O Surgimento Da Lógica De Primeira Ordem

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O surgimento da lógica de primeira ordem

Publicado pela primeira vez sábado, 17 de novembro de 2018

Para quem estuda a lógica moderna, a lógica de primeira ordem pode parecer um objeto de estudo inteiramente natural, e sua descoberta inevitável. É semanticamente completo; é adequado à axiomatização de toda matemática comum; e o teorema de Lindström mostra que é a lógica máxima que satisfaz as propriedades de compacidade e Löwenheim-Skolem. Portanto, não surpreende que a lógica de primeira ordem tenha sido considerada a lógica "certa" para investigações sobre os fundamentos da matemática. Ele ocupa o lugar central nos modernos livros didáticos de lógica matemática, com outros sistemas relegados à margem. A história, no entanto, é tudo menos direta e certamente não é uma questão de descoberta repentina por um único pesquisador. A emergência está ligada a descobertas técnicas, a diferentes concepções do que constitui lógica,com diferentes programas de pesquisa matemática e com reflexão filosófica e conceitual. Portanto, se a lógica de primeira ordem é "natural", é natural apenas em retrospecto. A história é complexa e, em alguns momentos, contestada; a entrada a seguir pode fornecer apenas uma visão geral. Discussões sobre vários aspectos do desenvolvimento são fornecidas por Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, as notas para Hilbert [LFL] e o manual enciclopédico Gabbay & Woods 2009. Discussões sobre vários aspectos do desenvolvimento são fornecidas por Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, as notas para Hilbert [LFL] e o manual enciclopédico Gabbay & Woods 2009. Discussões sobre vários aspectos do desenvolvimento são fornecidas por Goldfarb 1979, Moore 1988, Eklund 1996, Brady 2000, Ferreirós 2001, Sieg 2009, Mancosu, Zach & Badesa 2010, Schiemer & Reck 2013, as notas para Hilbert [LFL] e o manual enciclopédico Gabbay & Woods 2009.

  • 1. George Boole
  • 2. Charles S. Peirce
  • 3. Gottlob Frege
  • 4. Ernst Schröder
  • 5. Giuseppe Peano
  • 6. Alfred North Whitehead e Bertrand Russell
  • 7. Leopold Löwenheim
  • 8. David Hilbert e Paul Bernays
  • 9. Thoralf Skolem
  • 10. Kurt Gödel
  • 11. Conclusões
  • Bibliografia
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  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. George Boole

O estudo moderno da lógica é comumente datado de 1847, com o aparecimento da Análise Matemática da Lógica de Boole. Este trabalho estabeleceu que a lógica silogística de Aristóteles pode ser traduzida em um cálculo algébrico, cujos símbolos Boole interpretaram como se referindo tanto a classes quanto a proposições. Seu sistema abrange o que hoje é chamado de lógica sentencial (ou booleana), mas também é capaz de expressar quantificações rudimentares. Por exemplo, a proposição “Todos os X s são Y s” é representada em seu sistema pela equação (xy = x), com a multiplicação sendo pensada como uma interseção de conjuntos ou como conjunção lógica. “Alguns X s são Y s” é mais difícil e sua expressão mais artificial. Boole introduz um conjunto (tácito: não vazio) V contendo os itens comuns a X e Y;a proposição é então escrita (xy = V) (1847: 21). O sistema de Boole, em termos modernos, pode ser visto como um fragmento da lógica monádica de primeira ordem. É de primeira ordem, porque seus recursos notacionais não podem expressar uma quantificação que varia sobre predicados. É monádico porque não possui notação para relações nárias. E é um fragmento porque não pode expressar quantificações aninhadas ("para toda garota existe um garoto que a ama"). Mas estas são as nossas categorias: não as de Boole. Seu sistema lógico não possui símbolos correspondentes aos quantificadores; portanto, mesmo chamá-lo de um sistema restrito de lógica quantificacional é anacrônico. É monádico porque não possui notação para relações nárias. E é um fragmento porque não pode expressar quantificações aninhadas ("para toda garota existe um garoto que a ama"). Mas estas são as nossas categorias: não as de Boole. Seu sistema lógico não possui símbolos correspondentes aos quantificadores; portanto, mesmo chamá-lo de um sistema restrito de lógica quantificacional é anacrônico. É monádico porque não possui notação para relações nárias. E é um fragmento porque não pode expressar quantificações aninhadas ("para toda garota existe um garoto que a ama"). Mas estas são as nossas categorias: não as de Boole. Seu sistema lógico não possui símbolos correspondentes aos quantificadores; portanto, mesmo chamá-lo de um sistema restrito de lógica quantificacional é anacrônico.

Os dois principais aprimoramentos do sistema de Boole que produziram uma lógica reconhecidamente moderna foram: (a) a introdução, além de predicados de um lugar ("x é mortal"), de relações de muitos lugares ("x é o irmão de y"; "X fica entre y e z"); e (b) a introdução de uma notação para quantificação universal e existencial.

Dois lógicos que trabalhavam na tradição booleana executaram essas etapas. O primeiro passo foi realizado parcialmente por Augustus De Morgan (em De Morgan, 1864). O segundo foi realizado por CS Peirce (em Peirce 1885). Trabalhando de maneira totalmente independente, Gottlob Frege executou os dois passos simultaneamente em seu Begriffsschrift de 1879. A história subsequente por várias décadas é uma estrutura ramificada, com numerosos pesquisadores trabalhando em diferentes tradições e apenas parcialmente conscientes das realizações uns dos outros.

2. Charles S. Peirce

Peirce trabalhou na tradição algébrica de Boole. Seus primeiros documentos lógicos apareceram em 1867; eles simplificam o sistema de Boole, reinterpretam união ou adição lógica (A + B) para que também se aplique quando A e B não são disjuntos, corrigem vários erros e exploram conexões entre lógica, aritmética e álgebra.

Três anos depois, em sua "Descrição de uma notação para a lógica dos parentes" (1870), Peirce produziu uma grande expansão do sistema de Boole. De Morgan havia apontado (De Morgan 1864) que a silogística aristotélica era incapaz de lidar com inferências como: "Se todo homem é um animal, toda cabeça de um homem é uma cabeça de um animal". De Morgan introduziu uma lógica de relações, definiu o inverso e o contrário de uma relação e, para relações como "X é um amante de Y" e "Z é um servo de W", exploraram essas composições de relações como "X é o amante de um servo de y". Este trabalho expandiu com sucesso a lógica silogística aristotélica, mas também foi limitado de várias maneiras. Primeiro, De Morgan operava apenas com relações binárias. Em segundo lugar, sua notação era desajeitada. (Por exemplo:se (X / pdot / pdot LY) designar que X é um amante de Y, então (X / pdot LY) designará que X não é um amante de Y. De Morgan não tem sinal separado para negação, nem para os conectivos proposicionais booleanos.)

Peirce notou essas deficiências e, em 1870, mostrou como estender a lógica de Boole para cobrir

todo o domínio da lógica formal, em vez de se restringir à parte mais simples e menos útil do assunto, a lógica dos termos absolutos, que, quando [Boole] escreveu, era a única lógica formal conhecida.

Ele estudou a composição das relações entre si e com os termos de classe e elaborou as principais leis para o sistema algébrico abstrato resultante, mostrando finalmente que as álgebras associativas lineares estudadas por seu pai (Benjamin Peirce, matemático de Harvard) poderiam ser todas definido em termos do que ele chamou de "parentes elementares". Seu sistema de 1870, apesar de um grande avanço tanto em Boole quanto em De Morgan, permanece notavelmente desajeitado e, em retrospecto, fica claro que ele precisava da teoria da quantificação. Mas foi a primeira tentativa bem-sucedida de estender o sistema de Boole à lógica das relações.

Em 1880, Peirce descreveu o procedimento para reduzir as fórmulas do cálculo sentencial para a forma normal conjuntiva e disjuntiva, e também em trabalhos não publicados demonstrou que o cálculo sentencial pode ser obtido a partir do único conector de negação articular ("nem p nem q"). Em 1881, “On the Logic of Number”, examinou os fundamentos da aritmética e analisou os números naturais em termos de conjuntos discretos e ordenados linearmente, sem um elemento máximo. Ele deu definições recursivas informais de adição e multiplicação e provou que ambas as operações eram associativas e comutativas.

Em dois notáveis trabalhos, a nota curta de 1883 e a mais longa "Na álgebra da lógica" de 1885, ele introduziu uma notação moderna para o que ele foi o primeiro a chamar de "quantificador". Ele viu seus quantificadores (para os quais usou os símbolos (Pi) e (Sigma)) como uma generalização dos conectivos booleanos, com o quantificador universal (Pi) sendo interpretado como um (possivelmente infinito) conjunção, de modo que (Pi_x P (x)) seja entendido como “a é P e b é P e c é P e…”. Da mesma forma, o quantificador existencial (Sigma) é entendido como uma soma (possivelmente infinita): “a é P ou b é P ou c é P ou…”. Essa notação flexível (Pi) e (Sigma) permitiu que ele expressasse facilmente quantificações aninhadas em qualquer profundidade desejada. Assim, em sua notação, se (l_ {ij}) representa "eu sou um amante de j",(Sigma_i / Sigma_j) (l_ {ij}) nos diz que alguém ama alguém, enquanto (Pi_i / Sigma_j) (l_ {ij}) nos diz que todo mundo ama alguém. (As notações (Sigma) e (Pi) destinam-se, é claro, em um espírito booleano, a enfatizar a analogia com somas e produtos aritméticos.)

“Na álgebra da lógica” também é notável por outras razões. Começa com uma passagem importante (§2) no cálculo proposicional, contendo o primeiro uso explícito de dois valores da verdade. Peirce então descreve um procedimento de decisão para o cálculo:

[Para] descobrir se uma fórmula é necessariamente verdadeira, substitua (mathbf {f}) e (mathbf {v}) pelas letras e veja se ela pode ser supostamente falsa por qualquer atribuição de valores. (1885: 191)

Ele defende a implicação material e mostra como definir a negação em termos de implicação e um símbolo especial para o absurdo. Na próxima seção (§3), ele trata o que chama, seguindo os Escolares, de “lógica intencional das relações”. É aqui que ele cunha o termo "quantificador"; a matriz proposicional de uma fórmula quantificada que ele chama de "booliano". Nesta seção, os quantificadores abrangem apenas os indivíduos do universo; a "lógica intencional" é, portanto, de primeira ordem. Aqui também ele foi o primeiro a discutir as regras para transformar uma fórmula quantificada em forma normal de prenex. A seção a seguir (§4) é intitulada "lógica de segunda intenção". Existe uma clara demarcação da lógica intencional do §3. Aqui, os quantificadores podem variar sobre predicados;e ele usa sua nova notação para declarar a definição moderna de identidade de segunda ordem: dois objetos são idênticos apenas no caso de satisfazerem os mesmos predicados.

O jornal de Peirce estava em muitos aspectos muito à frente de seu tempo. Sua nítida distinção entre sistemas lógicos proposicionais, primeira intencional e segunda intencional não deveria ser igualada em clareza até Hilbert em suas palestras de 1917/18. Peirce também foi presciente em ver os quantificadores como somas e produtos (possivelmente infinitos), uma notação que Löwenheim deveria creditar por possibilitar a descoberta do teorema de Löwenheim-Skolem e que deveria desempenhar um papel significativo na formulação da prova de Hilbert programa teórico na década de 1920. (As idéias lógicas de Peirce eram bem conhecidas na Europa continental, tendo sido adotadas por Ernst Schröder e dada ampla circulação nos três volumes de sua Álgebra der Logik (1890 a 1895).)

Peirce traçou essas várias distinções - e, em particular, a distinção entre lógica de primeira e segunda ordem - com maior clareza do que qualquer outro lógico até as palestras de Hilbert em 1917. E, ao contrário de Hilbert, Peirce estava imerso nos escritos dos lógicos medievais. Ele apreciou completamente o significado filosófico dos argumentos sobre a realidade dos universais: é por isso que ele estabeleceu uma diferenciação tão nítida entre a lógica do §2 e a do §3. Assim, estava aberto a ele fazer (ou pelo menos considerar) um argumento nominalista em nome da lógica de primeira ordem e contra a lógica de segunda ordem. Mas, além de algumas observações incidentais, ele próprio não desenvolveu mais suas observações sobre a lógica de segunda intenção,e parece provável que a distinção moderna entre lógica de primeira e superior ordem tenha sido uma redescoberta feita independentemente em 1917/18 por Hilbert, em vez de ser diretamente inspirada por Peirce.

3. Gottlob Frege

As contribuições lógicas de Frege cresceram em um solo diferente e foram feitas (até onde se pode determinar) inteiramente independentes da tradição algébrica anglo-americana de Boole, De Morgan e Peirce. Em vez disso, têm raízes no trabalho sobre os fundamentos da análise real de matemáticos alemães como Dirichlet, Riemann, Weierstrass e Heine. A partir dessa tradição, Frege adotou, primeiro, a idéia de fornecer uma base rigorosa para a matemática (um projeto que, em suas mãos, se tornou o projeto de mostrar que a aritmética pode ser fundamentada nas leis da lógica); e, segundo, os conceitos matemáticos centrais de função e variável, que ele empregou no lugar dos conceitos aristotélicos de predicado e sujeito. Este último passo levou-o naturalmente a uma lógica das relações (uma vez que as funções consideradas na matemática eram multivariadas);e sua análise da inferência matemática também o levou a introduzir uma notação para a lógica quantificacional. (Matemáticos como Weierstrass, em sua análise do conceito de limite, já eram sensíveis ao "aninhamento" de quantificadores e à importância de sua ordenação: à diferença, por exemplo, entre dizer "para todo (varepsilon) existe um (delta)”e“existe um (delta) tal que para cada (varepsilon)”. O que era necessário agora e o que Frege fornecia era uma linguagem formal para expressar e explicitam as inferências quantificacionais já presentes no trabalho dos analistas alemães.) Assim, em um único golpe, na Begriffsschrift de 1879, Frege deu os dois principais passos além das relações lógicas e quantificadores tradicionais que a tradição algébrica havia tomado. separadamente e décadas separados.

O sistema lógico de Frege tinha várias vantagens sobre Peirce. Sua apresentação axiomática de um cálculo puramente sintático era consideravelmente mais precisa, e sua análise do conceito de número foi mais profunda. Seu sistema permitiu quantificar variáveis e funções. Esse foi um componente central de seu programa para fornecer uma base lógica para a aritmética, pois, em seu sistema lógico, identidade, número cardinal e indução matemática foram todos definidos por meio de quantificações de ordem superior. Em Grundlagen (1884), ele distingue entre conceitos de ordem diferente, de modo que, se o conceito A se enquadra no conceito B, então B é de "segunda ordem" (§53). No tratamento mais técnico de Grundgesetze (1893), ele considerou quantificações de terceira ordem, embora sua derivação real da aritmética tenha procedido inteiramente dentro da lógica de segunda ordem.

Frege foi, portanto, um dos primeiros lógicos a reconhecer a importância de uma hierarquia de níveis lógicos. Sua descoberta foi praticamente simultânea à de Peirce e chegou de maneira totalmente independente, em busca de objetivos diferentes. A descoberta de Frege deveria ter um impacto maior. Ele formou a base da teoria dos tipos de Russell (e também, décadas depois, influenciou Carnap, que estudou lógica com Frege).

Mas, apesar de Frege distinguir entre níveis lógicos, ele não isolou a parte de seu sistema quantificacional que varia apenas sobre variáveis de primeira ordem como um sistema distinto de lógica: nem seria natural para ele fazê-lo. A esse respeito, há um contraste significativo com Peirce. O projeto de Frege era mostrar que a aritmética podia ser fundamentada nas leis da lógica: para ele, havia apenas uma lógica, e a lógica necessariamente incluía a lógica dos conceitos de ordem superior. Peirce, por outro lado, rejeitou a noção de uma lógica única e abrangente, pensando em termos de lógicas que variam de acordo com o "universo do discurso". Em grande parte por esse motivo, ele se aproximou em seu artigo de 1885 de isolar o cálculo proposicional, a "lógica da primeira intenção" e a "lógica da segunda intenção" como sistemas distintos,cada um digno de estudo por si só: nesse sentido, ele estava mais próximo das concepções modernas do que de Frege. Há uma diferença ainda mais sutil. As notações (Sigma) e (Pi) de Peirce para os quantificadores foram explicitamente concebidas em termos de (possivelmente infinitas) conjunções e disjunções de proposições sobre indivíduos. Essa é uma concepção altamente sugestiva, difícil de representar no sistema de notação de Frege. Löwenheim deveria explorá-lo em seus primeiros trabalhos em teoria dos modelos, levando a descobertas técnicas que chamariam a atenção para a lógica de primeira ordem. Mas todo esse trabalho se encontra décadas no futuro, e nem Frege nem Peirce podem ser creditados com um entendimento moderno da diferença entre lógicas de primeira e de mais alta ordem.ele estava mais próximo das concepções modernas do que de Frege. Há uma diferença ainda mais sutil. As notações (Sigma) e (Pi) de Peirce para os quantificadores foram explicitamente concebidas em termos de (possivelmente infinitas) conjunções e disjunções de proposições sobre indivíduos. Essa é uma concepção altamente sugestiva, difícil de representar no sistema de notação de Frege. Löwenheim deveria explorá-lo em seus primeiros trabalhos em teoria dos modelos, levando a descobertas técnicas que chamariam a atenção para a lógica de primeira ordem. Mas todo esse trabalho se encontra décadas no futuro, e nem Frege nem Peirce podem ser creditados com um entendimento moderno da diferença entre lógicas de primeira e de mais alta ordem.ele estava mais próximo das concepções modernas do que de Frege. Há uma diferença ainda mais sutil. As notações (Sigma) e (Pi) de Peirce para os quantificadores foram explicitamente concebidas em termos de (possivelmente infinitas) conjunções e disjunções de proposições sobre indivíduos. Essa é uma concepção altamente sugestiva, difícil de representar no sistema de notação de Frege. Löwenheim deveria explorá-lo em seus primeiros trabalhos em teoria dos modelos, levando a descobertas técnicas que chamariam a atenção para a lógica de primeira ordem. Mas todo esse trabalho se encontra décadas no futuro, e nem Frege nem Peirce podem ser creditados com um entendimento moderno da diferença entre lógicas de primeira e de mais alta ordem. As notações (Sigma) e (Pi) de Peirce para os quantificadores foram explicitamente concebidas em termos de (possivelmente infinitas) conjunções e disjunções de proposições sobre indivíduos. Essa é uma concepção altamente sugestiva, difícil de representar no sistema de notação de Frege. Löwenheim deveria explorá-lo em seus primeiros trabalhos em teoria dos modelos, levando a descobertas técnicas que chamariam a atenção para a lógica de primeira ordem. Mas todo esse trabalho se encontra décadas no futuro, e nem Frege nem Peirce podem ser creditados com um entendimento moderno da diferença entre lógicas de primeira e de mais alta ordem. As notações (Sigma) e (Pi) de Peirce para os quantificadores foram explicitamente concebidas em termos de (possivelmente infinitas) conjunções e disjunções de proposições sobre indivíduos. Essa é uma concepção altamente sugestiva, difícil de representar no sistema de notação de Frege. Löwenheim deveria explorá-lo em seus primeiros trabalhos em teoria dos modelos, levando a descobertas técnicas que chamariam a atenção para a lógica de primeira ordem. Mas todo esse trabalho se encontra décadas no futuro, e nem Frege nem Peirce podem ser creditados com um entendimento moderno da diferença entre lógicas de primeira e de mais alta ordem. Löwenheim deveria explorá-lo em seus primeiros trabalhos em teoria dos modelos, levando a descobertas técnicas que chamariam a atenção para a lógica de primeira ordem. Mas todo esse trabalho se encontra décadas no futuro, e nem Frege nem Peirce podem ser creditados com um entendimento moderno da diferença entre lógicas de primeira e de mais alta ordem. Löwenheim deveria explorá-lo em seus primeiros trabalhos em teoria dos modelos, levando a descobertas técnicas que chamariam a atenção para a lógica de primeira ordem. Mas todo esse trabalho se encontra décadas no futuro, e nem Frege nem Peirce podem ser creditados com um entendimento moderno da diferença entre lógicas de primeira e de mais alta ordem.

4. Ernst Schröder

As contribuições de Frege não foram imediatamente compreendidas ou apreciadas e, na década final do século, a lógica foi dominada pelos três volumes do livro Vorlesungen über die Algebra der Logik, de Ernst Schröder. Schröder forneceu um tratamento enciclopédico do trabalho lógico de Boole e Peirce, sistematizando e ampliando seus resultados. Os quantificadores de Peirce aparecem no volume dois, mas a distinção entre quantificação de primeira e segunda ordem não é feita com uma clareza comparável. Como Frege apontou em sua revisão (1895), a notação de Schröder não distinguiu a associação de conjuntos da relação de subconjunto e, como resultado, pode ser difícil dizer se ele pretende que uma determinada quantificação abranja os subconjuntos de um domínio (ou seja, ser de segunda ordem) ou sobre seus elementos (isto é, ser de primeira ordem). Schröder emprega quantificações de segunda e primeira ordem; e em seu terceiro volume, ele usou a técnica de expandir uma quantificação de segunda ordem em um produto infinito de quantificações de primeira ordem - uma técnica que foi um desenvolvimento da notação peirciana de produtos e que foi o ponto de partida para as investigações de Löwenheim. Mas Schröder não extrai de seu sistema mais amplo um subsistema da lógica de primeira ordem e não trata a distinção de ordens como sendo de grande importância, matematicamente ou filosoficamente. Nesse sentido, ele é menos claro que o artigo de Peirce de 1885. (Uma análise útil do trabalho lógico de Schröder está contida em Brady 2000).e em seu terceiro volume, ele usou a técnica de expandir uma quantificação de segunda ordem em um produto infinito de quantificações de primeira ordem - uma técnica que foi um desenvolvimento da notação peirciana de produtos e que foi o ponto de partida para as investigações de Löwenheim. Mas Schröder não extrai de seu sistema mais amplo um subsistema da lógica de primeira ordem e não trata a distinção de ordens como sendo de grande importância, matematicamente ou filosoficamente. Nesse sentido, ele é menos claro que o artigo de Peirce de 1885. (Uma análise útil do trabalho lógico de Schröder está contida em Brady 2000).e em seu terceiro volume, ele usou a técnica de expandir uma quantificação de segunda ordem em um produto infinito de quantificações de primeira ordem - uma técnica que foi um desenvolvimento da notação peirciana de produtos e que foi o ponto de partida para as investigações de Löwenheim. Mas Schröder não extrai de seu sistema mais amplo um subsistema da lógica de primeira ordem e não trata a distinção de ordens como sendo de grande importância, matematicamente ou filosoficamente. Nesse sentido, ele é menos claro que o artigo de Peirce de 1885. (Uma análise útil do trabalho lógico de Schröder está contida em Brady 2000). Mas Schröder não extrai de seu sistema mais amplo um subsistema da lógica de primeira ordem e não trata a distinção de ordens como sendo de grande importância, matematicamente ou filosoficamente. Nesse sentido, ele é menos claro que o artigo de Peirce de 1885. (Uma análise útil do trabalho lógico de Schröder está contida em Brady 2000). Mas Schröder não extrai de seu sistema mais amplo um subsistema da lógica de primeira ordem e não trata a distinção de ordens como sendo de grande importância, matematicamente ou filosoficamente. Nesse sentido, ele é menos claro que o artigo de Peirce de 1885. (Uma análise útil do trabalho lógico de Schröder está contida em Brady 2000).

5. Giuseppe Peano

Em 1889, Giuseppe Peano, independentemente de Peirce e Frege, introduziu uma notação para quantificação universal. Se a e b são proposições com as variáveis livres (x, y, / ldots), então (a / mathbin { revc_ {x, y, / ldots}} b) simboliza: Qualquer que seja (x, y, / ldots), pode ser, a partir da proposição que alguém deduz b. Hesita-se em chamar isso de notação para o quantificador universal, uma vez que a quantificação não é separável do sinal de implicação material: notadamente, esse é um passo considerável para trás de Peirce. Além disso, o Peano não distingue a quantificação de primeira ordem da quantificação de segunda ordem. O objetivo de seu ensaio era apresentar os princípios da aritmética no simbolismo lógico, e sua formulação do princípio da indução matemática pode ser vista, a nosso ver, como de segunda ordem: mas apenas tacitamente. Essa foi uma distinção à qual (novamente diferente de Peirce) ele parece não ter dado importância. Ele, no entanto, adicionou uma série de novos símbolos à lógica matemática que deveriam influenciar o trabalho de Whitehead e Russell em Principia Mathematica; e um dos símbolos era a notação (existe) para o quantificador existencial. (Estranhamente, Peano não introduziu um símbolo paralelo para o quantificador universal. Parece ter sido Whitehead quem introduziu a notação ((x)) em Principia, e Hilbert quem introduziu o símbolo (forall).)(Estranhamente, Peano não introduziu um símbolo paralelo para o quantificador universal. Parece ter sido Whitehead quem introduziu a notação ((x)) em Principia, e Hilbert quem introduziu o símbolo (forall).)(Estranhamente, Peano não introduziu um símbolo paralelo para o quantificador universal. Parece ter sido Whitehead quem introduziu a notação ((x)) em Principia, e Hilbert quem introduziu o símbolo (forall).)

6. Alfred North Whitehead e Bertrand Russell

A descoberta de Russell em 1901 do Paradoxo de Russell levou-o dentro de alguns meses, em uma carta a Frege (Frege [PMC]: 144), para propor uma versão provisória da teoria dos tipos. A idéia central que ele tirou da teoria das funções de Frege de primeira, segunda e superior ordem. Russell apresentou uma versão de sua teoria em um apêndice aos Princípios da Matemática (1903) e, em seguida, de forma madura em sua “Lógica matemática como baseada na teoria dos tipos” (1908), que forneceu os fundamentos conceituais para Principia Mathematica. Russell vê o universo como estriado em níveis ou tipos. O primeiro tipo compreende os indivíduos; o segundo tipo compreende as proposições de "primeira ordem" cujos quantificadores variam sobre os indivíduos do primeiro tipo; em geral,os quantificadores nas proposições do tipo n + 1º variam sobre proposições do tipo n. O sistema de Russell de fato compreende duas hierarquias distintas: uma para lidar com os paradoxos da teoria dos conjuntos (especificamente, para proibir que os conjuntos sejam elementos de si mesmos); o outro para lidar com os paradoxos semânticos (como o paradoxo do mentiroso). Essa estrutura dupla, ramificada em duas direções, dá a sua teoria o nome "teoria ramificada dos tipos". Para poder estabelecer uma análise clássica, ele foi forçado a adotar o axioma da redutibilidade, que estabelece que qualquer função do nível (n + 1) é coextensiva com um predicado de função de nível inferior. O sistema era imensamente complicado; com o tempo, nas mãos de Chwistek, Ramsey, Carnap, Tarski e Church,Reconheceu-se que a hierarquia que lida com os paradoxos semânticos poderia ser removida, deixando a "teoria simples dos tipos". (Uma pesquisa dessa evolução pode ser encontrada em Church 1974 e exames detalhados da teoria de Russell em Landini 1998 e Linsky 2011.)

Russell e Whitehead possuíam uma notação para os dois quantificadores, bem como uma distinção entre quantificações do primeiro e do tipo superior. Mas isso não é o mesmo que possuir uma concepção de lógica de primeira ordem, concebida como um sistema lógico independente, digno de ser estudado por si só. Havia essencialmente duas coisas bloqueando o caminho. Primeiro (e em contraste com Peirce), seu objeto de estudo não era de múltiplos sistemas lógicos, mas de lógica: eles não demonstram interesse em dividir um fragmento para estudo separado, e muito menos em argumentar que o fragmento de primeira ordem possui um privilégio. status. Pelo contrário: como Frege, a ambição de Principia era demonstrar que a matemática pode ser reduzida à lógica,e, para Whitehead e Russell, a lógica englobava todo o aparato da teoria dos tipos ramificados (juntamente com os axiomas do infinito, escolha e redutibilidade). Em segundo lugar, embora Principia fornecesse uma axiomatização da teoria dos tipos (e, portanto, possa ser vista como especificando uma concepção de conseqüência dedutiva), Whitehead e Russell pensavam em seu sistema como um sistema interpretado, afirmando as verdades da lógica, e não como um cálculo formal em o sentido de Hilbert. Hilbert deveria usar sua axiomatização como ponto de partida para suas próprias axiomatizações de vários sistemas de lógica; mas até que a distinção entre lógica e metalógica fosse formulada, não ocorreu naturalmente a ninguém colocar as questões metalógicas de completude, consistência e decidibilidade,ou investigar questões como a relação entre completude dedutiva e semântica ou falhas de categorização; e foi apenas quando essas noções se tornaram o foco da atenção que o significado da lógica de primeira ordem se tornou aparente.

7. Leopold Löwenheim

Em 1915, Löwenheim publicou seu marco "Über Möglichkeiten im Relativkalkül". Este artigo, escrito na tradição do cálculo de parentes de Peirce-Schroeder, estabeleceu o primeiro teorema metalógico significativo; de certos pontos de vista, marca o início da teoria dos modelos. Löwenheim considerou uma classe do que ele chamou de "expressões contadoras" (Zählausdrücke) cujos quantificadores variam apenas sobre o domínio de objetos no universo, mas não sobre parentes; ele então provou que, para qualquer expressão de contagem, se é satisfatória, é satisfatória em algum domínio denumerável. Na terminologia moderna, suas “expressões contadoras” são fórmulas da lógica de primeira ordem; mas sua terminologia não mostra influência da lógica de "primeira intenção" de Peirce ou da teoria dos tipos de Russell. Löwenheim, como todos os lógicos desta época,não possuía a distinção entre uma linguagem de objetos e uma metalinguagem. Sua prova é difícil de seguir, e os detalhes precisos de seu teorema - do que ele acreditava ter provado, e o que ele tinha, de fato, provado - foram objeto de extensa discussão acadêmica. (Uma pesquisa das diferentes interpretações é fornecida por Mancosu, Zach e Badesa 2009, e uma reconstrução detalhada da própria prova por Badesa 2004.) O artigo parece não ter influência até Skolem aguçar e ampliar seus resultados em 1920. Löwenheim, como Peirce e Russell, não isolou um sistema axiomático que englobava a lógica de primeira ordem, nem estabeleceu uma distinção entre sintaxe e semântica. Menos ainda, ele argumenta que sua classe de "expressões contadoras" é de alguma forma logicamente privilegiada e fornece uma base preferida para a matemática. Com o tempo, o teorema de Löwenheim foi reconhecido como isolando uma propriedade fundamental da lógica de primeira ordem. Mas as implicações completas de seu resultado não ficaram claras até mais tarde, depois que Hilbert introduziu o estudo metamatemático dos sistemas lógicos. (Aliás, Löwenheim creditou o elegante simbolismo (Sigma) e (Pi) de Peirce por sugerir as expansões infinitas necessárias à sua prova; e é difícil ver como ele poderia ter obtido seu teorema com qualquer das outras notações quantificacionais então oferecidas (ele ainda defendia vigorosamente as vantagens da notação Peirce-Schroeder contra a notação de Principia até Löwenheim 1940). Mas as implicações completas de seu resultado não ficaram claras até mais tarde, depois que Hilbert introduziu o estudo metamatemático dos sistemas lógicos. (Aliás, Löwenheim creditou o elegante simbolismo (Sigma) e (Pi) de Peirce por sugerir as expansões infinitas necessárias à sua prova; e é difícil ver como ele poderia ter obtido seu teorema com qualquer das outras notações quantificacionais então oferecidas (ele ainda defendia vigorosamente as vantagens da notação Peirce-Schroeder contra a notação de Principia até Löwenheim 1940). Mas as implicações completas de seu resultado não ficaram claras até mais tarde, depois que Hilbert introduziu o estudo metamatemático dos sistemas lógicos. (Aliás, Löwenheim creditou o elegante simbolismo (Sigma) e (Pi) de Peirce por sugerir as expansões infinitas necessárias à sua prova; e é difícil ver como ele poderia ter obtido seu teorema com qualquer das outras notações quantificacionais então oferecidas (ele ainda defendia vigorosamente as vantagens da notação Peirce-Schroeder contra a notação de Principia até Löwenheim 1940).e é difícil ver como ele poderia ter obtido seu teorema com qualquer uma das outras notações quantificacionais então oferecidas. Ele ainda defendia vigorosamente as vantagens da notação Peirce-Schroeder contra a notação de Principia até Löwenheim 1940.)e é difícil ver como ele poderia ter obtido seu teorema com qualquer uma das outras notações quantificacionais então oferecidas. Ele ainda defendia vigorosamente as vantagens da notação Peirce-Schroeder contra a notação de Principia até Löwenheim 1940.)

8. David Hilbert e Paul Bernays

Vamos fazer um breve balanço da situação em que existia em 1915. Peirce havia diferenciado entre lógica de primeira e segunda ordem, mas não colocara a distinção em uso matemático e desapareceu de vista. Frege e Russell haviam formulado versões da teoria do tipo multinível, mas nenhum dos dois destacara o fragmento de primeira ordem como um objeto digno de estudo. Os teóricos do postulado americano, Edward Huntington e Oswald Veblen, formularam várias noções de completude e categorização, e Veblen observou que a dedutibilidade axiomática pode divergir da implicação semântica (Awodey & Reck 2002: 15–19). Mas Veblen não possuía uma caracterização precisa da dedução formal e sua observação permaneceu inerte. Löwenheim provou ser um teorema profundo sobre o que, em retrospecto, poderia ser caracterizado como fórmulas de primeira ordem,mas não havia isolado um sistema de lógica de primeira ordem. Um argumento semelhante vale para Hermann Weyl, que em 1910 propôs (com efeito) usar a lógica de primeira ordem para tornar preciso o conceito de "propriedade definida" no axioma de separação de Zermelo. Mas isso também é uma caracterização retrospectiva, e o interesse de Weyl estava na teoria dos conjuntos, não no estudo de um sistema de lógica de primeira ordem.

O próximo grande passo foi dado por David Hilbert em seu curso de palestras Prinzipien der Mathematik, proferido em Göttingen no semestre de inverno de 1917/18. Hilbert havia ensinado e publicado sobre tópicos fundamentais nos anos de 1899 a 1905; nesse período, enquanto se concentrava em outros assuntos, as publicações haviam cessado, embora as extensas palestras em sala de aula continuassem. Ele acompanhou os desenvolvimentos atuais e, em particular, foi informado sobre o trabalho lógico de Whitehead e Russell, principalmente através de seu aluno Heinrich Behmann. Em setembro de 1917, ele proferiu sua palestra programática “Axiomatisches Denken” em Zurique, pedindo um tratamento axiomático da lógica ao longo das linhas que ele havia explorado anteriormente em sua axiomatização da geometria e propondo explicitamente investigações metalógicas:

Quando consideramos o assunto mais de perto, logo reconhecemos que a questão da consistência para números inteiros e conjuntos não é a única, mas pertence a um vasto domínio de questões epistemológicas difíceis que têm um tom especificamente matemático: por exemplo (para caracterizar brevemente este domínio de perguntas), o problema da resolubilidade em princípio de todas as questões matemáticas, o problema da verificação subsequente dos resultados de uma investigação matemática, a questão de um critério de simplicidade para as provas matemáticas, a questão de a relação entre conteúdo e formalismo em matemática e lógica e, finalmente, o problema da decidibilidade de uma questão matemática em um número finito de operações. (Hilbert 1917: 412–413)

Foi nessa viagem a Zurique que ele convidou Paul Bernays para retornar a Göttingen como seu assistente em assuntos fundamentais. Embora Bernays tivesse pouca experiência anterior em fundações, essa acabou sendo uma escolha astuta e o começo de uma parceria de pesquisa estreita e proveitosa.

As palestras de Göttingen que logo seguiram o discurso de Zurique (e que foram registradas em um protocolo oficial de Bernays) são um documento notável e marcam o nascimento da moderna lógica matemática. Eles são substancialmente os mesmos que a monografia publicada conhecida como "Hilbert e Ackermann" (1928), e ainda hoje, com modesta suplementação, poderia servir como um livro introdutório para a lógica. Hilbert, pela primeira vez, distingue claramente a metalinguagem da linguagem de objetos, e passo a passo apresenta uma sequência de cálculos lógicos formais de força gradualmente crescente. Cada cálculo é cuidadosamente estudado por sua vez; seus pontos fortes e fracos são identificados e equilibrados, e a análise dos pontos fracos é usada para preparar a transição para o próximo cálculo. Ele começa com o cálculo proposicional,depois, passa para a lógica quantificacional monádica (com uma discussão extensa sobre o cálculo de classes e o silogismo aristotélico) e depois para o "cálculo da função".

O cálculo da função é um sistema de lógica de primeira ordem (classificada de várias maneiras), com variáveis para sentenças e também para relações. É aqui, pela primeira vez, que encontramos uma formulação precisa e moderna da lógica de primeira ordem, claramente diferenciada dos outros cálculos, dada uma base axiomática, e com questões metalógicas explicitamente formuladas. Hilbert conclui sua discussão sobre lógica de primeira ordem com a observação:

A discussão básica do cálculo lógico poderia cessar aqui se não tivéssemos outro fim em vista para esse cálculo além da formalização da inferência lógica. Mas não podemos estar satisfeitos com esta aplicação da lógica simbólica. Não apenas queremos ser capazes de desenvolver teorias individuais a partir de seus princípios de uma maneira puramente formal, mas também queremos investigar os fundamentos das próprias teorias matemáticas e examinar como elas estão relacionadas à lógica e até que ponto elas podem ser construídas. de operações puramente lógicas e formações conceituais; e para esse propósito, o cálculo lógico é servir-nos como uma ferramenta. (1917/18: 188)

Isso o leva a introduzir a lógica de ordem superior e, portanto, a uma consideração dos paradoxos lógicos e sua resolução através da teoria ramificada dos tipos de Russell; o axioma da redutibilidade é brevemente discutido e adotado como fundamento da matemática. O protocolo da palestra termina com a frase:

Assim, fica claro que a introdução do Axioma da Redutibilidade é o meio adequado para transformar o cálculo de níveis em um sistema a partir do qual os fundamentos da matemática superior podem ser desenvolvidos.

Essa frase parecia essencialmente inalterada quando as palestras de 1917 foram re-trabalhadas como monografia (Hilbert & Ackermann, 1928).

No decorrer de suas palestras, Hilbert aborda as questões metalógicas que ele havia declarado em “Axiomatisches Denken” e (pelo menos tacitamente) mostra como as questões de completude, consistência e decidibilidade devem ser respondidas para o caso proposicional. A questão da completude da lógica de primeira ordem não é explicitamente levantada no registro das palestras de Bernays, embora um leitor atento pudesse reconhecê-la facilmente como um problema em aberto. No verão seguinte, Bernays produziu uma tese de Habilitação, na qual desenvolveu, com todo o rigor, uma análise axiomática ao estilo Hilbert da lógica proposicional. Ele apresenta o sistema axiomático como um cálculo formal não interpretado; fornece uma semântica; e, em seguida, prova o teorema da completude, ligando a sintaxe à semântica na forma: "Toda fórmula comprovável é universalmente válida e vice-versa". Ele passa a investigar questões de decidibilidade, consistência e independência mútua de várias combinações de axiomas.

As palestras de Hilbert 1917 e a Habilitação de Bernays de 1918 são um marco no desenvolvimento da lógica de primeira ordem. Nas palestras, pela primeira vez, a lógica de primeira ordem é apresentada por si só como um sistema lógico axiomático, adequado para estudo utilizando as novas técnicas metalógicas. Foram essas técnicas metalógicas que representaram o avanço crucial sobre Peirce e Frege e Russell, e chegaram a tempo de colocar em foco a lógica de primeira ordem. Mas isso não aconteceu de uma vez e ainda há muito trabalho pela frente. Nas palestras de 1917/18, a sequência de cálculos lógicos de Hilbert foi apresentada como trampolins no caminho para a teoria de tipos ramificados de ordem superior, que ele continuou a considerar como a estrutura lógica "correta" para investigar os fundamentos da matemática. Era característico de Hilbert dividir fenômenos matemáticos complexos em seus elementos: a sequência de cálculos pode ser vista como uma decomposição da lógica de ordem superior em suas partes componentes mais simples, revelando a seus alunos precisamente os passos que foram dados na construção do todo. sistema. Embora ele discuta o cálculo funcional, ele não o destaca com atenção especial. Em outras palavras (e como Peirce, três décadas antes), a lógica de primeira ordem é introduzida principalmente como um dispositivo expositivo: sua importância ainda não estava clara.ele não destaca por atenção especial. Em outras palavras (e como Peirce, três décadas antes), a lógica de primeira ordem é introduzida principalmente como um dispositivo expositivo: sua importância ainda não estava clara.ele não destaca por atenção especial. Em outras palavras (e como Peirce, três décadas antes), a lógica de primeira ordem é introduzida principalmente como um dispositivo expositivo: sua importância ainda não estava clara.

Além disso, o próprio tratamento de Hilbert sobre as questões metalógicas é um tanto precipitado e informal. Ele experimenta várias versões do conceito de “completude”: alguém tem a sensação de que estava rapidamente inovando e ainda não tinha certeza de quais conceitos seriam os mais proveitosos. Sua prova da completude do cálculo proposicional é um mero esboço e relegado a uma nota de rodapé; o problema paralelo da lógica de primeira ordem nem sequer é levantado como uma conjectura. Ainda mais impressionante, quando Bernays finalmente publicou sua Habilitação em 1926, ele omitiu sua prova do teorema da completude porque (como ele mais tarde disse com tristeza) o resultado parecia naquele momento direto e sem importância. (Para discussão deste ponto, veja Hilbert [LFL]: 229. Para discussões gerais prontamente disponíveis, consulte Sieg 1999, Zach 1999,e os ensaios coletados em Sieg 2013; para os documentos originais e análises detalhadas, consulte Hilbert [LFL.)

Em outras palavras, mesmo em Göttingen, na década de 1920, faltava um entendimento completo do significado das idéias que Hilbert havia introduzido em 1917. A escola de Hilbert, ao longo da década de 1920, considerou a lógica de primeira ordem como um fragmento da teoria dos tipos, e não argumentou que fosse um sistema exclusivamente favorecido. Não foi até a monografia Hilbert & Ackermann 1928 (e a contemporânea “Bologna Lecture”, Hilbert 1928)) que Hilbert chamou explicitamente a atenção para a completude da lógica de primeira ordem como uma questão em aberto. Isso preparou o terreno para o trabalho de Gödel: mas antes de chegar a isso, precisamos dar um passo cronológico para trás.

9. Thoralf Skolem

Skolem, no inverno de 1915–16, visitou Göttingen, onde discutiu a teoria dos conjuntos com Felix Bernstein; não há sinal de que ele conheceu Hilbert. Naquele momento, ele já estava familiarizado com o teorema de Löwenheim e conhecia suas implicações paradoxais para a axiomatização da teoria dos conjuntos de Zermelo: especificamente, que uma axiomatização de primeira ordem da teoria dos conjuntos não-numeráveis teria um modelo numerável. Na época, ele não publicou esses tópicos porque, como ele disse mais tarde:

Eu acreditava que era tão claro que a axiomatização da teoria dos conjuntos não seria satisfatória como fundamento fundamental da matemática que, em geral, os matemáticos não se incomodariam muito com ela. Para minha surpresa, vi recentemente que muitos matemáticos consideram esses axiomas da teoria dos conjuntos como a base ideal para a matemática. Por esse motivo, pareceu-me que chegara a hora de publicar uma crítica. (Skolem 1922: apêndice.)

Os primeiros trabalhos principais de Skolem foram seus 1920 e, especialmente, 1922. No primeiro, ele provou (ou re-provou) de forma mais perspícua o teorema de Löwenheim-Skolem, descendente. No segundo, ele forneceu uma nova prova desse resultado. Ele também criticou o axioma de separação de Zermelo, que assumiu a forma: Dado um conjunto S e uma proposição definida (phi (x)), existe um conjunto S 'de todos os elementos s de S, tais que (phi (s)). Aqui, o conceito de "proposição definida" foi deixado um tanto impreciso. A proposta de Skolem era identificar “proposições definidas” com as fórmulas da lógica de primeira ordem (com identidade). Embora Skolem tenha declarado essa identificação como "natural" e "completamente clara", ele não argumentou explicitamente a restrição de quantificadores ao primeiro nível. Ele então deu a primeira formulação satisfatória de primeira ordem da teoria dos conjuntos de Zermelo e aplicou o resultado de Löwenheim-Skolem para obter o paradoxo de Skolem.

Esses resultados técnicos foram de grande importância para o debate subsequente sobre a lógica de primeira ordem. Mas é importante não ler em Skolem 1922 uma compreensão posterior dos problemas. Skolem neste momento não possuía uma distinção entre a linguagem do objeto e a metalinguagem. E, embora em retrospecto sua axiomatização da teoria dos conjuntos possa ser interpretada como de primeira ordem, ele em nenhum lugar enfatiza esse fato. (De fato, Eklund (1996) apresenta um argumento convincente de que Skolem ainda não havia apreciado claramente o significado da distinção entre lógica de primeira e segunda ordem, e que a reformulação do axioma da separação não é, de fato, inequivocamente). ordem como costuma ser considerada.)

As observações de Skolem sobre lógica de primeira ordem requerem uma interpretação cuidadosa (ver, por exemplo, Ferreirós 2001: 470-74), mas claramente devem ser vistas no cenário do nascer do sol Grundlagen da década de 1920 e nos debates entre Hilbert, Brouwer e Weyl. Existem duas grandes tendências dentro da lógica durante esses anos, e elas seguem direções opostas. Uma tendência é derrubar sistemas lógicos e matemáticos para acomodar as críticas de Brouwer e seus seguidores. O objetivo era evitar os paradoxos, delimitar o território da matemática "legítima" e colocá-lo em bases seguras. A teoria dos conjuntos estava em disputa, e Skolem apresentou explicitamente seus resultados de 1922 como uma crítica dos fundamentos teóricos dos conjuntos. Weyl, já em 1910, fora liderado por seu exame do sistema de Zermelo para formular um conjunto de princípios lógicos que, em retrospecto (e apesar da notação idiossincrática), podem ser vistos como uma forma de lógica de primeira ordem. Em geral, Weyl e Skolem inclinaram-se, por motivos metodológicos, a algum tipo de construtivismo como forma de evitar os paradoxos; e isso significava que eles viam a quantificação sobre, digamos, a totalidade dos subconjuntos de um conjunto infinito como algo a ser evitado: qualquer que seja o entendimento da noção de "todos os números inteiros", a noção de "todas as propriedades dos números inteiros" era muito menos firme. Em outras palavras: a questão da axiomatização da teoria dos conjuntos era declarar suas suposições filosoficamente problemáticas de tal maneira que se pudesse ver claramente o que elas vieram. Mas esse objetivo seria comprometido se alguém já pressupusesse na lógica de segundo plano a noção problemática de "todos os subconjuntos" que estava tentando elucidar. Uma possibilidade era restringir-se à lógica de primeira ordem; outro, adotar algum tipo de sistema predicativo de ordem superior.

Tendências amplamente construtivistas semelhantes também foram evidenciadas no trabalho teórico de prova de Hilbert e Bernays e seus seguidores na década de 1920. Já na época das aulas de Hilbert em 1921/22, Hilbert havia identificado a introdução dos quantificadores (clássicos) como o passo crucial em que o transfinito entrava na lógica. Hilbert, como CS Peirce muito antes, pensava nos quantificadores como infinitas conjunções e disjunções, e desde o início da década de 1920 ficou bem entendido em Göttingen que, para os objetivos programáticos do programa de consistência de Hilbert a serem realizados, uma análise finita de os quantificadores eram necessários. O método de substituição por epsilon foi o principal dispositivo que Hilbert introduziu para tentar alcançar esse resultado.(Uma pesquisa desta pesquisa é fornecida por Sieg 2009 e nas notas introdutórias a Hilbert [LFL].)

Mas, apesar dessas tendências construtivas, muitos lógicos da década de 1920 (incluindo Hilbert) continuaram a considerar a teoria do tipo de ordem superior, e não o seu fragmento de primeira ordem, como a lógica apropriada para investigações nos fundamentos da matemática. A esperança última era fornecer uma prova de consistência para toda a matemática clássica (incluindo a teoria dos conjuntos). Mas, enquanto isso, os pesquisadores ainda não estavam claros sobre certas distinções básicas. Hilbert às vezes falha em observar a distinção entre um axioma-esquema de primeira ordem e um axioma de segunda ordem; O intuicionismo de Brouwer às vezes é identificado com "finitismo"; as relações entre completude (em vários sentidos), categorização (também em vários sentidos) e lógica de primeira ordem e de ordem superior ainda não foram compreendidas. De fato, Gregory Moore aponta que mesmo Gödel,em sua prova de 1929 da completude da lógica de primeira ordem, não entendeu completamente a noção de categorização e sua relação com a lógica de segunda ordem (Moore, 1988: 125).

10. Kurt Gödel

Portanto, as questões permaneceram incertas ao longo da década de 1920. Mas as ambições construtivistas da escola de Hilbert, o foco na análise dos quantificadores e o levantamento explícito de questões metalógicas fizeram com que o surgimento da lógica de primeira ordem como um sistema digno de estudo por si só fosse inevitável. As descobertas técnicas cruciais ocorreram em 1929 e 1931 com a publicação, por Gödel, primeiro, do teorema da completude para a lógica de primeira ordem e, em seguida, dos teoremas da incompletude. Com esses resultados (e outros que se seguiram logo), ficou finalmente claro que havia importantes diferenças metalógicas entre a lógica de primeira ordem e as lógicas de ordem superior. Talvez o mais significativo seja que a lógica de primeira ordem esteja completa e possa ser totalmente formalizada (no sentido em que uma sentença é derivável dos axiomas, caso ela ocorra em todos os modelos). Além disso, a lógica de primeira ordem satisfaz tanto a compacidade quanto a propriedade descendente de Löwenheim-Skolem; por isso tem uma teoria de modelo tratável. A lógica de segunda ordem não. Em meados da década de 1930, essas distinções começaram a ser amplamente compreendidas, assim como o fato de que a categorização em geral só pode ser obtida em sistemas de ordem superior. Lindström mais tarde mostrou (1969) que nenhum sistema lógico que satisfaça a compactação e a propriedade de Löwenheim-Skolem pode possuir maior poder expressivo do que a lógica de primeira ordem: portanto, nesse sentido, a lógica de primeira ordem é realmente uma entidade "natural".como foi o fato de que a categorização em geral só pode ser obtida em sistemas de ordem superior. Lindström mais tarde mostrou (1969) que nenhum sistema lógico que satisfaça a compactação e a propriedade de Löwenheim-Skolem pode possuir maior poder expressivo do que a lógica de primeira ordem: portanto, nesse sentido, a lógica de primeira ordem é realmente uma entidade "natural".como foi o fato de que a categorização em geral só pode ser obtida em sistemas de ordem superior. Lindström mais tarde mostrou (1969) que nenhum sistema lógico que satisfaça a compactação e a propriedade de Löwenheim-Skolem pode possuir maior poder expressivo do que a lógica de primeira ordem: portanto, nesse sentido, a lógica de primeira ordem é realmente uma entidade "natural".

Mas os resultados técnicos por si só não resolveram o assunto em favor da lógica de primeira ordem. Como apontam Schiemer & Reck (2013), nos anos 1930, mesmo após os principais resultados metalógicos terem sido alcançados, lógicos como Gödel, Carnap, Tarski, Church e Hilbert & Bernays continuaram a usar sistemas de ordem superior (geralmente em alguma versão da teoria simples dos tipos). Em outras palavras, mesmo após os resultados metalógicos, havia uma escolha a ser feita, e a escolha a favor da lógica de primeira ordem não era inevitável. Afinal, os resultados metalógicos podem ser tomados para mostrar uma limitação severa da lógica de primeira ordem: que ele não é capaz de especificar um modelo único, mesmo para os números naturais. Hilbert em 1917/18 havia tratado a lógica de primeira ordem como um mero trampolim,e os resultados metalógicos podem ser tomados para confirmar a sabedoria de sua abordagem: se você deseja categorizar, é forçado a mudar para um sistema de ordem superior.

Nesse ponto, na década de 1930, no entanto, várias outras linhas de pensamento sobre lógica agora se fundiram. A situação intelectual era altamente complexa. Os famosos artigos de Carnap, von Neumann e Heyting, no congresso de Königsberg em 1931, haviam identificado as escolas lógicas, formalistas e intuicionistas: seus debates moldariam o pensamento sobre os fundamentos da matemática nas próximas décadas. A busca por fundações seguras e, em particular, por evitar os paradoxos da teoria dos conjuntos, era algo que eles compartilhavam, e isso ajudou a inclinar a balança em favor da lógica de primeira ordem. Em primeiro lugar (como Weyl e Skolem já haviam apontado, e como pelo menos estava implícito no programa Hilbert), havia boas razões construtivistas e filosóficas para evitar a quantificação de ordem superior sempre que possível,e por restringir a lógica de alguém à primeira ordem. Em segundo lugar, várias formulações inequívocas de primeira ordem foram dadas agora à teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel e também à teoria dos conjuntos de von-Neumann-Bernays-Gödel (que permite uma axiomatização finita). A natureza de primeira ordem dessas teorias foi enfatizada em várias publicações da década de 1930: por Tarski (1935), Quine (1936), Bernays (1937) e Gödel (1940). Por uma questão prática, essas teorias de primeira ordem foram suficientes para formular toda a prática matemática existente; portanto, para a codificação de provas matemáticas, não havia necessidade de recorrer à lógica de ordem superior. (Isso confirmou uma observação que Hilbert já havia feito em 1917, embora sem ele mesmo desenvolver completamente o argumento.) Terceiro, havia uma tendência crescente de distinguir entre lógica e teoria dos conjuntos,e ver a teoria dos conjuntos como um ramo da matemática. O fato de que a lógica de ordem superior poderia ser interpretada como (na frase posterior de Quine) "teoria dos conjuntos em pele de cordeiro" reforçou outras tendências: a lógica "verdadeira" era de primeira ordem; a lógica de ordem superior era "realmente" a teoria dos conjuntos. No final da década, chegou-se a um consenso de que, para fins de pesquisa nos fundamentos da matemática, as teorias matemáticas deveriam ser formuladas em termos de primeira ordem. A lógica clássica de primeira ordem tornou-se "padrão".para fins de pesquisa nos fundamentos da matemática, as teorias matemáticas devem ser formuladas em termos de primeira ordem. A lógica clássica de primeira ordem tornou-se "padrão".para fins de pesquisa nos fundamentos da matemática, as teorias matemáticas devem ser formuladas em termos de primeira ordem. A lógica clássica de primeira ordem tornou-se "padrão".

11. Conclusões

Vamos agora tentar tirar algumas lições e, em particular, perguntar se o surgimento da lógica de primeira ordem era inevitável. Eu começo com uma observação. Cada estágio dessa história complexa é condicionado por dois tipos de considerações de mudança de contexto. Um é amplamente matemático: os teoremas que foram estabelecidos. O outro é amplamente filosófico: as suposições que foram feitas (explícita ou tacitamente) sobre lógica e sobre os fundamentos da matemática. Essas duas coisas interagiram. Cada pensador da sequência começa com algumas idéias mais ou menos intuitivas sobre lógica. Essas idéias suscitam questões matemáticas: distinções são traçadas: teoremas são provados: conseqüências são observadas e o entendimento filosófico é aguçado. Em cada estágio, a pergunta "O que é lógica?" (ou:“Qual é a lógica correta?”) Precisa ser avaliada tanto no contexto matemático quanto no filosófico: faz pouco sentido fazer a pergunta em abstrato.

Vamos agora considerar a pergunta: quando foi descoberta a lógica de primeira ordem? Essa pergunta é muito geral. Ele precisa ser dividido em três questões subsidiárias:

  • ((alpha)) Quando a lógica de primeira ordem foi identificada explicitamente pela primeira vez como um sistema lógico distinto? Esta pergunta tem uma resposta relativamente direta. A lógica de primeira ordem foi explicitamente identificada por Peirce em 1885, mas depois esquecida. Foi re-descoberto de forma independente nas palestras de Hilbert em 1917/18, e recebeu grande destaque na monografia de 1928, Hilbert & Ackermann. Peirce foi o primeiro a identificá-lo: mas foi Hilbert quem colocou o sistema no mapa.
  • ((beta)) Quando a lógica de primeira ordem foi reconhecida como sendo muito diferente dos sistemas de ordem superior? Esta é uma pergunta mais complicada. Embora Hilbert tenha isolado a lógica de primeira ordem, ele não a tratou como especialmente significativa, e ele próprio continuou trabalhando na teoria dos tipos. Uma consciência das diferenças metalógicas fundamentais entre a lógica de primeira e de ordem superior só começou a surgir no início dos anos 30, principalmente, embora não exclusivamente, nas mãos de Gödel.
  • ((gamma)) Como a lógica de primeira ordem passou a ser vista como um sistema lógico privilegiado - isto é, como (em certo sentido) a lógica “correta” para investigações em fundamentos da matemática? Essa questão também é altamente complicada. Mesmo depois que os resultados de Gödel foram amplamente compreendidos, os lógicos continuaram trabalhando na teoria dos tipos, e levou anos para a lógica de primeira ordem atingir o status canônico. A transição foi gradual e não pode ter uma data específica.

Equipados com essas distinções, vamos perguntar agora: por que a lógica de primeira ordem não foi descoberta antes?

É impressionante que Peirce, já em 1885, tenha diferenciado claramente entre lógica proposicional, lógica de primeira ordem e lógica de segunda ordem. Ele sabia que a lógica proposicional é significativamente mais fraca que a lógica quantificacional e, em particular, é inadequada para uma análise dos fundamentos da aritmética. Ele poderia então ter observado que a lógica de segunda ordem é, sob certos aspectos, filosoficamente problemática, e que, em geral, nossa compreensão da quantificação de objetos é mais firme do que nossa compreensão da quantificação de propriedades. O problema surge mesmo que o universo do discurso seja finito. Temos, por exemplo, uma compreensão razoável do que significa falar (em termos de primeira ordem) de todos os planetas, ou dizer que existe um planeta com uma propriedade específica. Mas o que significa falar (em termos de segunda ordem) de todas as propriedades dos planetas? Qual é o critério de individuação para tais propriedades? A propriedade de ser o planeta mais externo é a mesma propriedade de ser o menor planeta? O que devemos dizer sobre propriedades negativas? É uma propriedade do planeta Saturno que não seja igual ao número inteiro 17? Nesse caso, embora haja apenas um número finito de planetas, nossos quantificadores de segunda ordem devem variar infinitamente em muitas propriedades. E assim por diante. As objeções do Quinean são familiares.

Argumentos desse tipo foram apresentados nas disputas escolásticas entre realistas e nominalistas: e Peirce estava mergulhado na literatura medieval sobre esses tópicos. Ele não precisa ter ido tão longe a ponto de apontar ((gamma)), isto é, argumentar que a lógica de primeira ordem é especialmente privilegiada. De qualquer forma, isso seria contrário ao seu pluralismo lógico. Mas ele tinha as ferramentas para apontar ((beta)) e enfatizar que existe um importante abismo separando a lógica de segunda ordem da primeira ordem, assim como existe um importante abismo separando a lógica de primeira ordem de o cálculo proposicional booleano. Por que ele não fez essas observações já em 1885?

Qualquer resposta só pode ser especulativa. Um fator, um fator menor, é que Peirce não era ele próprio um nominalista. Outra é que ele operou dentro de uma variedade de sistemas lógicos: ele era temperamentalmente eclético e não estava disposto a procurar a "única lógica verdadeira". Há também considerações técnicas. Peirce, ao contrário de Hilbert, não apresenta a lógica intencional como um sistema axiomatizado, nem a recomenda como veículo para o estudo dos fundamentos da matemática. Ele não possui a distinção entre um cálculo axiomático formal, não interpretado e sua metalinguagem. Como resultado, ele não pergunta sobre questões de decidibilidade, completude ou categorização; e sem os resultados metamatemáticos, não estava disponível para ele um entendimento completo das diferenças de poder expressivo entre a lógica de primeira e segunda ordem. Um dos argumentos mais fortes contra a lógica de segunda ordem - que a quantificação em todos os subconjuntos de uma coleção denumerável implica quantificação em uma totalidade não denumerável - nem poderia ter sido formulado até que o Teorema de Cantor fosse conhecido. Os paradoxos lógicos e teóricos dos conjuntos ainda não foram descobertos, e Zermelo ainda não havia axiomatizado a teoria dos conjuntos: portanto, Peirce não possuía o agudo senso de motivação para descobrir uma "base segura para a matemática". E, é claro, Peirce não tinha idéia dos teoremas de Löwenheim-Skolem, ou do paradoxo de Skolem, ou da sequência de teoremas metalógicos que deviam colocar a lógica de primeira ordem em foco. Ele forneceu uma notação flexível e sugestiva que se mostraria enormemente fértil, e foi o primeiro a distinguir claramente entre a lógica de primeira e segunda ordem:mas as ferramentas para entender o significado matemático da distinção ainda não existiam. (Como Henri Pirenne observou certa vez, os vikings descobriram a América, mas esqueceram-se disso, porque ainda não precisavam.)

Um ponto relacionado é válido para Frege e Russell. Eles possuíam a concepção de uma hierarquia de níveis lógicos e, em princípio, eles também poderiam ter isolado a lógica de primeira ordem e, assim, ter realizado o passo ((alpha)). Mas eles nunca consideraram isolar o nível mais baixo da hierarquia como um sistema independente. Existem razões filosóficas e matemáticas para isso. Como uma questão filosófica, o projeto lógico pretendia mostrar que “a matemática pode ser reduzida à lógica”: eles conceberam toda a hierarquia de tipos como constituindo lógica. E então, como uma questão matemática, a lógica de segunda ordem foi necessária para a construção dos números inteiros. Portanto, eles não tinham uma razão convincente, filosófica ou matemática, que os levasse a se concentrar no fragmento de primeira ordem.

Existe aqui um contraste instrutivo com Peirce. Peirce, no espírito dos álgebraistas do século XIX, ficou feliz em explorar uma abundância exuberante de estruturas lógicas: sua atitude era fundamentalmente pluralista. Os lógicos, trabalhando na tradição analítica, estavam mais preocupados em descobrir o que realmente são os números inteiros: sua atitude era fundamentalmente monística e reducionista. Mas, a fim de destacar a lógica de primeira ordem, como foi feito na década de 1930, eram necessárias duas coisas: uma consciência de que havia sistemas lógicos distintos e um argumento para preferir uma à outra. Peirce tinha o pluralismo: os lógicos tinham o desejo de encontrar um sistema "correto": mas nenhum dos dois.

Voltemos agora à questão: o surgimento da lógica de primeira ordem era inevitável? É impossível evitar considerações contrafactuais, e a resposta deve ser mais especulativa. E também aqui é necessário distinguir entre a inevitabilidade dos resultados técnicos ((beta)) e a inevitabilidade do ponto ((gamma)).

Vamos começar com o ponto ((beta)). Em 1928, os resultados metalógicos podem ser considerados inevitáveis. Hilbert & Ackermann haviam isolado e descrito a lógica de primeira ordem; a distinção entre matemática e meta-matemática era então bem entendida; eles haviam mostrado como provar a completude do cálculo proposicional; e eles explicitamente levantaram a integridade da lógica de primeira ordem como um importante problema em aberto. Era certo que, nos próximos anos, algum lógico empreendedor daria uma resposta: por acaso, Gödel chegou primeiro. Seria, então, um próximo passo óbvio para investigar a integridade dos sistemas de ordem superior. Assim, alguns anos depois de Hilbert e Ackermann, os teoremas metalógicos básicos teriam sido estabelecidos.

Se isso estiver correto, o passo decisivo de Hilbert nas palestras de 1917/18 não foi o isolamento da lógica de primeira ordem - ou seja, não o passo ((alpha)). Essa era uma questão comparativamente insignificante. Esse passo já havia sido dado explicitamente por Peirce e tacitamente por Weyl e Löwenheim. Hilbert não o considerou importante e parece tê-lo visto principalmente como um dispositivo expositivo, um meio de simplificar a apresentação da lógica do Principia Mathematica. O passo importante em 1917 foi antes a introdução de técnicas de metamatemática e o levantamento explícito de questões de completude, consistência e decidibilidade. Colocar essas questões para sistemas de lógica foi um enorme salto conceitual, e Hilbert entendeu isso como tal. Suas primeiras tentativas, feitas em seu discurso em Heidelberg em 1905,desabara sob as críticas de Poincaré e ele lutara para encontrar uma formulação satisfatória. E mesmo depois de introduzir suas distinções metalógicas em seus artigos da década de 1920, os lógicos do calibre de Russell e Brouwer e Ramsey tiveram dificuldade em entender o que ele estava tentando fazer. Esse desenvolvimento foi, em 1917, quase inevitável: e sem a introdução das técnicas metalógicas, a história da lógica e da teoria da prova nas décadas de 1920 e 1930 teria parecido muito diferente. Os teoremas de Gödel já foram concebidos? O trabalho de Löwenheim, Skolem ou Zermelo levaria independentemente a uma investigação das propriedades metalógicas da lógica de primeira ordem? Em retrospecto, pode-se imaginar um caminho alternativo para os resultados técnicos ((beta)),mas não há razão para supor que eles estavam destinados a emergir quando surgiram ou como surgiram.

Uma questão mais sutil surge se nos voltarmos agora ao ponto ((gamma)) e perguntarmos: Era inevitável que a lógica de primeira ordem passasse a ser considerada como um sistema lógico "privilegiado"? Como vimos, os resultados metalógicos da década de 1930 não estabelecem a primazia da lógica de primeira ordem. O “privilégio” veio mais tarde e parece ter dependido de considerações filosóficas: a necessidade de evitar os paradoxos teóricos, uma busca de fundamentos seguros para a matemática, um desejo de acomodar as objeções de Brouwer e Weyl, uma sensação que as lógicas de pedidos eram metodologicamente suspeitas e evitáveis. Todas essas coisas mostram a contínua influência do Grundlagenkrise da década de 1920, que fez muito para definir os termos do subsequente entendimento filosófico dos fundamentos da matemática.

Portanto, é importante enfatizar que uma história alternativa era possível e que o nascer do Sol Grundlagen estava totalmente ausente dos escritos lógicos de Hilbert em 1917/18. Os nomes de Brouwer e Weyl não são mencionados em nenhum lugar. É claro que Hilbert está ciente dos paradoxos (que ele conhecia desde 1897), mas há muito acreditava que a axiomatização de Zermelo havia mostrado como evitá-los. Também não encontramos em seus escritos nenhuma busca pela "única e verdadeira lógica". Pelo contrário. Tanto em 1917/18 quanto nas notas de aula não publicadas do início dos anos 20, a ênfase está no uso de novas técnicas metalógicas para explorar os pontos fortes e fracos de uma diversidade de sistemas lógicos. O trabalho é explicitamente realizado no espírito de seus estudos dos axiomas da geometria. Ele vai pegar um sistema, explorá-lo por um tempo e depois soltá-lo para examinar outra coisa. No pluralismo e na atitude pragmática e experimental, ele está mais próximo de Peirce do que dos lógicos.

O nascer do sol Grundlagen e seu intercâmbio público e polêmico com Brouwer vieram mais tarde, e eles deram uma imagem distorcida das motivações por trás de suas investigações lógicas. Qual foi o impacto desses debates filosóficos sobre os aspectos técnicos de seu programa? Para a formulação da lógica de primeira ordem e para a formulação de questões metalógicas, a resposta é fácil: não houve impacto algum. O conteúdo de Hilbert & Ackermann 1928 já estava presente nas palestras de 1917/18. Quanto à pesquisa teórica de Hilbert da década de 1920, as principais linhas de desenvolvimento emergiram de maneira bastante independente de Brouwer e Weyl. As polêmicas podem ter acrescentado um senso de urgência, mas é difícil detectar qualquer influência na matemática real.

Portanto, mesmo se imaginarmos o nascer do sol filosófico de Grundlagen inteiramente afastado da imagem, os resultados técnicos da escola Hilbert não teriam sido significativamente afetados. Os resultados de completude e incompletude teriam, com toda a probabilidade, chegado mais ou menos dentro do cronograma. (Vale a pena notar que Bernays e Hilbert haviam contemplado a possibilidade de vários tipos de incompletude já em 1928: veja a discussão de Wilfried Sieg em Hilbert [LFL]: 792–796.) Mas esses resultados teriam emergido de maneira muito clima filosófico diferente. Os teoremas da incompletude provavelmente seriam recebidos como uma importante contribuição técnica dentro do programa Hilbert mais amplo, e não como uma refutação dramática. Talvez (como Angus Macintyre 2011 sugeriu) eles teriam sido vistos mais como os resultados da independência na teoria dos conjuntos, com menos discussão sobre os limites da criatividade matemática.

Em outras palavras, longe de ser inevitável, o surgimento, no final da década de 1930, da lógica de primeira ordem como um sistema privilegiado de lógica dependia de duas coisas, cada uma independente da outra. Do lado matemático, dependia da introdução de Hilbert de técnicas metalógicas; do lado filosófico, dependia dos argumentos do nascer Grundlagen. Nenhuma dessas coisas era inevitável: nem o fato de terem ocorrido aproximadamente ao mesmo tempo. Com uma história diferente, a atitude flexível de Hilbert poderia ter prevalecido, e poderia ter havido mais ênfase em sistemas de ordem superior ou na exploração de lógicas algébricas, lógicas infinitárias, sistemas teóricos de categorias e afins: em resumo, na lógica pluralismo.

Vale a pena observar que, à medida que as preocupações filosóficas do Grundlagenkrise retrocederam e à medida que novas abordagens da direção da ciência da computação e da teoria da homotopia entraram em campo, a primazia da lógica de primeira ordem está aberta à reconsideração.

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