentos bem comportados da lógica de primeira ordem, veja Blackburn e “Modal Logic: A Semantic Perspective” de Blackburn e van Benthem (2007a).

O escopo desta entrada é o recente desenvolvimento histórico da lógica modal, estritamente entendido como a lógica da necessidade e da possibilidade, e particularmente o desenvolvimento histórico dos sistemas da lógica modal, tanto sintática quanto semanticamente, a partir do trabalho pioneiro de CI Lewis a partir de 1912, com os primeiros sistemas criados em 1918, para o trabalho de S. Kripke no início dos anos 1960. Nesse curto espaço de tempo de menos de cinquenta anos, a lógica modal floresceu filosoficamente e matematicamente. Matematicamente, diferentes sistemas modais foram desenvolvidos e os avanços na álgebra ajudaram a promover a teoria do modelo para esses sistemas. Isso culminou no desenvolvimento de uma semântica formal que estendeu à lógica modal as técnicas teóricas bem-sucedidas do modelo de primeira ordem, proporcionando resultados de completude e decidibilidade para muitos sistemas, mas não todos. Filosoficamente, a disponibilidade de diferentes sistemas e a adoção da semântica teórica do modelo de mundos possíveis foram naturalmente acompanhadas de reflexões sobre a natureza da possibilidade e necessidade, sobre tipos diferentes de necessidades, sobre o papel da semântica formal e sobre a natureza da os mundos possíveis, para citar apenas alguns. Em particular, a disponibilidade de diferentes sistemas traz à tona a questão filosófica de qual lógica modal é a correta, sob alguma interpretação pretendida dos operadores modais, por exemplo, como necessidade lógica ou metafísica. Questões relativas à interpretabilidade da lógica modal, especialmente lógica modal quantificada, foram insistentemente levantadas por Quine. Todas essas questões não são abordadas nesta entrada, que é principalmente dedicada ao desenvolvimento formal do assunto.a disponibilidade de diferentes sistemas e a adoção da semântica teórica do modelo de mundos possíveis foram naturalmente acompanhadas de reflexões sobre a natureza da possibilidade e necessidade, sobre tipos diferentes de necessidades, sobre o papel da semântica formal e sobre a natureza da possível mundos, para citar apenas alguns. Em particular, a disponibilidade de diferentes sistemas traz à tona a questão filosófica de qual lógica modal é a correta, sob alguma interpretação pretendida dos operadores modais, por exemplo, como necessidade lógica ou metafísica. Questões relativas à interpretabilidade da lógica modal, especialmente lógica modal quantificada, foram insistentemente levantadas por Quine. Todas essas questões não são abordadas nesta entrada, que é principalmente dedicada ao desenvolvimento formal do assunto.a disponibilidade de diferentes sistemas e a adoção da semântica teórica do modelo de mundos possíveis foram naturalmente acompanhadas de reflexões sobre a natureza da possibilidade e necessidade, sobre tipos diferentes de necessidades, sobre o papel da semântica formal e sobre a natureza da possível mundos, para citar apenas alguns. Em particular, a disponibilidade de diferentes sistemas traz à tona a questão filosófica de qual lógica modal é a correta, sob alguma interpretação pretendida dos operadores modais, por exemplo, como necessidade lógica ou metafísica. Questões relativas à interpretabilidade da lógica modal, especialmente lógica modal quantificada, foram insistentemente levantadas por Quine. Todas essas questões não são abordadas nesta entrada, que é principalmente dedicada ao desenvolvimento formal do assunto.

A lógica modal é um assunto rico e complexo. Esta entrada não apresenta uma pesquisa completa de todos os sistemas desenvolvidos e de todos os resultados teóricos do modelo comprovados no decorrer do tempo considerado. No entanto, oferece uma pesquisa significativa dos principais sistemas e visa ser útil para quem procura um esboço histórico do assunto que, mesmo que não seja abrangente, delineia os resultados teóricos mais interessantes do modelo e indica outras linhas de exploração. A útil divisão de Bull e Segerberg (1984: 3) das fontes originais da lógica modal em três tradições distintas - sintática, algébrica e teórica do modelo - é adotada. Para outras tradições menos influentes, consulte Bull e Segerberg (1984: 16). Veja também “Modal Logic and Philosophy” de Lindström e Segerberg (2007). O foco principal desta entrada é a lógica modal proposicional, enquanto apenas alguns aspectos particulares da semântica da lógica modal quantificada são discutidos. Para um tratamento mais detalhado da lógica modal quantificada, consulte a entrada do SEP sobre lógica modal. Com relação à notação da entrada, observe que (Rightarrow) é adotado no lugar do anzol de Lewis por implicação estrita e (Leftrightarrow) para equivalência estrita.

  • 1. A tradição sintática

    • 1.1 Os sistemas de Lewis
    • 1.2 Outros sistemas e axiomatizações alternativas dos sistemas de Lewis
  • 2. O método matricial e alguns resultados algébricos
  • 3. A tradição teórica modelo

    • 3.1 Carnap
    • 3.2 Semântica dos mundos possíveis de Kripke
  • Bibliografia

    • Textos Introdutórios
    • Literatura Primária
    • Literatura Secundária
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. A tradição sintática

Em um artigo pioneiro de 1912 na Mente "Implicação e a álgebra da lógica", CI Lewis começou a expressar suas preocupações sobre os chamados "paradoxos da implicação material". Lewis ressalta que no Principia Mathematica de Russell e Whitehead encontramos dois "teoremas surpreendentes: (1) uma proposição falsa implica qualquer proposição e (2) uma proposição verdadeira é implícita em qualquer proposição" (1912: 522). Em símbolos:

(tag {1} neg p / rightarrow (p / rightarrow q))

e

(tag {2} p / rightarrow (q / rightarrow p))

Lewis não tem objeção a esses teoremas por si só:

Em si mesmas, não são ditos misteriosos, nem grandes descobertas, nem absurdos grosseiros. Eles exibem apenas, em linhas gerais, o significado de "implica" que foi incorporado à álgebra. (1912: 522)

No entanto, os teoremas são inadequados em relação ao significado pretendido de “implicação” e aos nossos reais modos de inferência que o significado pretendido tenta capturar. Portanto, Lewis tem em mente um significado pretendido para o conectivo condicional (rightarrow) ou (supset), e esse é o significado da palavra em inglês "implica". O significado de "implica" é o de "inferência e prova comuns" (1912: 531), segundo as quais uma proposição implica outra proposição se a segunda puder ser logicamente deduzida da primeira. Dada essa interpretação, (1) e (2) não devem ser teoremas, e a lógica proposicional pode ser considerada não-adequada em relação à leitura de (rightarrow) como implicação lógica. Considere (2) por exemplo:da pura verdade de uma proposição (p), não segue (logicamente) que (p) segue logicamente de qualquer proposição que seja. Além disso, dada a leitura estrita pretendida de (rightarrow) como implicação lógica e a equivalência de ((neg p / rightarrow q)) e ((p / vee q)), Lewis infere essa disjunção também deve ser dado um novo sentido intensional, de acordo com o qual ((p / vee q)) vale apenas se (p) não fosse o caso, teria que ser o caso (q).

Considerações desse tipo, baseadas na distinção entre leituras extensional e intensional dos conectivos, não eram originais de Lewis. Já em 1880, Hugh MacColl, no primeiro de uma série de oito artigos sobre Raciocínio Simbólico publicado em Mind, afirmou que ((p / rightarrow q)) e ((neg p / vee q)) não são equivalentes: ((neg p / vee q)) segue de ((p / rightarrow q)), mas não vice-versa (MacColl 1880: 54). Este é o caso porque MacColl interpreta (vee) como disjunção extensional regular e (rightarrow) como implicação intensional, mas depois pela falsidade de (p) ou pela verdade de (q). não segue que (p) sem (q) é logicamente impossível. No segundo artigo da série, MacColl faz distinção entre certezas, possibilidades e declarações variáveis,e introduz letras gregas como índices para classificar proposições. Então (alpha ^ { varepsilon}) expressa que (alpha) é uma certeza, (alpha ^ { eta}) que (alpha) é uma impossibilidade e (alpha ^ { theta}) que (alpha) é uma variável, isto é, nem uma certeza nem uma impossibilidade (MacColl 1897: 496–7). Usando essa classificação tríplice de declarações, MacColl passa a distinguir entre implicações causais e implicações gerais. Uma implicação causal ocorre entre as declarações (alpha) e (beta) se sempre que (alpha) for verdadeiro (beta) for verdadeiro e (beta) não for uma certeza. Uma implicação geral ocorre entre (alpha) e (beta) sempre que (alpha) e não (- / beta) é impossível, portanto, em particular sempre que (alpha) é impossível. ou (beta) uma certeza (1897: 498). O uso de índices abriu a porta para a iteração de modalidades, e o início do terceiro artigo da série (MacColl 1900: 75–6) é dedicado a esclarecer o significado de declarações com índices iterados, incluindo (tau) pela verdade e (iota) pela negação. Por exemplo, (A ^ { eta / iota / varepsilon}) é lido como “É certo que é falso que A seja impossível” (observe que os índices são lidos da direita para a esquerda). Curiosamente, a revisão de Bertrand Russell de 1906 do livro Symbolic Logic e suas aplicações (1906) de MacColl revela que Russell não entendeu a idéia modal da variabilidade de uma proposição, portanto atribuiu erroneamente a MacColl uma confusão entre sentenças e proposições que permitiam a atribuição de variabilidade apenas sentenças cujo significado, portanto, o valor da verdade, não foi corrigido. Similarmente,certeza e impossibilidade são para propriedades materiais de Russell de funções proposicionais (verdadeiras de tudo ou de nada) e não propriedades modais de proposições. Pode-se dizer que o trabalho de MacColl chegou muito cedo e caiu em ouvidos surdos. De fato, Rescher relata a dificuldade declarada de Russell em entender o simbolismo de MacColl e, mais importante, argumenta que a visão de Russell da lógica teve um impacto negativo no desenvolvimento da lógica modal ("Bertrand Russell e Modal Logic" em Rescher 1974: 85–96). Apesar do trabalho anterior de MacColl, Lewis pode ser considerado o pai da tradição sintática, não apenas por sua influência em lógicos posteriores, mas principalmente por sua introdução de vários sistemas que contêm os novos conectivos intensionais.

1.1 Os sistemas de Lewis

Em "The Calculus of Strict Implication" (1914), Lewis sugere duas alternativas possíveis ao sistema extensional de Whitehead e Principia Mathematica de Russell. Uma maneira de introduzir um sistema de implicação estrita consiste em eliminar do sistema os teoremas que, como (1) e (2) acima, são verdadeiros apenas para a implicação material, mas não para a implicação estrita, obtendo, assim, um sistema de som tanto para o material quanto para o material. implicação estrita, mas em nenhum dos casos completa. A segunda alternativa, mais produtiva, consiste em introduzir um novo sistema de implicação estrita, ainda modelado no sistema de implicação material de Whitehead e Russell, que conterá (toda ou parte da) lógica proposicional extensional como uma parte apropriada, mas aspirando à perfeição pelo menos por implicação estrita. Esta segunda opção é desenvolvida em A Survey of Symbolic Logic (1918). Lá, Lewis introduz um primeiro sistema destinado a capturar o senso comum e estrito de implicação, guiado pela idéia de que:

A menos que "implique" tenha algum significado "apropriado", não há critério de validade, nem possibilidade de discutir a questão de saber se existe ou não. E, no entanto, a pergunta Qual é o significado "apropriado" de "implica"? permanece peculiarmente difícil. (1918: 325)

O sistema de 1918 toma como primitiva a noção de impossibilidade ((neg / Diamond)), define o operador de implicação estrita em seus termos e ainda emprega um operador de disjunção intensional. Entretanto, Post provará que esse sistema leva ao colapso da necessidade da verdade - alternativamente, da impossibilidade da falsidade - já que a partir de um de seus teoremas (((p / Rightarrow q) Leftrightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))) pode ser provado que ((neg p / Leftrightarrow / neg / Diamond p)). Em 1920, “Implicação Estrita - Uma Emenda”, Lewis corrige o sistema substituindo o axioma antigo pelo mais fraco: ((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p))). Finalmente, no apêndice II do volume Symbolic Logic de Lewis e Langford (1932:492–502) “A estrutura do sistema de implicações estritas” ao sistema de 1918 recebe uma nova base axiomática.

No apêndice CI de 1932, Lewis introduz cinco sistemas diferentes. O símbolo primitivo modal agora é o operador da possibilidade (Diamond), implicação estrita ((p / Rightarrow q)) é definido como (neg / Diamond (p / wedge / neg q)) e (vee) é uma disjunção extensional comum. O operador de necessidade (Box) também pode ser introduzido e definido, embora Lewis não, da maneira usual como (neg / Diamond / neg).

Onde (p, q) e (r) são variáveis proposicionais, o Sistema S1 possui os seguintes axiomas:

Axiomas para S1

(begin {align}} tag {B1} (p / wedge q) & / Rightarrow (q / wedge p) / \ tag {B2} (p / wedge q) & / Rightarrow p \\ / tag {B3 } p & / Rightarrow (p / cunha p) / \ tag {B4} ((p / cunha q) cunha r) & / Rightarrow (p / cunha (q / cunha r)) / \ tag {B5} p & / Rightarrow / neg / neg p \\ / tag {B6} ((p / Rightarrow q) wedge (q / Rightarrow r)) & / Rightarrow (p / Rightarrow r) / \ tag {B7} (p / wedge (p / Rightarrow q)) e / Rightarrow q \\ / end {align})

O axioma B5 foi provado redundante por McKinsey (1934) e, portanto, pode ser ignorado.

As regras são (1932: 125–6):

Regras para S1

Substituição uniforme

Uma fórmula válida permanece válida se uma fórmula for substituída uniformemente por uma variável proposicional.

Substituição de equivalentes estritos

Qualquer uma das duas fórmulas estritamente equivalentes pode ser substituída uma pela outra.

Adjunção

Se (Phi) e (Psi) foram inferidos, então (Phi / wedge / Psi) pode ser inferido.

Inferência estrita

Se (Phi) e (Phi / Rightarrow / Psi) foram inferidos, então (Psi) pode ser inferido.

O Sistema S2 é obtido do Sistema S1 adicionando o que Lewis chama de "postulado da consistência", pois obviamente é válido para (Diamond) interpretado como consistência:

(tag {B8} Diamante (p / cunha q) Rightarrow / Diamante p)

O sistema S3 é obtido do sistema S1 adicionando o axioma:

(tag {A8} ((p / Rightarrow q) Rightarrow (neg / Diamond q / Rightarrow / neg / Diamond p)))

O sistema S3 corresponde ao sistema de 1918 do A Survey, que Lewis considerou originalmente o sistema correto para implicações estritas. Em 1932, Lewis passou a preferir o sistema S2. A razão, conforme relatado em Lewis 1932: 496, é que Wajsberg e Parry derivaram no sistema S3 - em sua axiomatização de 1918 - o seguinte teorema:

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)),)

que, segundo Lewis, não deve ser considerado como um princípio válido de dedução. Em 1932, Lewis não tem certeza de que o teorema questionável não seja derivável em S2. Se assim fosse, ele julgaria S1 como o sistema adequado para implicações estritas. Contudo, Parry (1934) provará mais tarde que nem A8 nem

[(p / Rightarrow q) Rightarrow ((q / Rightarrow r) Rightarrow (p / Rightarrow r)))

pode ser derivado em S2.

Um axioma de existência adicional pode ser adicionado a todos esses sistemas:

(tag {B9} (existe p, q) (neg (p / Rightarrow q) wedge / neg (p / Rightarrow / neg q)))

A adição de B9 torna impossível interpretar (Rightarrow) como implicação material, uma vez que, no caso de implicação material, pode-se provar que, para quaisquer proposições (p) e (q, ((p / rightarrow q) vee (p / rightarrow / neg q))) (1932: 179). A partir de B9, Lewis passa a deduzir a existência de pelo menos quatro proposições logicamente distintas: uma verdadeira e necessária, uma verdadeira mas não necessária, uma falsa e impossível, uma falsa e impossível, uma falsa mas não impossível (1932: 184–9).

Seguindo Becker (1930), Lewis considera mais três axiomas:

Três axiomas adicionais

(begin {align} {tag} C10} neg / Diamond / neg / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / Diamond / neg / neg / Diamond / neg {c11} Diamond / \ Diamante / neg / Diamante p \\ / tag {C12} p & / Rightarrow / neg / Diamante / neg / Diamante p \\ / end {align})

O sistema S4 adiciona o axioma C10 à base de S1. O sistema S5 adiciona o axioma C11, ou alternativamente C10 e C12, à base de S1. Lewis conclui o Apêndice II, observando que o estudo da lógica é melhor atendido ao se concentrar em sistemas mais fracos que o S5 e não exclusivamente no S5.

Paradoxos de implicação estrita semelhantes aos da implicação material também surgem. Dado que a implicação estrita ((p / Rightarrow q)) é definida como (neg / Diamond (p / wedge / neg q)), segue-se que uma proposição impossível implica qualquer coisa e que uma proposição necessária está implícita por qualquer coisa. Lewis argumenta que é assim que deve ser. Como a impossibilidade é considerada impossibilidade lógica, isto é, em última análise, uma contradição, Lewis argumenta que, a partir de uma proposição impossível como ((p / wedge / neg p)), ambos (p) e (p) e (neg p). Segue. De (p) podemos derivar ((p / vee q)), para qualquer proposição (q). De (neg p) e ((p / vee q)), podemos derivar (q) (1932: 250). O argumento é controverso, uma vez que se pode pensar que o princípio ((p / rightarrow (p / vee q))) não deve ser um teorema de um sistema que visa expressar implicações comuns (ver, por exemplo, Nelson 1930: 447). Quaisquer que sejam os méritos desse argumento, aqueles que discordam de Lewis começaram a desenvolver uma lógica de vinculação baseada na suposição de que vinculação requer mais do que a estrita implicação de Lewis. Veja, por exemplo, Nelson 1930, Strawson 1948 e Bennett 1954. Veja também a entrada do SEP sobre lógica de relevância.

Observe que foi a busca de Lewis por um sistema capaz de expressar implicações estritas que fez Quine rejeitar sistemas modais com base em uma confusão de menção de uso, na medida em que tais sistemas foram formulados para expressar no nível de objeto noções teóricas ou semânticas à prova de provas, como consistência, implicação, derivabilidade e teoricidade (na verdade, sempre que (p / rightarrow q) é um teorema proposicional, sistema S1, e, portanto, todos os outros sistemas Lewis mais fortes também podem provar (p / Rightarrow q) (Parry 1939: 143)).

1.2 Outros sistemas e axiomatizações alternativas dos sistemas de Lewis

Gödel em “Uma interpretação do cálculo proposicional intuicionista” (1933) é o primeiro a propor uma axiomatização alternativa do sistema Lewis S4 que separa a base proposicional do sistema dos axiomas e regras modais. Gödel adiciona as seguintes regras e axiomas ao cálculo proposicional.

(begin {align *} tag {Necessidade} textrm {If} mvdash / alpha & / textrm {then} mvdash / Box / alpha, \\ / tag {Axiom K} mvdash / Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q), \\ / tag {Axiom T} mvdash / Caixa p & / rightarrow p / textrm {e} / \ tag {Axiom 4} mvdash / Caixa p & / rightarrow / Caixa / Caixa p. \\ / end {align *})

Inicialmente, Gödel emprega um operador (B) de probabilidade para traduzir os conectivos intuicionistas primitivos de Heyting e depois observa que, se substituirmos (B) por um operador necessário, obteremos o sistema S4. Gödel também afirma que uma fórmula (Box p / vee / Box q) não é possível em S4, a menos que (Box p) ou (Box q) seja possível, analogamente à disjunção intuicionista. A afirmação de Gödel será provada algebricamente por McKinsey e Tarski (1948). A nota curta de Gödel é importante para iniciar a frutuosa prática de axiomatizar sistemas modais que separam o cálculo proposicional da parte estritamente modal, mas também para conectar lógica intuicionista e modal.

Feys (1937) é o primeiro a propor o sistema T subtraindo o axioma 4 do sistema S4 de Gödel (ver também Feys 1965: 123-124). Em An Essay in Modal Logic (1951), von Wright discute as modalidades ética, epistêmica e deôntica e introduz o sistema M, que Sobociński (1953) provará ser equivalente ao sistema T de Feys. Von Wright (1951: 84-90) revela que o sistema de M contém de Lewis S2, que contém S1 -onde sistema S é dito para conter sistema S ' se todas as fórmulas demonstráveis em S' pode ser provada em S demasiado. System S3, uma extensão de S2, não está contida em H. M também não está contido em S3. Von Wright considera S3 de pouco interesse independente e não vê razão para adotar S3 em vez do S4 mais forte. Em geral, os sistemas de Lewis são numerados em ordem de força, com S1 o mais fraco e S5 o mais forte, sistemas mais fracos, sendo contidos nos sistemas mais fortes.

Lemmon (1957) também segue Gödel na axiomatização de sistemas modais em uma base de cálculo proposicional e apresenta uma axiomatização alternativa dos sistemas de Lewis. Onde PC é a base de cálculo proposicional, o PC pode ser caracterizado como as três regras a seguir (1957: 177):

Uma caracterização do cálculo proposicional PC

  • PCa Se (alpha) for uma tautologia, (mvdash / alpha)
  • Substituição de PCB por variáveis proposicionais
  • Destacamento de material para PC / Modus Ponens: se (alpha) e (alpha / rightarrow / beta) são tautologias, o mesmo ocorre com (beta)

Outras regras no sistema de Lemmon são:

  • (a) Se (mvdash / alpha) então (mvdash / Box / alpha) (Necessário)
  • (a ') Se (alpha) é uma tautologia ou axioma, então (mvdash / Box / alpha)
  • (b) Se (mvdash / Box (alpha / rightarrow / beta)) então (mvdash / Box (Box / alpha / rightarrow / Box / beta))
  • b) Substitutibilidade de equivalentes estritos.

Axiomas adicionais no sistema de Lemmon são:

(begin {align}} tag {1} Box (p / rightarrow q) & / rightarrow / Box (Box p / rightarrow / Box q) / \ tag {1 '} Box (p / rightarrow q) & / rightarrow (Box p / rightarrow / Box q) & / textrm {(Axiom K)} / \ tag {2} Box p & / rightarrow p & / textrm {(Axiom T)} / \ tag { 3} (Box (p / rightarrow q) wedge / Box (q / rightarrow r)) e / rightarrow / Box (p / rightarrow r) / \ end {align})

Usando as regras e axiomas acima, Lemmon define quatro sistemas. O sistema P1, que se provou equivalente ao sistema Lewis S1, emprega a base proposicional (PC), regras (a ') - necessidade de tautologias e axiomas - e (b') e axiomas (2) e (3). O sistema P2, equivalente a S2, emprega (PC), regras (a ') e (b) e axiomas (2) e (1'). O sistema P3, equivalente a S3, emprega (PC), regra (a ') e axiomas (2) e (1). O sistema P4, equivalente a S4, emprega (PC), regra (a) e axiomas (2) e (1). Na axiomatização de Lemmon, é fácil ver que o sistema S3 e von Wright M (Feys ' T) não está incluído um no outro, dada a regra mais forte de necessidade de M e o axioma mais forte de S3 (1) no lugar de (1') = K. Em geral, a axiomatização de Lemmon torna mais evidentes as distinções lógicas entre os diferentes sistemas de Lewis.

Lemmon considera também alguns sistemas mais fracos que o S1. De particular interesse é o sistema S0.5, que enfraquece S1 substituindo a regra (a ') pela regra mais fraca (a ″):

(a ″) Se (alpha) for uma tautologia, (mvdash / Box / alpha)

Lemmon interpreta o sistema S0.5 como uma metalógica formalizada do cálculo proposicional, onde (Box / alpha) é interpretado como "(alpha) é uma tautologia".

Chamamos de "normal" os sistemas que incluem PC, axioma K e a regra da necessidade. O sistema K é o menor sistema normal. Sistema T acrescenta axioma T para o sistema K. O sistema B (o sistema Brouwersche) acrescenta o axioma B

(mvdash p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(equivalente ao Becker C12)})

para o sistema de T. S4 acrescenta axioma 4 (equivalente a C10 de Becker) para o sistema T. S5 adiciona os axiomas B e 4 ou, alternativamente, o axioma E

(mvdash / Diamond p / Rightarrow / Box / Diamond p / quad / textrm {(equivalente a C11 de Becker)})

para o sistema de T. Os sistemas S1, S2 e S3 de Lewis não são normais, uma vez que não contêm a regra da Necessidade. Para o relacionamento entre esses (e outros) sistemas e as condições nas estruturas impostas pelos axiomas, consulte a entrada SEP sobre lógica modal.

Apenas algumas das muitas extensões dos sistemas de Lewis discutidas na literatura são mencionadas aqui. Alban (1943) introduziu o sistema S6 adicionando a S2 o axioma (mvdash / Diamond / Diamond p). Halldén (1950) chama S7 o sistema que adiciona o axioma (mvdash / Diamond / Diamond p) a S3, e S8 o sistema que estende S3 com a adição do axioma (mvdash / neg / Diamond / neg / Diamante / Diamante p). Enquanto a adição de um axioma de possibilidade universal (mvdash / Diamond p) seria inconsistente com todos os sistemas de Lewis, uma vez que todos eles contêm teoremas da forma (mvdash / Box p), sistemas S6, S7 e S8 são consistentes. Em vez disso, a adição de um desses axiomas ao S4 e também a S5 resulta em um sistema inconsistente, dado que em S4 (mvdash / Diamond / Diamond p / Rightarrow / Diamond p). Halldén também provou que uma fórmula é um teorema de S3 se, e somente se, é um teorema de S4 e S7 (1950: 231–232), portanto S4 e S7 são duas extensões alternativas de S3.

2. O método matricial e alguns resultados algébricos

Em “Comentários Filosóficos sobre Sistemas de Lógica Proposicional de Muitos Valores” (1930. Mas Łukasiewicz 1920 é uma versão polonesa preliminar das principais idéias deste artigo), Łukasiewicz diz:

Quando reconheci a incompatibilidade dos teoremas tradicionais sobre proposições modais em 1920, ocupei-me em estabelecer o sistema do cálculo proposicional "de dois valores" comum por meio do método da matriz. Fiquei satisfeito na época em que todas as teses do cálculo proposicional comum podiam ser provadas no pressuposto de que suas variáveis proposicionais poderiam assumir apenas dois valores, "0" ou "o falso" e "1" ou "o verdadeiro". (1970: 164)

Esta passagem ilustra bem como Łukasiewicz estava pensando em lógica no início dos anos 20. Primeiro, ele pensava em termos algébricos, e não sintaticamente, preocupando-se não tanto com a construção de novos sistemas, mas com a avaliação dos sistemas relativamente a conjuntos de valores. Em segundo lugar, ele estava introduzindo matrizes de três valores para dar espaço lógico à noção de proposições (eminentemente sobre contingentes futuros) que não são verdadeiras nem falsas, e que recebem o novo valor indeterminado ½. Ironicamente, trabalhos posteriores empregando seu método matricial original mostrarão que a esperança de tratar a lógica modal como um sistema de três valores não pode ser alcançada. Consulte também a entrada SEP na lógica de muitos valores.

Uma matriz para uma lógica proposicional L é dada por (i) um conjunto K de elementos, os valores de verdade, (ii) um subconjunto não vazio (D / subseteq K) dos valores de verdade designados e (iii) operações no conjunto K, ou seja, funções de (n) - tuplas de valores de verdade para valores de verdade, que correspondem aos conectivos de L. Uma matriz satisfaz uma fórmula A sob uma atribuição (sigma) de elementos de K para as variáveis de A se o valor de A sob (sigma) for um membro de D, ou seja, um valor designado. Uma matriz satisfaz uma fórmula se a satisfizer em todas as atribuições (sigma). Uma matriz para uma lógica modal M estende uma matriz para uma lógica proposicional adicionando uma função unária que corresponde ao conectivo (Diamond).

Matrizes são normalmente usadas para mostrar a independência dos axiomas de um sistema, bem como sua consistência. A consistência das duas fórmulas A e B é estabelecida por uma matriz que, sob uma atribuição (sigma), atribui a ambas as fórmulas os valores designados. A independência da fórmula B da fórmula A é estabelecida por uma matriz que (i) preserva a validade das regras do sistema e que (ii) sob uma interpretação (sigma) atribui a A, mas não a B, um valor designado. Parry (1939) usa o método matricial para mostrar que o número de modalidades dos sistemas S3 e S4 de Lewisé finito. Uma modalidade é uma função modal de uma variável que contém apenas os operadores (neg) e (Diamond). O grau de uma modalidade é dado pelo número de operadores (Diamond) contidos. Uma modalidade adequada é de grau superior a zero. As modalidades apropriadas podem ter quatro formas diferentes:

(begin {align} {tag} {1} neg / ldots / Diamond p \\ / tag {2} Diamond / ldots / Diamond p \\ / tag {3} neg / ldots / Diamond / neg p / \ / tag {4} Diamond / ldots / neg p. \\ / end {align})

As modalidades impróprias são (p) e (neg p) (1939: 144). Parry prova que S3 tem 42 modalidades distintas e que S4 tem 14 modalidades distintas. Já se sabia que o sistema S5 possui apenas 6 modalidades distintas, pois reduz todas as modalidades a modalidades de grau zero ou uma. Parry introduz o sistema S4.5 adicionando ao S4 o seguinte axioma:

(mvdash / neg / Diamante / neg / Diamante / neg / Diamante p / Rightarrow / neg / Diamante p.]

O sistema reduz o número de modalidades de S4 de 14 para 12 (ou 10 próprias). A adição do mesmo axioma ao sistema S3 de Lewis resulta em um sistema com 26 modalidades distintas. Além disso, se adicionarmos

(mvdash / neg / Diamante / neg / Diamante p / Rightarrow / neg / Diamante / neg / Diamante p)

para S3, obtemos um sistema distinto com 26 modalidades também intermediárias entre S3 e S4. Portanto, o número de modalidades não determina exclusivamente um sistema. Os sistemas S1 e S2, assim como T e B, têm um número infinito de modalidades (Burgess 2009, capítulo 3 sobre Modal Logic, discute os sistemas adicionais S4.2 e S4.3 e explica bem a redução de modalidades em diferentes sistemas).

Uma matriz característica para um sistema L é uma matriz que satisfaz todos e somente os teoremas de L. Uma matriz é finita se seu conjunto K de valores de verdade for finito. Uma matriz de característica finita produz um procedimento de decisão, em que um sistema é decidível se toda fórmula do sistema que não é um teorema for falsificada por alguma matriz finita (essa é a propriedade do modelo finito). No entanto, Dugundji (1940) mostra que nenhum de S1 - S5 tem uma matriz característica finita. Portanto, nenhum desses sistemas pode ser visto como uma lógica com valor (n) para um finito (n). Mais tarde, Scroggs (1951) provará que toda extensão adequada de S5 que preserva o desapego por implicação material e é fechada sob substituição tem uma matriz característica finita.

Apesar da falta de uma matriz característica finita, McKinsey (1941) mostra que os sistemas S2 e S4 são decidíveis. Para provar esses resultados, McKinsey introduz matrizes modais ((K, D, -, *, / times)), com (-), (*) e (times) correspondentes à negação, possibilidade e conjunção respectivamente. Uma matriz é normal se atender às seguintes condições:

  1. se (x / em D) e ((x / Rightarrow y) em D) e (y / em K), então (y / em D),
  2. se (x / em D) e (y / em D), então (x / vezes y / em D),
  3. se (x / em K) e (y / em K) e (x / Leftrightarrow y / em D), então (x = y).

Essas condições correspondem às regras de Lewis de inferência estrita, adjunção e substituição de equivalentes estritos. A estrutura da prova da McKinsey é a seguinte. A prova emprega três etapas. Primeiro, usando um método não publicado de Lindenbaum, explicado a ele por Tarski, que vale para sistemas que têm a regra de Substituição para variáveis proposicionais, McKinsey mostra que existe uma matriz característica S2 (M = (K, D, -, *, / times)) que não satisfaz a condição (iii) e, portanto, não é normal. M é uma matriz trivial cujo domínio é o conjunto de fórmulas do sistema, cujos elementos designados são os teoremas do sistema e cujas operações são os próprios conectivos. A matriz trivial M não satisfaz (iii) dado que para algumas fórmulas distintas A e B, (A / Leftrightarrow B) é um teorema S2. Segundo, McKinsey mostra como construir a partir de M uma matriz característica S2 normal, mas ainda infinita (M_1 = (K_1, D_1, -_1, * ^ 1, / times_1)), cujos elementos são classes de equivalência comprovadamente equivalentes fórmulas de S2, ou seja, das fórmulas A e B de modo que (A / Leftrightarrow B) seja um teorema de S2e cujas operações são revisadas em conformidade. Por exemplo, se (E (A)) é o conjunto de fórmulas comprovadamente equivalente a A e (E (A) em K_1), então (-_ 1 E (A) = E (-A) = E (neg A). M_1) satisfaz exatamente as fórmulas satisfeitas com M sem violar a condição (iii), portanto é uma matriz normal característica para S2 ((M_1) é a álgebra de Lindenbaum para S2) Finalmente, mostra-se que para toda fórmula A que não é um teorema de S2, existe uma matriz finita e normal (uma sub-álgebra de (M_1)) que a falsifica. Uma prova semelhante é dada para S4.

Uma matriz é um tipo especial de álgebra. Uma álgebra é uma matriz sem um conjunto D de elementos designados. Álgebras booleanas correspondem a matrizes para lógica proposicional. Segundo Bull e Segerberg (1984: 10), a generalização de matrizes para álgebras pode ter tido o efeito de incentivar o estudo dessas estruturas independentemente de suas conexões com sistemas lógicos e modais. O conjunto de elementos designados D de fato facilita uma definição de validade com relação à qual os teoremas de um sistema podem ser avaliados. Sem esse conjunto, o link mais óbvio para a lógica é cortado. Uma segunda generalização para classes de álgebras, ao invés de meramente para álgebras individuais, também foi crucial para o desenvolvimento matemático do assunto. Tarski é a figura imponente nesse desenvolvimento.

Jónsson e Tarski (1951 e 1952) introduzem a idéia geral de álgebras booleanas com operadores, ou seja, extensões de álgebras booleanas pela adição de operadores que correspondem aos conectivos modais. Eles provam um teorema de representação geral para álgebras booleanas com operadores que ampliam o resultado de Stone para álgebras booleanas (toda álgebra booleana pode ser representada como uma álgebra definida). Este trabalho de Jónsson e Tarski evoluiu do estudo puramente matemático de Tarski da álgebra de relações e não inclui nenhuma referência à lógica modal ou mesmo lógica em geral. O teorema de Jónsson e Tarski é um análogo algébrico (mais geral) dos resultados posteriores da completude semântica de Kripke, mas isso não foi realizado por algum tempo. Tarski não apenas desconhecia a conexão,mas parece que Kripke e Lemmon não haviam lido os jornais de Jónsson e Tarski na época em que fizeram seu trabalho modal no final dos anos cinquenta e sessenta, e Kripke afirma ter alcançado o mesmo resultado independentemente.

Lemmon (1966a e 1966b) adapta os métodos algébricos da McKinsey para provar resultados de decidibilidade e teoremas de representação para vários sistemas modais, incluindo T(embora aparentemente ignorando o trabalho de Jónsson e Tarski). Em particular, ele estende o método de McKinsey, introduzindo uma nova técnica para construir álgebras finitas de subconjuntos de uma estrutura de modelo Kripke (discutido na próxima seção desta entrada). Lemmon (1966b: 191) atribui a Dana Scott o principal resultado de seu segundo artigo de 1966. Este é um teorema da representação geral que prova que álgebras para sistemas modais podem ser representadas como álgebras com base no conjunto de potências do conjunto K nas estruturas correspondentes de Kripke. Como conseqüência, a integridade algébrica se traduz na integridade teórica do modelo de Kripke. Portanto, Lemmon elucida muito claramente a conexão entre os modelos de Kripke, cujos elementos são mundos e as álgebras correspondentes, cujos elementos são conjuntos de mundos que podem ser pensados como proposições,mostrando assim que os resultados teóricos algébricos e do modelo estão profundamente conectados. Kripke (1963a) já está explícito nessa conexão. Em The Lemmon Notes (1977), escrito em colaboração com Dana Scott e editado por Segerberg, a técnica de 1966 é transformada em um método teórico puramente modelo, que produz resultados de completude e decidibilidade para muitos sistemas de lógica modal da forma mais geral possível (1977: 29).

Veja também a entrada do SEP na álgebra da tradição lógica. Para uma introdução básica à álgebra da lógica modal, consulte Hughes e Cresswell 1968, capítulo 17 sobre “Álgebra booleana e lógica modal”. Para um tratamento mais abrangente, consulte o capítulo 5 de Blackburn, de Rijke e Venema 2001. Veja também Goldblatt 2003.

3. A tradição teórica modelo

3.1 Carnap

No início da década de 1940, o reconhecimento da natureza semântica da noção de verdade lógica levou Rudolf Carnap a uma explicação informal dessa noção em termos dos mundos possíveis leibnizianos. Ao mesmo tempo, ele reconheceu que os muitos avanços sintáticos na lógica modal a partir de 1918 ainda não eram acompanhados por considerações semânticas adequadas. Uma exceção notável foi a interpretação de Gödel da necessidade como provabilidade e a resultante preferência por S4. Carnap, em vez disso, pensava na necessidade como verdade lógica ou analiticidade. Considerações sobre as propriedades de sentenças logicamente verdadeiras o levaram a pensar em S5como o sistema certo para formalizar essa noção "informal". O trabalho de Carnap no início dos anos 40 seria então focado em (1) definir uma noção semântica formal de verdade L, capaz de representar as noções semânticas informais de verdade lógica, necessidade e analiticidade, ou seja, verdade apenas em virtude do significado (inicialmente, ele não fez distinção entre essas noções, mas claramente considerou a analiticidade como a ideia principal); e (2) fornecer uma semântica formal para S5 quantificado em termos da noção formal de verdade L com o objetivo de obter resultados sólidos e completos, ou seja, provar que todos os teoremas de S5 quantificado são verdadeiros L e que todos as verdades-L (expressáveis na linguagem do sistema) são teoremas do sistema.

A ideia de sistemas modais quantificados também ocorreu a Ruth Barcan. Em "Um cálculo funcional de primeira ordem baseado em implicações estritas" (1946a), ela adicionou quantificação ao sistema proposicional de Lewis S2; Carnap (1946) adicionou ao S5. Embora alguns pontos semânticos específicos sobre lógica modal quantificada sejam considerados, essa entrada não se concentra no desenvolvimento da lógica modal quantificada, mas no surgimento da semântica formal teórica do modelo para lógica modal, proposicional ou quantificada. Para um tratamento mais extenso da lógica modal quantificada, consulte a entrada do SEP sobre lógica modal.

Em "Modalidades e Quantificação" (1946) e em Significado e Necessidade (1947), Carnap interpreta o operador da linguagem de objetos da necessidade como expressando no nível do objeto a noção semântica da verdade lógica:

[A] idéia norteadora em nossas construções de sistemas de lógica modal é a seguinte: uma proposição (p) é logicamente necessária se, e somente se, uma frase que expressa (p) for logicamente verdadeira. Ou seja, o conceito modal da necessidade lógica de uma proposição e o conceito semântico da verdade lógica ou analiticidade de uma frase correspondem um ao outro. (1946: 34)

Carnap introduz o aparato de descrições de estado para definir a noção semântica formal de L-verdade. Essa noção formal deve então ser usada para fornecer uma semântica formal para S5.

Uma descrição de estado para uma linguagem L é uma classe de sentenças de L, de modo que, para cada sentença atômica (p) de L, seja (p) ou (neg p), mas não ambas, seja contido na classe. Uma sentença atômica contém uma descrição de estado R se e somente se pertencer a R. Uma sentença (neg A) (onde A não precisa ser atômica) permanece em R se e somente se A não se mantém em R; ((A / cunha B)) se mantém em R se e somente se A e B se mantêm em R, e assim por diante para os outros conectivos da maneira indutiva usual; ((forall x) Fx) mantém em R se e somente se todas as instâncias de substituição de (Fx) mantêm em R. O intervalo de uma frase é a classe de descrições de estado em que ela se mantém. A noção de validade de Carnap ou L-verdade é uma noção máxima, ou seja, Carnap define uma sentença como válida ou L-verdadeira se e somente se estiver presente em todas as descrições de estado. Em trabalhos posteriores, Carnap adota modelos no lugar de descrições de estado. Modelos são atribuições de valores para as constantes não lógicas primitivas da linguagem. No caso de Carnap, as constantes predicadas são as únicas constantes primitivas às quais os modelos atribuem valores, uma vez que as constantes individuais recebem uma interpretação pré-modelo fixa e as atribuições de valor às variáveis são feitas independentemente dos modelos (1963a).

É importante notar que a definição de L-verdade não emprega a noção de verdade, mas apenas a de manter-em-um-estado-descrição. A verdade é introduzida mais tarde como o que se encontra na descrição do estado real. Para ser uma representação formal adequada da analiticidade, a verdade deve respeitar a idéia básica por trás da analiticidade: a verdade apenas em virtude do significado. De fato, as verdades-L de um sistema S são tais que as regras semânticas de S são suficientes para estabelecer sua verdade. Informalmente, as descrições de estado representam algo como mundos possíveis leibnizianos ou possíveis estados de coisas wittgensteinianos, e o leque de descrições de estados para uma determinada língua deve esgotar o leque de possibilidades alternativas descritas nessa linguagem.

Com relação às sentenças modais, o Carnap adota as seguintes convenções (usamos (Box) no lugar do operador N do Carnap por necessidade lógica). Seja S um sistema:

  1. Uma sentença (Caixa A) é verdadeira em S se e somente se (A) for L-verdadeira em S (então uma sentença (Caixa A) é verdadeira em S se e somente se (A) mantém em todas as descrições de estado de S);
  2. Uma sentença (Caixa A) é L-verdadeira em S se e somente se (Caixa A) for verdadeira em S (então todas as descrições de estado concordam em sua avaliação de sentenças modais).

Da qual se segue que:

(Caixa A) é L-verdadeiro em S se e somente se (A) for L-verdadeiro em S

As convenções de Carnap também se aplicam se substituirmos “verdade em uma descrição estatal de S” por “verdade em S”.

Carnap assume um domínio fixo de quantificação para seu sistema quantificado, o cálculo funcional com identidade FC e, conseqüentemente, para o cálculo funcional modal com identidade MFC, uma forma quantificada de S5. A linguagem do FC contém inúmeras constantes individuais, o universo do discurso contém muitos indivíduos, cada constante recebe um indivíduo do domínio e duas constantes não recebem o mesmo indivíduo. Isso faz com que sentenças como (a = a) L-verdadeiro e sentenças como (a = b) L-falso (1946: 49). Em relação ao MFC, a fórmula de Barcan e seu inverso são ambos L-verdadeiro, isto é, (mvDash (forall x) Box Fx / leftrightarrow / Box (forall x) Fx.)

Esse resultado é garantido pela suposição de um domínio fixo de quantificação. Carnap prova que MFC é sólido, ou seja, todos os seus teoremas são verdadeiros L e levanta a questão da completude para FC e MFC. Gödel provou ser completo para o cálculo do predicado de primeira ordem com identidade, mas a noção de validade empregada era verdadeira em todos os domínios não-vazios da quantificação, incluindo domínios finitos. Carnap adota um domínio denumerável único de quantificação. A adoção de um domínio denumerável fixo de indivíduos gera algumas validades adicionais já no nível pré-modal que comprometem a integridade, por exemplo: "Existem pelo menos dois indivíduos", ((existe x) (existe y) (x / ne y)), é válido (1946: 53).

Uma conseqüência das definições de descrições de estado para uma linguagem e verdade L é que cada sentença atômica e sua negação se tornam verdadeiras em algumas, mas não todas, descrições de estado. Portanto, se (p) é atômico, tanto (Diamond p) quanto (Diamond / neg p) são L-verdadeiros. Portanto, a regra de Lewis de Substituição Uniforme falha (se (p / wedge / neg p) é substituído por (p) em (Diamond p) derivamos (Diamond (p / wedge / neg p)), que é L-falso, não L-verdadeiro). Isso é observado por Makinson (1966a), que argumenta que o que deve ser feito é restabelecer a substituibilidade e revisar a noção ingênua de validade de Carnap (como necessidade lógica) em favor de uma noção quineana esquemática ( Uma verdade lógica … é definível como uma frase a partir da qual só obtemos verdades quando substituímos frases por frases simples”Quine 1970:50) que não tornará sentenças como (Diamond p) válidas. No entanto, Carnap comprova a solidez e completude das proposições S5, que ele chama de “ MPC ” para cálculo proposicional modal, seguindo Wajsberg. A prova, no entanto, efetivamente emprega uma noção esquemática de validade.

Foi provado que a noção de validade máxima de Carnap torna impossível a completude para S5 quantificado, ou seja, que existem verdades L que não são teoremas do MFC de Carnap. Seja (A) uma sentença não modal do MFC. Pela convenção (1), (Caixa A) é verdadeira no MFC se e somente se (A) for L-verdadeira no MFC. Mas (A) também é uma sentença de FC, portanto, se L-verdadeiro no MFC também é L-verdadeiro no FC, uma vez que as descrições de estado (modelos) da lógica funcional modal são as mesmas da lógica funcional (1946: 54). Isso significa que as descrições de estado têm o papel triplo de (i) modelos de primeira ordem de FCdefinindo, assim, a validade de primeira ordem, (ii) os mundos para o MFC, definindo a verdade para as sentenças (Box A) do MFC e (iii) os modelos do MFC, definindo a validade para o MFC. O núcleo do argumento da incompletude consiste no fato de que a não validade de uma sentença de primeira ordem (A) pode ser representada na linguagem modal como (neg / Caixa A), mas todos os modelos concordam com a avaliação de sentenças modais, tornando (neg / Box A) válido. Grosso modo, e deixando de lado as complicações criadas pelo fato de a semântica de Carnap ter apenas domínios denumeráveis, se (A) é uma sentença de FC de primeira ordem não válida., (A) é verdadeiro em alguns, mas não em todos os modelos ou descrições de estado. Dadas as convenções de Carnap, segue-se que (neg / Box A) é verdadeiro no MFC. Mas então (neg / Box A) é L-verdadeiro no MFC, ou seja, no MFC (mvDash / neg / Box A). Dado que as frases de primeira ordem não válidas não são recursivamente enumeráveis, nem as validades para o sistema modal MFC. Mas a classe de teoremas do MFC é recursivamente enumerável. Portanto, o MFC é incompleto em relação à validade máxima do Carnap. Cocchiarella (1975b) atribui o resultado a Richard Montague e Donald Kalish. Veja também Lindström 2001: 209 e Kaplan 1986: 275–276.

3.2 Semântica dos mundos possíveis de Kripke

A semântica de Carnap é de fato um precursor da Semântica dos Mundos Possíveis (PWS). No entanto, alguns ingredientes cruciais ainda estão faltando. Primeiro, a noção máxima de validade deve ser substituída por uma nova noção universal. Segundo, as descrições de estado devem abrir espaço para mundos possíveis entendidos como índices ou pontos de avaliação. Por fim, é necessário introduzir uma relação de acessibilidade entre mundos. Embora Kripke não seja o único lógico nos anos cinquenta e no início dos anos sessenta a trabalhar nessas idéias, é na versão do PWS de Kripke que todas essas inovações estão presentes. Kanger (1957), Montague (1960, mas originalmente apresentado em 1955), Hintikka (1961) e Prior (1957) estavam todos pensando em uma relação entre mundos, e Hintikka (1961) como Kripke (1959a) adotou uma nova noção de validade que exigia a verdade em todos os conjuntos arbitrários de mundos. Mas Kripke foi o único a caracterizar os mundos como pontos simples de avaliação (em 1963a). Outros lógicos ainda pensavam nos mundos fundamentalmente como modelos de lógica de primeira ordem, embora talvez Prior em seu desenvolvimento da lógica temporal também estivesse se movendo em direção a uma caracterização mais abstrata dos instantes do tempo. A caracterização mais abstrata de Kripke dos mundos é crucial no fornecimento de um elo entre a semântica teórica do modelo e a álgebra da lógica modal. Kripke viu muito claramente essa conexão entre a álgebra e a semântica, e isso possibilitou a ele obter resultados teóricos e de completabilidade teórica do modelo para vários sistemas modais de maneira sistemática. Goldblatt (2003: seção 4.8) argumenta de forma convincente que a adoção de pontos de avaliação por Kripke nas estruturas do modelo é uma inovação particularmente crucial. Essa generalização abre as portas para diferentes desenvolvimentos futuros da teoria do modelo e torna possível fornecer teorias do modelo para lógicas intensivas em geral. Por esses motivos, nesta entrada, dedicamos mais atenção à versão do PWS da Kripke. Para um tratamento mais abrangente do desenvolvimento inicial do SPW, incluindo o final dos anos cinquenta,incluindo o final dos anos cinquenta trabalhar emincluindo o final dos anos cinquenta trabalhar em S5 do lógico francês Bayart, o leitor é referido a Goldblatt 2003. Sobre as diferenças entre a semântica de Kanger e a semântica padrão do PWS, veja Lindström 1996 e 1998.

1959a de Kripke, “Um Teorema da Completude na Lógica Modal”, contém um resultado de completude teórica do modelo para uma versão quantificada do S5 com identidade. No tratamento semântico de Kripke de S5 quantificado, que ele chama de S5 * (^ =), uma atribuição de valores a uma fórmula (A) em um domínio de indivíduos (D) atribui um membro de (D) a cada variável individual livre de (A), um valor de verdade (T) ou (F) para cada variável proposicional de (A) e um conjunto de (n) - tuplas de membros de (D) para cada (n) - coloque a variável predicada de (A) (o idioma do sistema não contém constantes não lógicas). Kripke define um modelo sobre um domínio não vazio (D) de indivíduos como um par ordenado ((G, K)), de modo que (G / em K, K) seja um subconjunto arbitrário de atribuições de valores para as fórmulas de S5 * (^ =), e todos (H / em K) concordam com as atribuições a variáveis individuais. Para cada (H / em K), o valor que (H) atribui a uma fórmula (B) é definido indutivamente. Variáveis proposicionais são atribuídas (T) ou (F) por hipótese. Se (B) for (P (x_1, / ldots, x_n)), (B) for atribuído (T) se e somente se (n) - tupla de elementos atribuídos a (x_1),…, (x_n) pertence ao conjunto de (n) - tuplas de indivíduos que (H) atribui a (P. H) atribuem (T) a (neg B) se e somente se atribuir (F) a (B. H) atribuir (T) a (B / wedge C) se e somente se atribuir (T) para (B) e para (C). Se (B) for (x = y), será atribuído (T) se e somente se (x) e (y) forem atribuídos o mesmo valor em (D). Se (B) for ((forall x) Fx), será atribuído (T) se e somente se (Fx) for atribuído (T) para todas as atribuições a (x).(Caixa B) é atribuído (T) se e somente se (B) for atribuído (T) por cada (H / em K).

A coisa mais importante a ser notada na teoria do modelo de 1959 é a definição de validade. Diz-se que uma fórmula (A) é válida em um modelo ((G, K)) em (D) se e somente se for atribuída (T) em (G) a ser válido em um domínio (D) se e somente se for válido em todos os modelos em (D) e ser universalmente válido se e somente se for válido em todos os domínios não vazios. Kripke diz:

Ao tentar construir uma definição de validade lógica universal, parece plausível supor não apenas que o universo do discurso possa conter um número arbitrário de elementos e que predicados possam receber interpretações dadas no mundo real, mas também que qualquer combinação de mundos possíveis podem estar associados ao mundo real em relação a algum grupo de predicados. Em outras palavras, é plausível supor que nenhuma restrição adicional seja necessária em (D, G) e (K), exceto no padrão que (D) não está vazio. Essa suposição leva diretamente à nossa definição de validade universal. (1959a: 3)

Essa nova noção universal de validade é muito mais geral do que a validade máxima de Carnap. Os elementos (H) de (K) ainda correspondem a modelos de primeira ordem, como as descrições de estado de Carnap, e em cada modelo de Kripke os elementos (H) de (K) recebem o mesmo domínio (D) dos indivíduos e as variáveis individuais têm uma atribuição fixa de modelo cruzado. Até agora, a única divergência significativa de Carnap é que diferentes modelos de Kripke podem ter domínios de cardinalidade diferente. Isso por si só é suficiente para reintroduzir a integridade da parte não modal do sistema. Mas o desenvolvimento mais significativo, e o que possibilita provar a integridade do sistema modal, é a definição de validade não como verdade em todos os mundos de uma estrutura máxima de mundos, mas como verdade em todos os subconjuntos da estrutura máxima.. A consideração de subconjuntos arbitrários de mundos possíveis torna possível que a teoria do modelo de Kripke desconecte a validade da necessidade. Embora as necessidades sejam relativas a um modelo, portanto, a um conjunto de mundos, as validades devem se estender a todos esses conjuntos. Isso permite a reintrodução da regra de substituição uniforme. Para ver isso intuitivamente em um caso simples, considere uma sentença atômica (p). A tabela de verdade clássica para (p) contém duas linhas, uma onde (p) é verdadeira e outra onde (p) é falsa. Cada linha é como um mundo possível, ou um elemento (H) de (K). Se considerarmos apenas essa tabela completa da verdade, consideraremos apenas modelos máximos que contêm dois mundos (não faz diferença qual mundo é real). Pela definição de verdade para uma fórmula (Caixa B, / Caixa p) é falsa em todos os mundos do modelo máximo,e (Diamond p) é verdadeiro em todos eles. Se validade é verdade em todos os mundos desse modelo máximo, como para Carnap, segue-se que (mvDash / Diamond p), mas em S5(nmvdash / Diamond p). Se, em vez disso, definirmos validade como Kripke, devemos considerar também os modelos não-máximos que contêm apenas um mundo, que são tabelas de verdade incompletas que cancelam algumas linhas. Portanto, existem mais dois modelos a serem levados em consideração: um que contém apenas um mundo (H = G) onde (p) é verdadeiro; portanto, é (Box p) e um que contém apenas um mundo (H = G) em que (p) é falso e (Box p), assim como (Diamond p). Graças a este último modelo (nmvDash / Diamond p). Observe que a inovação crucial é a definição de validade como verdade em todos os subconjuntos de mundos, não apenas no subconjunto máximo. O fato adicional de que a validade de um modelo é definida como verdade no mundo real do modelo - em oposição à verdade em todos os mundos do modelo - embora revele o fato de que Kripke não vinculou a noção de necessidade à noção de validade, é irrelevante para este resultado técnico.

A prova de completude de Kripke faz uso do método de Beth de quadros semânticos. Um quadro semântico é usado para testar se uma fórmula (B) é uma conseqüência semântica de algumas fórmulas (A_1, / ldots, A_n). O quadro assume que as fórmulas (A_1, / ldots, A_n) são verdadeiras e (B) são falsas e são construídas de acordo com as regras que seguem as definições dos conectivos lógicos. Por exemplo, se uma fórmula (neg A) estiver na coluna esquerda do quadro (onde as fórmulas verdadeiras estão listadas), (A) será colocada na coluna da direita (onde as fórmulas falsas estão listadas). Para lidar com fórmulas modais, é necessário considerar conjuntos de quadros, pois se (Caixa A) está na coluna direita de um quadro, um novo quadro auxiliar deve ser introduzido com (A) na coluna direita. Um quadro principal e seus quadros auxiliares formam um conjunto de quadros. Se uma fórmula (A / wedge B) estiver na coluna direita do quadro principal, o conjunto de quadros será dividido em dois novos conjuntos de quadros: um cujo quadro principal lista (A) na coluna da direita e outro cuja principais listas de quadros (B) na coluna da direita. Portanto, temos que considerar conjuntos alternativos de quadros. Um quadro semântico é fechado se e somente se todos os seus conjuntos alternativos estiverem fechados. Um conjunto de quadros é fechado se contiver um quadro (principal ou auxiliar) que atinja uma contradição na forma de (i) uma e a mesma fórmula (A) que aparece em ambas as colunas ou (ii) uma fórmula de identidade de a forma (a = a) no lado direito (isso é uma simplificação excessiva da definição de quadro fechado, mas não prejudicial para nossos propósitos). Simplificando demais, mais uma vez,a estrutura da prova de completude de Kripke consiste em provar que um quadro semântico usado para testar se uma fórmula (B) é uma conseqüência semântica das fórmulas (A_1, / ldots, A_n) é fechado se e somente (i) em S5 * (^ =) (A_1, / ldots, A_n / vdash B) e (ii) (A_1, / ldots, A_n / vDash B). Este último resultado é alcançado mostrando como criar modelos a partir de quadros semânticos. Como consequência de (i) e (ii), temos solidez e integridade para S5 * (^ =), ou seja: (A_1, / ldots, A_n / vdash B) se e somente se (A_1, / ldots, A_n / vDash B).

O artigo de 1959 contém também uma prova da contraparte modal do teorema de Löwenhein-Skolem para lógica de primeira ordem, segundo a qual se uma fórmula é satisfatória em um domínio não vazio, é satisfatória e, portanto, válida (verdadeira em (G)), em um modelo ((G, K)) em um domínio (D), em que (K) e (D) são finitos ou denumeráveis; e se uma fórmula é válida em todos os domínios finitos ou denumeráveis, é válida em todos os domínios.

A teoria da indecidibilidade da quantificação modal monádica de 1962, de Kripke, desenvolve um paralelo entre a lógica de primeira ordem com um predicado diádico e a lógica modal monádica de primeira ordem com apenas duas letras predicadas, para provar que esse fragmento da lógica modal de primeira ordem já é indecidível.

De grande importância é o artigo "Análise Semântica da Lógica Modal I" (Kripke 1963a), onde sistemas normais são tratados. É aqui que Kripke desenvolve completamente a analogia com os resultados algébricos de Jónsson e Tarski e prova a completude e a decidibilidade dos sistemas proposicionais T, S4, S5 e B(o sistema Brouwersche), que é introduzido aqui. Kripke afirma ter derivado por si próprio o principal teorema de “Álgebras booleanas com operadores” por um análogo algébrico de seus próprios métodos semânticos (69, nota 2). É neste artigo que duas generalizações cruciais da teoria do modelo são introduzidas. O primeiro é o novo entendimento dos elementos (H) de (K) como índices simples, não como atribuições de valores. Uma vez introduzida essa alteração, os modelos precisam ser complementados por uma função auxiliar (Phi) necessária para atribuir valores às variáveis proposicionais relativas aos mundos. Portanto, enquanto na teoria do modelo de 1959

não pode haver dois mundos nos quais o mesmo valor de verdade seja atribuído a cada fórmula atômica [que] seja conveniente talvez para S5, mas é bastante inconveniente quando tratamos os MPC normais em geral (1963a: 69)

agora podemos ter duplicatas do mundo. O que é mais importante sobre o desapego dos elementos de (K) da função de avaliação é que ele abre a porta para a consideração geral de quadros modais, conjuntos de mundos mais uma relação binária entre eles e a correspondência de tais quadros para sistemas modais. Assim, o segundo novo elemento do artigo, a introdução de uma relação (R) entre os elementos de (K), naturalmente acompanha o primeiro. Vamos enfatizar mais uma vez que a idéia de uma relação entre mundos não é nova para Kripke. Por exemplo, ele já está presente como uma relação de alternatividade em Montague 1960, Hintikka 1961 e Prior 1962, onde a idéia é atribuída a Peter Geach.

Em 1963, Kripke "faz várias perguntas sobre a relação (R)" (1963a: 70). Primeiro, ele mostra que toda fórmula satisfatória tem um modelo conectado, ou seja, um modelo baseado em uma estrutura de modelo ((G, K, R)) onde para todos (H / em K), (G / mathrel {R *} H), onde (R *) é a relação ancestral correspondente a (R). Portanto, apenas modelos conectados precisam ser considerados. Kripke mostra os resultados hoje conhecidos de que o axioma 4 corresponde à transitividade da relação (R), que o axioma (B) corresponde à simetria e que o axioma característico de S5 adicionado ao sistema T corresponde a (R) sendo uma relação de equivalência. Usando o método dos quadros, integridade para os sistemas proposicionais modais T, S4, S5, e B vis-à-vis a classe apropriada de modelos (estruturas reflexivas para T) é comprovada. A decidibilidade desses sistemas, incluindo o caso mais complexo de S4, também é comprovada. (Para um tratamento mais detalhado dos quadros, consulte a entrada SEP sobre lógica modal.)

No artigo de 1965 “Análise Semântica da Lógica Modal II”, Kripke estende a teoria do modelo para tratar sistemas modais não normais, incluindo os S2 e S3 de Lewis. Embora esses sistemas sejam considerados pouco naturais, sua teoria dos modelos é considerada elegante. Os resultados de completude e decidibilidade são comprovados em relação à classe apropriada de estruturas, incluindo a completude de S2 e S3 e a decidibilidade de S3. Para alcançar esses resultados, a teoria do modelo é estendida pela introdução de um novo elemento (N / subseteq K) nas estruturas do modelo ((G, K, R, N). N) é o subconjunto de mundos normais, isto é, mundos (H) tais que (H / mathrel {R} H). Outro aspecto interessante dos sistemas não-normais é que, nos resultados teóricos do modelo que pertencem a eles, (G) (o mundo real) desempenha um papel essencial, principalmente nas estruturas do modelo S2 e S3 que o mundo real precisa Seja normal. Em vez disso, a regra da necessidade que se aplica aos sistemas normais torna a escolha do modelo (G) teoricamente irrelevante.

Apesar do grande sucesso da teoria do modelo kripkiano, vale ressaltar que nem todas as lógicas modais estão completas. Para resultados incompletos, veja Makinson 1969, para um sistema mais fraco que S4; e Fine 1974, S. Thomason 1974, Goldblatt 1975 e van Benthem 1978, para sistemas entre S4 e S5. Algumas fórmulas modais impõem condições a quadros que não podem ser expressos em uma linguagem de primeira ordem; assim, mesmo a lógica modal proposicional é fundamentalmente de segunda ordem. Na medida em que a noção de validade em um quadro abstrai da função de interpretação, envolve implicitamente uma quantificação de ordem superior sobre proposições. Sobre a correspondência entre validade de quadro e lógica de segunda ordem e sobre os critérios teóricos do modelo que distinguem as sentenças modais de primeira ordem expressas daquelas essencialmente de segunda ordem, veja Blackburn e "Modal Logic: A Semantic Perspective" de Blackburn e van Benthem. (2007a).

Em 1963b, “Considerações Semânticas sobre Lógica Modal”, Kripke introduz uma nova generalização aos modelos de sistemas modais quantificados. Em 1959, um modelo foi definido em um domínio (D). Como resultado, todos os mundos em um modelo tinham a mesma cardinalidade. Em 1963b, os modelos não são dados em um domínio; portanto, mundos no mesmo modelo podem ser atribuídos a domínios diferentes por uma função (Psi) que atribui domínios aos elementos (H) de (K). Dada a variabilidade de domínios entre mundos, a Kripke agora pode construir contra-exemplos, tanto para a fórmula de Barcan

[(forall x) Caixa Fx / rightarrow / Caixa (forall x) Fx)

e seu inverso

(Caixa (forall x) Fx / rightarrow (forall x) Caixa Fx.)

A fórmula Barcan pode ser falsificada em estruturas com domínios em crescimento. Por exemplo, um modelo com dois mundos, (G) e um outro mundo possível (H), estendendo-o. O domínio de (G) é ({a }) e (Fa) é verdadeiro em (G). O domínio de (H) é o conjunto ({a, b }) e (Fa), mas não (Fb), é verdadeiro em (H). Neste modelo ((forall x) Box Fx) mas não (Box (forall x) Fx) é verdadeiro em (G). Para refutar o inverso da fórmula de Barcan, precisamos de modelos com domínios decrescentes. Por exemplo, um modelo com dois mundos (G) e (H), em que o domínio (G) é ({a, b }) e o domínio (H) é ({a }), com (Fa) e (Fb) verdadeiro em (G, Fa) verdadeiro em (H), mas (Fb) falso em (H). Esse modelo exige que atribuamos um valor de verdade à fórmula (Fb) no mundo (H) onde o indivíduo (b) não existe (não está no domínio de (H)). Kripke ressalta que, do ponto de vista teórico do modelo, essa é apenas uma escolha técnica.

Kripke reconstrói uma prova da fórmula inversa de Barcan em T quantificado e mostra que a prova passa apenas ao permitir a necessidade de uma frase contendo uma variável livre. Mas se as variáveis livres devem ser consideradas universalmente vinculadas, essa etapa é ilícita. Necessitar diretamente de uma fórmula aberta, sem primeiro fechá-la, equivale a assumir o que deve ser provado. Antes de 1956 contém uma prova da fórmula Barcan

(Diamante (existe x) Fx / rightarrow (existe x) Diamante Fx.)

Kripke não discute os detalhes da prova de Prior. A prova de Prior para a fórmula de Barcan adota as regras de Łukasiewicz para a introdução do quantificador existencial. A segunda dessas regras afirma que se (mvdash A / rightarrow B) então (mvdash A / rightarrow (existe x) B). Anterior usa a regra para derivar

(mvdash / Diamond Fx / rightarrow (existe x) Diamond Fx)

de

(mvdash / Diamond Fx / rightarrow / Diamond Fx.)

Este parece-nos ser o passo "ilegítimo" da prova, uma vez que

(Diamond Fx / rightarrow (existe x) Diamond Fx)

não se mantém em um modelo com dois mundos (G) e (H), em que o domínio de (G) é ({a }) e o domínio de (H) é ({a, b }) e onde (Fa) é falso em (G) e (H), mas (Fb) é verdadeiro em (H). Nesse modelo, (Diamond Fx) é verdadeiro, mas ((existe x) Diamond Fx) é falso em (G). Nesse contra-modelo (Diamond Fx) é confirmado em (G) pelo indivíduo (b) que não está no domínio de (G). Em geral, a regra de que se (mvdash A / rightarrow B) então (mvdash A / rightarrow (existe x) B) não preserva a validade se permitirmos que (Fx) seja verdadeiro em um mundo por um indivíduo que não existe lá. Concluímos que a regra deve ser rejeitada para preservar a solidez de S5 relativamente à suposição teórica deste modelo.

Bibliografia

Observe que a distinção na bibliografia entre textos introdutórios, literatura primária e secundária é parcialmente artificial.

Textos Introdutórios

  • Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke e Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107050884
  • Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: an Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Fitting, M. e Richard L. Mendelsohn, 1998, Lógica Modal de Primeira Ordem, Dordrecht: Kluver Academic Publishers.
  • Garson, James W., 2013, Modal Logic for Philosophers, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Hughes, GE e MJ Cresswell, 1968, Uma Introdução à Modal Logic, Londres: Methuen.
  • 1984, A Companion to Modal Logic, Londres: Methuen.
  • –––, 1996, Uma Nova Introdução à Modal Logic, Londres: Routledge.

Literatura Primária

  • Alban, MJ, 1943, “Independência dos símbolos primitivos do cálculo de proposições de Lewis”, Journal of Symbolic Logic, 8 (1): 25–26. doi: 10.2307 / 2267978
  • Anderson, Alan Ross, 1957, "Esquemas de axiomas independentes para M de Von Wright", Journal of Symbolic Logic, 22 (3): 241–244. doi: 10.2307 / 2963591
  • Barcan (Marcus), Ruth C., 1946a, “Um cálculo funcional de primeira ordem baseado em implicações estritas”, Journal of Symbolic Logic, 11 (1): 1–16. doi: 10.2307 / 2269159
  • –––, 1946b, “O Teorema da Dedução em um Cálculo Funcional de Primeira Ordem Baseado em Implicação Estrita”, Journal of Symbolic Logic, 11 (4): 115–118. doi: 10.2307 / 2268309
  • –––, 1947, “A Identidade dos Indivíduos em um Cálculo Funcional Estrito de Segunda Ordem”, Journal of Symbolic Logic, 12 (1): 12–15. doi: 10.2307 / 2267171
  • Bayart, Arnould, 1958, “Correção da lógica modal do premier e da segunda ordem S5”, Logique et Analyze, 1: 28–45.
  • –––, 1959, “Quase-ADEQUAÇÃO DA LÓGICA MODAL DA SEGUNDA ORDEM S5 E ADEQUAÇÃO DA LÓGICA MODAL DA PRIMEIRA ORDEM S5”, Logique et Analyze, 2: 99-121.
  • Becker, Oskar, 1930, “Zur Logik der Modalitäten”, Jahrbuch für Philosophie und Phänomenologische Forschung, 11: 497-548.
  • Bennett, Jonathan, 1954, “Meaning and Implication”, Mind, 63 (252): 451–463.
  • Bernays, Paul, 1926, “Axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls der Principia Mathematica”, Mathematische Zeitschrift, 25: 305–320.
  • –––, 1948, “Revisão das Modalidades e Quantificação” de Rudolf Carnap (1946)”, Journal of Symbolic Logic, 13 (4): 218-219. doi: 10.2307 / 2267149
  • –––, 1950, “Review of Rudolf Carnap's Meaning and Necessity”, Journal of Symbolic Logic, 14 (4): 237-241. doi: 10.2307 / 2269233
  • Bull, RA, 1964, “Uma nota sobre os cálculos modais S4.2 e S4.3”, Zeitschrift für Mathematische Logik e Grundlagen der Mathematik, 10 (4): 53–55. doi: 10.1002 / malq.19640100403
  • –––, 1965, “An Algebraic Study of Diodorean Modal Systems”, Journal of Symbolic Logic, 30 (1): 58–64. doi: 10.2307 / 2270582
  • –––, 1966, “Todas as extensões normais de S4.3 têm a propriedade de modelo finito”, Zeitschrift für Mathematische Logik e Grundlagen der Mathematik, 12: 341–344. doi: 10.1002 / malq.19660120129
  • –––, 1968, “Um Estudo Algébrico de Lógica Tensa com Tempo Linear”, Journal of Symbolic Logic, 33 (1): 27–38. doi: 10.2307 / 2270049
  • Carnap, Rudolf, 1946, “Modalities and Quantification”, Journal of Symbolic Logic, 11 (2): 33–64. doi: 10.2307 / 2268610
  • –––, 1947, Significado e Necessidade, Chicago: University of Chicago Press, 2 edição com suplementos, 1956.
  • –––, 1963a, “My Conception of the Logic of Modalities”, em Schlipp 1963: 889–900.
  • –––, 1963b, “My Conception of Semantics”, em Schlipp 1963: 900–905.
  • Dugundji, James, 1940, “Nota sobre uma propriedade de matrizes para o cálculo de proposições de Lewis e Langford”, Journal of Symbolic Logic, 5 (4): 150–151. doi: 10.2307 / 2268175
  • Dummett, MAE e EJ Lemmon, 1959, “Modal Logics between S4 and S5”, Zeitschrift für Mathematische Logik e Grundlagen der Mathematik, 5 (5): 250–264. doi: 10.1002 / malq.19590051405
  • Feys, Robert, 1937, "Les Logiques Nouvelles des Modalités", Revue Néoscolastique de Philosophie, 40 (56): 517-555.
  • –––, 1963, “Carnap on Modalities”, em Schlipp 1963: 283–297.
  • –––, 1965, Modal Logics, em Collection de Logique Mathématique (volume 4), J. Dopp (ed.), Louvain: E. Nauwelaerts.
  • Fine, Kit, 1974, “Uma Lógica Incompleta Contendo S4”, Theoria, 40 (1): 23–29. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1974.tb00076.x
  • Gödel, K., 1933, “Eine Interpretation des Intuitionistischen Aussagenkalküls”, Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums, 4: pp. 39–40. Tradução para o inglês “Uma interpretação do cálculo proposicional intuicionista”, com uma nota introdutória de AS Troelstra, em Kurt Gödel. Obras Coletadas, vol. 1: Publicações 1929-1936, S. Feferman, JW Dawson, SC Kleene, GH Moore, RM Solovay e J. van Heijenoort (orgs.), Oxford: Oxford University Press, 1986, pp. 296–303.
  • Goldblatt, RI, 1975, “Definibilidade de primeira ordem na lógica modal”, Journal of Symbolic Logic, 40 (1): 35–40. doi: 10.2307 / 2272267
  • Halldén, Sören, 1948, “Uma nota sobre os paradoxos da implicação estrita e o sistema S1 de Lewis”, Journal of Symbolic Logic, 13 (1): 138–139. doi: 10.2307 / 2267814
  • –––, 1950, “Resultados relativos ao problema de decisão dos cálculos de Lewis S3 e S6”, Journal of Symbolic Logic, 14 (4): 230–236. doi: 10.2307 / 2269232
  • –––, 1951, “Sobre a não-plenitude semântica de certos cálculos de Lewis”, Journal of Symbolic Logic, 16 (2): 127-129. doi: 10.2307 / 2266686
  • Hintikka, Jaakko, 1961, “Modalities and Quantification”, Theoria, 27 (3): 119–28. Versão expandida em Hintikka 1969: 57–70. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1961.tb00020.x
  • –––, 1963, “The Modes of Modality”, Acta Philosophica Fennica, 16: 65–81. Reimpresso em Hintikka 1969: 71–86.
  • –––, 1969, Models for Modalities, Dordrecht: D. Reidel.
  • Jónsson, Bjarni e Alfred Tarski, 1951, “Álgebras booleanas com operadores. Parte I”, American Journal of Mathematics, 73 (4): 891–939. doi: 10.2307 / 2372123
  • –––, 1952, “Álgebras booleanas com operadores. Parte II”, American Journal of Mathematics, 74 (1): 127-162. doi: 10.2307 / 2372074
  • Kanger, Stig, 1957, Provability in Logic, (Acta Universitatis Stockholmiensis, Stockholm Studies in Philosophy, Vol. 1), Stockholm: Almqvist e Wiksell.
  • Kripke, Saul A., 1959a, “Um Teorema da Completude na Lógica Modal”, Journal of Symbolic Logic, 24 (1): 1–14. doi: 10.2307 / 2964568
  • –––, 1959b, “Análise Semântica da Lógica Modal” (resumo da Vigésima Quarta Reunião Anual da Associação de Lógica Simbólica), Journal of Symbolic Logic, 24 (4): 323–324. doi: 10.1017 / S0022481200123321
  • –––, 1962, “The Undecidability of Monadic Modal Quantification Theory”, Zeitschrift für Mathematische Logik e Grundlagen der Mathematik, 8 (2): 113-116. doi: 10.1002 / malq.19620080204
  • –––, 1963a, “Análise Semântica da Lógica Modal I. Cálculos Proposicionais Modais Normais”, Zeitschrift für Mathematische Logik e Grundlagen der Mathematik, 9 (5–6): 67–96. doi: 10.1002 / malq.19630090502
  • –––, 1963b, “Considerações Semânticas sobre Lógica Modal”, Acta Philosophica Fennica, 16: 83–94.
  • –––, 1965, “Análise Semântica da Lógica Modal II. Cálculo proposicional modal não-normal”, no Simpósio sobre a teoria dos modelos, JW Addison, L. Henkin e A. Tarski (eds.), Amsterdã: Holanda do Norte, pp. 206-220.
  • –––, 1967a, “Review of EJ Lemmon 'Algebraic Semantics for Modal Logics I' (1966a)”, Mathematics Reviews, 34: 1021-1022.
  • –––, 1967b, “Review of EJ Lemmon 'Algebraic Semantics for Modal Logics II' (1966b)”, Mathematics Reviews, 34: 1022.
  • Lemmon, EJ, 1957, “New Foundations for Lewis Modal Systems”, Journal of Symbolic Logic, 22 (2): 176–186. doi: 0.2307 / 2964179
  • –––, 1966a, “Semântica Algébrica para Lógicas Modais I”, Journal of Symbolic Logic, 31 (1): 46–65. doi: 10.2307 / 2270619
  • –––, 1966b, “Semântica Algébrica para Modal Logics II”, Journal of Symbolic Logic, 31 (2): 191–218. doi: 10.2307 / 2269810
  • Lemon, EJ (com Dana Scott), 1977, The "Lemmon Notes". Uma Introdução à Lógica Modal (American Philosophical Quarterly Monograph Series, vol. 11), K. Segerberg (ed.), Oxford: Basil Blackwell.
  • Lewis, CI, 1912, “Implication and the Algebra of Logic”, Mind, 21 (84): 522-531. doi: 10.1093 / mente / XXI.84.522
  • –––, 1914, “The Calculus of Strict Implication”, Mente, 23 (1): 240-247. doi: 10.1093 / mind / XXIII.1.240
  • –––, 1918, Uma Pesquisa de Lógica Simbólica, Berkeley: University of California Press.
  • –––, 1920, “Implicação Estrita - Uma Emenda”, Journal of Philosophy, Psychology and Scientific Methods, 17 (11): 300–302. doi: 10.2307 / 2940598
  • Lewis, CI e CH Langford, 1932, Symbolic Logic, Londres: século. 2 nd edição de 1959, New York: Dover.
  • Łukasiewicz, janeiro de 1920, “O Logice Trójwartościowej”, Ruch Filozoficzny, 5: 170–171.
  • –––, 1930, “Philosophische Bemerkungen zu Mehrwertigen Systemen des Aussagenkalküls”, Comptes Rendus des Séances of the Society of the Social Society of Sciences et des Lettres de Varsovie, 23: 51–77. Traduzido e reimpresso em Łukasiewicz 1970: 153–178.
  • –––, 1970, Selected Works, L. Borkowski (ed.), Amsterdã: Holanda do Norte.
  • Łukasiewicz, Jan e Alfred Tarski, 1931, “Investigations in the Calculational Sentric”, em Alfred Tarski, 1956, Logic, Semantics, Metamathematics, Oxford: Clarendon Press, pp. 38–59.
  • MacColl, Hugh, 1880, “Symbolical Reasoning”, Mind, 5 (17): 45–60. doi: 10.1093 / mind / os-V.17.45
  • –––, 1897, “Raciocínio Simbólico (II)”, Mind, 6 (4): 493-510. doi: 10.1093 / mind / VI.4.493
  • –––, 1900, “Raciocínio Simbólico (III)”, Mind, 9 (36): 75–84. doi: 10.1093 / mente / IX.36.75
  • –––, 1906, Symbolic Logic e suas Aplicações, London: Longmans, Green e Co.
  • Makinson, David C., 1966a, “Quão significativos são os operadores modais?”, Australasian Journal of Philosophy, 44 (3): 331–337. doi: 10.1080 / 00048406612341161
  • –––, 1966b, “Sobre Alguns Teoremas da Completude na Lógica Modal”, Zeitschrift für Mathematische Logik e Grundlagen der Mathematik, 12: 379-384. doi: 10.1002 / malq.19660120131
  • –––, 1969, “Um cálculo modal normal entre T e S4 sem a propriedade do modelo finito”, Journal of Symbolic Logic, 34 (1): 35–38. doi: 10.2307 / 2270978
  • McKinsey, JCC, 1934, “Uma redução no número de postulados para o sistema de implicações estritas de CI Lewis”, Boletim da Sociedade Americana de Matemática (Nova Série), 40 (6): 425–427. doi: 10.1090 / S0002-9904-1934-05881-6
  • –––, 1941, “Uma Solução do Problema de Decisão para os Sistemas S2 e S4 de Lewis, com uma Aplicação à Topologia”, Journal of Symbolic Logic, 6 (4): 117–134. doi: 10.2307 / 2267105
  • –––, 1944, “Sobre o número de extensões completas dos sistemas de Lewis de cálculo sentencial”, Journal of Symbolic Logic, 9 (2): 42–45. doi: 10.2307 / 2268020
  • –––, 1945, “Sobre a Construção Sintática de Sistemas de Lógica Modal”, Journal of Symbolic Logic, 10 (3): 83–94. doi: 10.2307 / 2267027
  • McKinsey, JCC e Alfred Tarski, 1944, “The Algebra of Topology”, Annals of Mathematics, 45 (1): 141–191. doi: 10.2307 / 1969080
  • –––, 1946, “Sobre elementos fechados em álgebras de fechamento”, Annals of Mathematics, 47 (1): 122–162. doi: 10.2307 / 1969038
  • –––, 1948, “Alguns Teoremas sobre os Cálculos Sentimentais de Lewis e Heyting”, Journal of Symbolic Logic, 13 (1): 1–15. doi: 10.2307 / 2268135
  • Montague, Richard, 1960, “Necessidade lógica, necessidade física, ética e quantificadores”, Inquérito, 3 (1–4): 259–269. doi: 10.1080 / 00201746008601312
  • Nelson, Everett J., 1930, "Intensional Relations", Mind, 39 (156): 440–453. doi: 10.1093 / mind / XXXIX.156.440
  • Parry, William Tuthill, 1934, "Os Postulados para 'Implicação Rigorosa'", Mind, 43 (169): 78–80. doi: 10.1093 / mind / XLIII.169.78
  • –––, 1939, “Modalities in the Survey System of Strict Implication”, Journal of Symbolic Logic, 4 (4): 137–154. doi: 10.2307 / 2268714
  • Prior, Arthur N., 1955, Formal Logic, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1956, “Modalidade e Quantificação em S5”, Journal of Symbolic Logic, 21 (1): 60–62. doi: 10.2307 / 2268488
  • - 1957, Time and Modality, Oxford: Clarendon Press.
  • –––, 1962, “Worlds Possible”, Philosophical Quarterly, 12 (46): 36–43. doi: 10.2307 / 2216837
  • Antes, Arthur N. e Kit Fine, 1977, Worlds, Times and Selves, Amherst, MA: University of Massachusetts Press.
  • Quine, WV, 1947a, “O Problema da Interpretação da Lógica Modal”, Journal of Symbolic Logic, 12 (2): 43–48. doi: 10.2307 / 2267247
  • –––, 1947b, “Revisão do Teorema da Dedução em um Cálculo Funcional de Primeira Ordem Baseado em Implicação Estrita de Ruth C. Barcan (1946b)”, Journal of Symbolic Logic, 12 (3): 95-96. doi: 10.2307 / 2267230
  • –––, 1970, Philosophy of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Russell, Bertrand, 1906, “Review of Hugh MacColl Symbolic Logic e Suas Aplicações (1906)”, Mind, 15 (58): 255–260. doi: 10.1093 / mind / XV.58.255
  • Schlipp, Paul Arthur (ed.), 1963, The Philosophy of Rudolf Carnap (Biblioteca dos Filósofos Vivos: Volume 11), La Salle: Open Court.
  • Scroggs, Schiller Joe, 1951, “Extensões do Sistema Lewis S5”, Journal of Symbolic Logic, 16 (2): 112–120. doi: 10.2307 / 2266683
  • Segerberg, Krister, 1968, “Decidability of S4.1”, Theoria, 34 (1): 7–20. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1968.tb00335.x
  • –––, 1971, Ensaio de lógica modal clássica, 3 volumes (Filosofiska Studier, Vol. 13), Uppsala: Uppsala Universitet.
  • Simons, Leo, 1953, “New Axiomatizations of S3 and S4”, Journal of Symbolic Logic, 18 (4): 309-316. doi: 10.2307 / 2266554
  • Sobociński, Boleslaw, 1953, “Nota sobre um sistema modal de Feys-von Wright”, Journal of Computing Systems, 1 (3): 171–178.
  • –––, 1962, “Uma contribuição para a axiomatização do sistema S5 de Lewis”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 3 (1): 51–60. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093957059
  • Strawson, PF, 1948, “Propositions Necessary and Entailment-Statements”, Mind, 57 (226): 184–200. doi: 10.1093 / mind / LVII.226.184
  • Thomason, Richmond H., 1973, “Filosofia e Semântica Formal”, em Verdade, Sintaxe e Modalidade, Hugues Leblanc (ed.), Amsterdã: Holanda do Norte, pp. 294–307.
  • Thomason, Steven K., 1973, “Uma Nova Representação de S5”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 14 (2): 281–284. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093890907
  • –––, 1974, “Um Teorema da Incompletude na Lógica Modal”, Theoria, 40 (1): 30–34. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1974.tb00077.x
  • van Benthem, Johan, 1978, “Duas lógicas modais incompletas e simples”, Theoria, 44: 25–37. doi: 10.1111 / j.1755-2567.1978.tb00830.x
  • –––, 1984, “Semântica de mundos possíveis: um programa de pesquisa que não pode falhar?”, Studia Logica, 43: 379–393.
  • von Wright, GH, 1951, Um ensaio em lógica modal (Estudos em lógica e os fundamentos da matemática: Volume V), LEJ Brouwer, EW Beth e A. Heyting (eds.), Amsterdã: Holanda do Norte.
  • Whitehead, Alfred North e Bertrand Russell, 1910, Principia Mathematica (Volume I), Cambridge: Cambridge University Press.

Literatura Secundária

  • Ballarin, Roberta, 2005, “Validity and Necessity”, Journal of Philosophical Logic, 34 (3): 275–303. doi: 10.1007 / s10992-004-7800-2
  • Belnap, Nuel D., Jr., 1981, “Modal and Relevance Logics: 1977”, em Modern Logic: A Survey, Evandro Agazzi (ed.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 131–151. doi: 10.1007 / 978-94-009-9056-2_8
  • Blackburn, Patrick e Johan van Benthem, 2007a, “Modal Logic: A Semantic Perspective”, em Blackburn, van Benthem e Wolter 2007b: capítulo 1.
  • Blackburn, Patrick, Johan van Benthem e Frank Wolter, (eds.), 2007b, Handbook of Modal Logic (Estudos em Lógica e Raciocínio Prático: Volume 3), Amsterdã: Elsevier.
  • Bull, Robert e Krister Segerberg, 1984, “Basic Modal Logic”, em Extensões de Lógica Clássica (Manual de Lógica Filosófica: Volume 2), DM Gabbay e F. Guenthner (eds.), Dordrecht: Kluwer, pp. 1-88. doi: 10.1007 / 978-94-009-6259-0_1
  • Burgess, John P., 2009, Philosophical Logic, Princeton: Princeton University Press.
  • Cocchiarella, Nino B., 1975a, "Atomism lógico, nominalismo e lógica modal", Synthese, 31 (1): 23–62. doi: 10.1007 / BF00869470
  • –––, 1975b, “Sobre a Semântica Primária e Secundária da Necessidade Lógica”, Journal of Philosophical Logic, 4 (1): 13–27. doi: 10.1007 / BF00263118
  • Copeland, B. Jack, 2002, “A Gênese da Semântica dos Mundos Possíveis”, Journal of Philosophical Logic, 31 (2): 99–137. doi: 10.1023 / A: 1015273407895
  • Curley, EM, 1975, “O Desenvolvimento da Teoria da Implicação Estrita de Lewis”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 16 (4): 517-527. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093891890
  • Goldblatt, Robert, 2003, “Lógica Modal Matemática: Uma Visão de sua Evolução”, em Lógica e as Modalidades no Século XX (Manual da História da Lógica: Volume 7), DM Gabbay e J. Woods (eds.), Amsterdã: Elsevier, pp. 1-98. [2003, Journal of Applied Logic, 1 (5–6): 309–392. doi: 10.1016 / S1570-8683 (03) 00008-9]
  • Kaplan, David, 1966, “Revisão de Saul A. Kripke, Análise Semântica da Lógica Modal I. Cálculo Proposicional Modal Normal (1963a)”, Journal of Symbolic logic, 31 (1): 120–122. doi: 10.2307 / 2270649
  • –––, 1986, “Opacity”, em Lewis Edwin Hahn e Paul Arthur Schlipp (orgs.), The Philosophy of WV Quine (Biblioteca de Filósofos Vivos, Volume 18), La Salle: Open Court, pp. 229–289.
  • Lindström, Sten, 1996, “Modalidade sem mundos: a semântica inicial de Kanger para a lógica modal”, em Odds and Ends. Ensaios Filosóficos Dedicados a Wlodek Rabinowicz por ocasião de seu quinquagésimo aniversário, S. Lindström, R. Sliwinski e J. Österberg (eds.), Uppsala, Suécia, pp. 266–284.
  • –––, 1998, “Uma Exposição e Desenvolvimento das Primeiras Semânticas de Kanger para a Lógica Modal”, em The New Theory of Reference: Kripke, Marcus e suas Origens, PW Humphreys e JH Fetzer (eds.), Dordrecht: Kluwer, 203-233.
  • –––, 2001, “O Problema da Interpretação de Quine e o Desenvolvimento Precoce da Semântica de Mundos Possíveis”, Uppsala Philosophical Studies, 50: 187-213.
  • Lindström, Sten e Krister Segerberg, 2007, “Modal Logic and Philosophy”, em Blackburn, van Benthem e Wolter 2007b: capítulo 1.
  • Linsky, Leonard, (ed.), 1971, Reference and Modality, Oxford: Oxford University Press.
  • Löb, MH, 1966, “Interpretações Extensionais da Lógica Modal”, Journal of Symbolic Logic, 31 (1): 23–45. doi: 10.2307 / 2270618
  • Rahman, Shahid e Juan Redmond, 2007, Hugh MacColl: Uma visão geral de seu trabalho lógico com antologia, Londres: Publicações da faculdade.
  • Rescher, Nicholas, 1974, Estudos em Modalidade, Oxford: Basil Blackwell.
  • Zakharyaschev, Michael, Krister Segerberg, Maarten de Rijke e Heinrich Wansing, 2001, “The Origins of Modern Modal Logic”, em Avanços na lógica modal 2, M. Zakharyaschev, K. Segerberg, M. Segerberg, M. de Rijke e H. Wansing (eds.), Stanford: Publicações CSLI, pp. 11-38.

Ferramentas Acadêmicas

ícone de homem de sep
ícone de homem de sep
Como citar esta entrada.
ícone de homem de sep
ícone de homem de sep
Visualize a versão em PDF desta entrada nos Amigos da Sociedade SEP.
ícone inpho
ícone inpho
Consulte este tópico de entrada no Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ícone de papéis phil
ícone de papéis phil
Bibliografia aprimorada para esta entrada na PhilPapers, com links para o banco de dados.

Outros recursos da Internet

  • Conceitos Básicos em Lógica Modal, por Edward N. Zalta (notas do curso)
  • Modal Logic Handbook, de Blackburn, van Benthem e Wolter

Recomendado: