Lógica Epistêmica

Índice:

Lógica Epistêmica
Lógica Epistêmica
Anonim

Navegação de entrada

  • Conteúdo da Entrada
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Pré-visualização do Friends PDF
  • Informações sobre autor e citação
  • De volta ao topo

Lógica Epistêmica

Publicado pela primeira vez em 7 de junho de 2019

A lógica epistêmica é um subcampo da epistemologia preocupado com abordagens lógicas do conhecimento, crença e noções relacionadas. Embora qualquer lógica com uma interpretação epistêmica possa ser chamada de lógica epistêmica, o tipo mais difundido de lógica epistêmica em uso atualmente é a lógica modal. Conhecimento e crença são representados através dos operadores modais K e B, geralmente com um índice indicando o agente que mantém a atitude. As fórmulas (K_ {a} varphi) e (B_ {a} varphi) são então lidas “agente a sabe que phi” e “agente a acredita que phi”, respectivamente. A lógica epistêmica permite a exploração formal das implicações dos princípios epistêmicos. Por exemplo, a fórmula (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) afirma que o que é conhecido é verdadeiro, enquanto (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi) afirma que o que é conhecido é conhecido por ser conhecido. A semântica da lógica epistêmica é tipicamente dada em termos de mundos possíveis pelos modelos Kripke, de modo que a fórmula (K_ {a} varphi) é lida para afirmar que (varphi) é verdadeiro em todos os agentes de mundos considerados epistemicamente. possível em relação às informações atuais. Os problemas centrais que preocuparam os lógicos epistêmicos incluem, por exemplo, determinar quais princípios epistêmicos são mais apropriados para caracterizar conhecimento e crença, as relações lógicas entre diferentes concepções de conhecimento e crença e as características epistêmicas de grupos de agentes. Além da filosofia propriamente dita, a lógica epistêmica floresce na ciência da computação teórica, na economia e em campos relacionados.

  • 1. Introdução
  • 2. A Abordagem Modal do Conhecimento

    • 2.1 A linguagem formal da lógica epistêmica
    • 2.2 Atitudes de ordem superior
    • 2.3 O Princípio da Partição e Semântica Modal
    • 2.4 Modelos de Kripke e a interpretação indistinguível do conhecimento
    • 2.5 Princípios epistemológicos na lógica epistêmica
    • 2.6 Princípios de conhecimento e crença
  • 3. Conhecimento em Grupos

    • 3.1 Idiomas e modelos de vários agentes
    • 3.2 Noções de Conhecimento de Grupo
  • 4. Onisciência Lógica
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. Introdução

Os textos aristotélicos estabelecem as bases para discussões sobre a lógica do conhecimento e da crença, particularmente De Sophisiticis Elenchis, bem como as análises anteriores e posteriores. Enquanto Aristóteles tratava dos quatro modos aléticos de possibilidade, necessidade, impossibilidade e contingência, Buridan, Pseudo Scotus, Ockham e Ralph Strode, ajudaram a estender as idéias de Aristóteles a temas e problemas epistêmicos (Boh 1993; Knuuttila 1993). Durante esse período, o Pseudo-Scot e William de Ockham complementaram o estudo de Aristóteles sobre atos mentais de cognição e volição (ver Boh 1993: 130). Os estudos de Ivan Boh sobre a história das investigações dos séculos XIV e XV sobre a lógica epistêmica fornecem uma excelente cobertura do tópico, especialmente sua lógica epistêmica na Idade Média posterior (1993).

Segundo Boh, o filósofo inglês Ralph Strode formulou um sistema totalmente geral de regras epistêmicas proposicionais em seu influente livro de 1387 Conseqüências (Boh 1993: 135). A apresentação de Strode se baseou nos tratados lógicos anteriores de Ockham e Burley. Problemas da lógica epistêmica também foram discutidos entre as décadas de 1330 e 1360 pelas chamadas Calculadoras de Oxford, com destaque por William Heytesbury e Richard Kilvington. No século XV, Paulo de Veneza e outros filósofos italianos também se envolveram em uma sofisticada reflexão sobre a relação entre conhecimento, verdade e ontologia.

As discussões da lógica epistêmica durante o período medieval compartilham um conjunto semelhante de suposições fundamentais com as discussões contemporâneas. Mais importante, os filósofos medievais exploraram a conexão entre conhecimento e veracidade: se eu conheço p, então p é verdadeiro. Além disso, muitas discussões medievais começam com uma suposição semelhante à observação de GE Moore de que um agente epistêmico não pode afirmar coerentemente "p, mas eu não acredito (sei) p". Frases deste formulário são geralmente chamadas de sentenças de Moore.

Os tratamentos modernos da lógica do conhecimento e da crença surgiram do trabalho de filósofos e lógicos que escreveram de 1948 a 1950. Rudolf Carnap, Jerzy Öoś, Arthur Prior, Nicholas Rescher, GH von Wright e outros reconheceram que nosso discurso sobre conhecimento e crença admite um tratamento dedutivo axiomático. Entre os muitos artigos importantes que surgiram na década de 1950, o trabalho seminal de von Wright (1951) é amplamente reconhecido como tendo iniciado o estudo formal da lógica epistêmica como a conhecemos hoje. As idéias de Von Wright foram ampliadas por Jaakko Hintikka em seu livro Conhecimento e Crença: Uma Introdução à Lógica das Duas Noções (1962). Hintikka forneceu uma maneira de interpretar conceitos epistêmicos em termos de possível semântica do mundo e, como tal, serviu como texto fundamental para o estudo da lógica epistêmica desde então.

Nas décadas de 1980 e 1990, os lógicos epistêmicos concentraram-se nas propriedades lógicas de sistemas contendo grupos de conhecedores e, posteriormente, ainda nas características epistêmicas dos chamados contextos “multimodais”. Desde os anos 90, o trabalho em lógica epistêmica dinâmica estendeu a lógica epistêmica tradicional modelando o processo dinâmico de aquisição de conhecimento e revisão de crenças. Nas duas últimas décadas, a lógica epistêmica passou a abranger um amplo conjunto de abordagens formais ao estudo interdisciplinar de conhecimento e crença.

O interesse na lógica epistêmica se estende muito além dos filósofos. As décadas recentes têm visto muita atenção interdisciplinar da lógica epistêmica com economistas e cientistas da computação desenvolvendo ativamente o campo junto com lógicos e filósofos. Em 1995, dois livros importantes sinalizaram a interação fértil entre ciência da computação e lógica epistêmica: Fagin, Halpern, Moses e Vardi (1995) e Meyer e van der Hoek (1995). O trabalho dos cientistas da computação tornou-se cada vez mais central na lógica epistêmica nos anos seguintes.

Entre os filósofos, há maior atenção à interação entre essas abordagens formais e os problemas epistemológicos tradicionais (ver, por exemplo, van Benthem 2006; Hendricks & Symons 2006; Stalnaker 2006; Holliday 2018).

Existem vários textos introdutórios sobre lógica epistêmica, por exemplo, van Benthem (2011); Ditmarsch, Hoek e Kooi (2007); Ditmarsch et al. (2015); Gochet e Gribomont (2006); e Meyer (2001) com Lenzen (1980), fornecendo uma visão geral dos desenvolvimentos iniciais.

2. A Abordagem Modal do Conhecimento

Até relativamente recentemente, a lógica epistêmica se concentrava quase exclusivamente no conhecimento proposicional. Nos casos de conhecimento proposicional, um agente ou um grupo de agentes carrega a atitude proposicional de conhecer em relação a alguma proposição. Por exemplo, quando alguém diz: “Zoe sabe que há uma galinha no quintal”, alguém afirma que Zoe é o agente que carrega a atitude proposicional sabendo da proposição expressa pela sentença em inglês “há uma galinha no quintal”. Agora imagine que Zoe não sabe se há uma galinha no quintal. Por exemplo, pode ser que ela não tenha acesso a informações sobre se existe ou não uma galinha no quintal. Nesse caso, sua falta de informação significa que ela considerará dois cenários possíveis, um em que há uma galinha no quintal e outro em que não há.

Talvez ela tenha alguma decisão prática que envolva não apenas galinhas, mas também a presença de cães assustadores no quintal. Ela pode querer alimentar as galinhas, mas só o fará se não houver cachorro no quintal. Se ela ignorou se existe um cachorro no quintal, o número de cenários que ela deve considerar em suas deliberações aumenta para quatro. Claramente, é preciso considerar alternativas epistêmicas quando não temos informações completas sobre as situações que são relevantes para nossas decisões. Como veremos abaixo, a semântica de mundos possíveis forneceu uma estrutura útil para entender a maneira pela qual os agentes podem raciocinar sobre alternativas epistêmicas.

Embora os lógicos epistêmicos tradicionalmente se concentrassem em saber disso, encontramos uma variedade de outros usos do conhecimento na linguagem natural. Como Wang (2015) aponta, as expressões saber como, saber o quê, saber o porquê são muito comuns, aparecem quase com tanta frequência (às vezes com mais frequência) na linguagem falada e escrita quanto o saber. Recentemente, lógicas epistêmicas fora do padrão de tais expressões foram desenvolvidas, embora sabendo quem construções estão presentes no Knowledge and Belief de Hintikka (1962; ver também Boër & Lycan 1986; Rendsvig 2012). Assim, além do conhecimento proposicional, a lógica epistêmica também sugere maneiras de sistematizar a lógica das perguntas e respostas (Brendan sabe por que o cão latiu). Ele também fornece informações sobre as relações entre vários modos de identificação (Zoe sabe que esse homem é o presidente). Aqui, pode-se dizer que o agente conhece um fato que relaciona vários modos de identificação, na medida em que identifica corretamente o presidente, que ela pode conhecer nas histórias do jornal com o homem que vê à sua frente, que ela identifica como um objeto em seu campo visual (Hintikka & Symons 2003). A lógica epistêmica também pode fornecer informações sobre questões de "know-how" processual (Brendan sabe como mudar um fusível). Por exemplo, saber como (varphi) pode ser entendido como equivalente à alegação de que existe uma maneira de que um agente saiba que é uma maneira de garantir isso (varphi) (consulte Wang 2015, 2018). O trabalho referente às justificativas do conhecimento também foi realizado por combinações da lógica da justificação com a lógica epistêmica (ver, por exemplo, Artemov & Nogina 2005; Renne 2008). Há trabalho em andamento sobre esses e outros tópicos, e novos desenvolvimentos estão aparecendo constantemente.

2.1 A linguagem formal da lógica epistêmica

Trabalhos recentes em lógica epistêmica se baseiam em uma concepção modal de conhecimento. Para ser claro sobre o papel da modalidade na lógica epistêmica, é útil introduzir os elementos básicos do formalismo moderno. Por uma questão de simplicidade, começamos com o caso de conhecimento e crença de um único agente, adiando a consideração de vários agentes para a Seção 3, Uma linguagem lógica epistêmica prototípica é dada fixando primeiro um conjunto de variáveis proposicionais (p_ {1}), (p_ {2}),…. Em aplicações da lógica epistêmica, as variáveis proposicionais recebem interpretações específicas: por exemplo, (p_ {1}) pode ser interpretado como a proposição “há uma galinha no quintal” e (p_ {2}) o proposição “existe um cachorro no quintal”, etc. As variáveis proposicionais representam proposições que são representadas em nenhum detalhe mais fino na linguagem formal. Como tal, são, portanto, frequentemente chamadas de proposições atômicas ou simplesmente átomos. Vamos Atom denotar o conjunto de proposições atômicas.

Além das proposições atômicas, a lógica epistêmica complementa a linguagem da lógica proposicional com um operador modal, (K_ {a}), para conhecimento e (B_ {a}), para crença.

(K_ {a} varphi) diz “O agente a sabe disso (varphi)”

e da mesma forma

(B_ {a} varphi) diz “O agente a acredita que (varphi)”.

Em muitas publicações recentes sobre lógica epistêmica, o conjunto completo de fórmulas na linguagem é fornecido usando a chamada forma Backus-Naur. Esta é simplesmente uma técnica notacional derivada da ciência da computação que fornece uma definição recursiva das fórmulas consideradas gramaticalmente "corretas", isto é, o conjunto de fórmulas bem formadas:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / mid B_ {a} varphi, / text {for} p / in / textit {Átomo}.)

Isso diz que (varphi) é p, se p é um átomo. (neg / varphi) é uma fórmula bem formada se (varphi) já for uma fórmula bem formada. O símbolo '(neg)' é uma negação e '(wedge)' uma conjunção: (neg / varphi) lê 'not (varphi)' enquanto ((varphi / wedge / psi)) lê '(varphi) e (psi)'. Vamos chamar essa linguagem básica que inclui um operador de conhecimento K e um operador de consulta, (mathcal {L} _ {KB}). Como na lógica proposicional, conectivos adicionais são definidos em (neg) e (wedge): A notação típica é '(vee)' para 'ou', '(rightarrow)' para ' se …, então … 'e' (leftrightarrow) 'para' … se, e somente se, … '. Também normalmente (top) ('top') e (bot) ('bottom') são usados para denotar a proposição constantemente verdadeira e a proposição constantemente falsa, respectivamente.

Como veremos abaixo, (K_ {a} varphi) é lido como afirmando que (varphi) é válido em todos os mundos acessíveis a. Nesse sentido, K pode ser considerado como se comportando de maneira semelhante ao operador 'box', (square), frequentemente usado para denotar necessidade. Ao avaliar (K_ {a} varphi) em um mundo possível w, está-se efetivamente avaliando uma quantificação universal sobre todos os mundos acessíveis a partir de w. O quantificador universal (forall) na lógica de primeira ordem tem o quantificador existencial (existe) como seu dual: Isso significa que os quantificadores são mutuamente definíveis, considerando (forall) como primitivo e definindo (existe x / varphi) como abreviação de (neg / forall x / neg / varphi) ou tomando (existir) como primitivo e definindo (forall x / varphi) como (neg / existe x / neg / varphi). No caso de (K_ {a}),pode-se ver que a fórmula (neg K_ {a} neg / varphi) faz uma quantificação existencial: Diz que existe um mundo acessível que satisfaz (varphi). Na literatura, um operador duplo para (K_ {a}) é frequentemente introduzido. A notação típica para (neg K_ {a} neg) inclui (langle K_ {a} rangle) e (widehat {K} _ {a}). Essa notação imita a forma de losango (losango), que é o operador duplo padrão da caixa (quadrado), que por sua vez é a notação padrão para o operador modal de quantificação universal (consulte a entrada sobre lógica modal). A notação típica para (neg K_ {a} neg) inclui (langle K_ {a} rangle) e (widehat {K} _ {a}). Essa notação imita a forma de losango (losango), que é o operador duplo padrão da caixa (quadrado), que por sua vez é a notação padrão para o operador modal de quantificação universal (consulte a entrada sobre lógica modal). A notação típica para (neg K_ {a} neg) inclui (langle K_ {a} rangle) e (widehat {K} _ {a}). Essa notação imita a forma de losango (losango), que é o operador duplo padrão da caixa (quadrado), que por sua vez é a notação padrão para o operador modal de quantificação universal (consulte a entrada sobre lógica modal).

Linguagens mais expressivas na lógica epistêmica envolvem a adição de operadores para várias noções de conhecimento de grupo (consulte a Seção 3). Por exemplo, como discutimos abaixo, o operador de conhecimento comum e os chamados operadores dinâmicos são adições importantes à linguagem da lógica epistêmica. Operadores dinâmicos podem indicar, por exemplo, o verdadeiro anúncio público de (varphi): ((varphi!]). Uma fórmula ((varphi!] Psi) é lida “se (varphi) for verdadeiramente anunciada a todos, depois do anúncio, (psi) será o caso”. A questão de quais tipos de poder expressivo são adicionados à adição de operadores é um tópico de pesquisa que está sendo investigado ativamente na lógica epistêmica dinâmica. Portanto, por exemplo, adicionar ((varphi!]) Sozinho a (mathcal {L} _ {KB}) não adiciona poder expressivo,mas em uma linguagem que também inclui conhecimento comum, é verdade.

2.2 Atitudes de ordem superior

Observe que, por exemplo, (K_ {a} K_ {a} p) é uma fórmula no idioma que introduzimos acima. Ele afirma que o agente a sabe que o agente a sabe que p é o caso. Fórmulas com operadores epistêmicos aninhados desse tipo expressam uma atitude de ordem superior: uma atitude relativa à atitude de algum agente.

Atitudes de ordem superior são um tema recorrente na lógica epistêmica. As frases de Moore acima mencionadas, por exemplo, (B_ {a} (p / cunha B_ {a} neg p)) expressam uma atitude de ordem superior. O mesmo acontece com muitos dos princípios epistêmicos discutidos na literatura e abaixo. Considere o seguinte princípio epistêmico proeminente envolvendo conhecimento de ordem superior: (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi). É razoável exigir que o conhecimento satisfaça esse esquema, isto é, se alguém souber (varphi), então eles saberão que sabem (varphi)? Em parte, podemos hesitar antes de aceitar esse princípio em virtude da atitude de ordem superior envolvida. Esta é uma questão de discussão em andamento na lógica epistemológica e na epistemologia.

2.3 O Princípio da Partição e Semântica Modal

A semântica da linguagem formal introduzida acima é geralmente apresentada em termos dos chamados mundos possíveis. Na lógica epistêmica, os mundos possíveis são interpretados como alternativas epistêmicas. Hintikka foi o primeiro a articular explicitamente tal abordagem (1962). Essa é outra característica central de sua abordagem da epistemologia, que continua a informar os desenvolvimentos hoje. Pode-se afirmar, simplificado, [1] como segue:

Princípio da Partição: Qualquer atitude proposicional divide o conjunto de mundos possíveis naqueles que estão de acordo com a atitude daqueles que não o são.

O princípio da partição pode ser usado para fornecer uma semântica para o operador de conhecimento. Informalmente, (K_ {a} varphi) é verdadeiro no mundo w se, e somente se (varphi) é verdadeiro em todo mundo (w ') compatível com o que se sabe em w.

Aqui, o agente a sabe que (varphi), caso o agente tenha informações que excluam todas as possibilidades de erro, exclua todos os casos em que (neg / varphi).

2.4 Modelos de Kripke e a interpretação indistinguível do conhecimento

Desde os anos 1960, os modelos de Kripke, definidos abaixo, serviram de base para a semântica mais amplamente usada para todas as variedades de lógica modal. O uso dos modelos de Kripke na representação de conceitos epistêmicos envolve assumir uma posição filosófica em relação a esses conceitos. Uma interpretação difundida, especialmente em economia teórica e ciência da computação, entende o conhecimento em termos de indistinguibilidade informacional entre mundos possíveis. O que vamos chamar aqui de interpretação da indistinguibilidade remonta pelo menos a Lehmann (1984).

Como a interpretação da indistinguibilidade diz respeito ao conhecimento, mas não à crença, trabalharemos com uma linguagem sem operadores de crença. Portanto, permita que o idioma (mathcal {L} _ {K}) seja fornecido pelo formulário Backus-Naur

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} varphi / text {para} p / in / textit {Atom}.)

Como veremos, a interpretação da indistinguibilidade envolve requisitos muito rigorosos para que algo se qualifique como conhecimento. Nós o apresentamos aqui para fins pedagógicos, colocando os detalhes formais da interpretação em ordem para introduzir e explicar posições relativamente menos extremas a partir de então.

Considere novamente o caso de Zoe, a galinha e o cachorro. O exemplo envolve duas proposições, que iremos identificar com os átomos formais:

p leia como “há uma galinha no quintal”.

e

q leia como "há um cachorro no quintal".

Vale ressaltar que, para fins de formalização desse cenário, essas duas são as únicas proposições de interesse. Estamos restringindo nossa atenção a (textit {Atom} = {p, q }). Nas apresentações iniciais da lógica epistêmica e em grande parte da lógica epistêmica padrão atualmente, todos os átomos de interesse são incluídos desde o início. Obviamente, este é um cenário idealizado. É importante observar o que essa abordagem deixa de fora. Considerações que não são capturadas dessa maneira incluem o aparecimento de novos átomos; a ideia de que outras proposições atômicas possam ser introduzidas em algum estado futuro por meio de algum processo de aprendizado, por exemplo, ou a questão da consciência de um agente sobre proposições;o cenário em que um agente pode desconhecer temporariamente algum átomo devido a algum fator psicológico ou outro (consulte a Seção 4 para obter referências à chamada lógica da consciência). Por enquanto, o ponto principal é que a lógica epistêmica padrão começa com a suposição de que o conjunto Atom esgota o espaço de proposições para o agente.

Com dois átomos, existem quatro maneiras diferentes de um mundo ser consistentemente. Podemos representar cada um por uma caixa:

Quatro mundos básicos: quatro caixas seguidas com algum espaço entre elas. O primeiro rotulado w1 e contém o par: p, q. O segundo rotulado w2 com o par: p não q. O terceiro, w3, com o par: não p, q. O quarto, w4, com o par: não p, não q. Quase todas as imagens subseqüentes contêm o mesmo com algumas pequenas modificações
Quatro mundos básicos: quatro caixas seguidas com algum espaço entre elas. O primeiro rotulado w1 e contém o par: p, q. O segundo rotulado w2 com o par: p não q. O terceiro, w3, com o par: não p, q. O quarto, w4, com o par: não p, não q. Quase todas as imagens subseqüentes contêm o mesmo com algumas pequenas modificações

As quatro caixas podem ser formalmente representadas por um conjunto (W = {w_ {1}, w_ {2}, w_ {3}, w_ {4} }), normalmente chamado de conjunto de mundos possíveis. Cada mundo é ainda rotulado com os átomos verdadeiros nesse mundo. Eles são rotulados por uma função V, a avaliação. A avaliação especifica quais átomos são verdadeiros em cada mundo da seguinte maneira: Dado um átomo p, (V (p)) é o subconjunto de mundos nos quais p é verdadeiro. [2] Que (w_ {1}) é rotulado com peq significa que (w_ {1} em V (p)) e (w_ {1} em V (q)). Na ilustração, (V (p) = {w_ {1}, w_ {2} }) e (V (q) = {w_ {1}, w_ {3} }).

Para fins de apresentação, suponha que realmente haja uma galinha no quintal, mas nenhum cachorro. Então (w_ {2}) representaria o mundo real do modelo. Nas ilustrações, o mundo real é geralmente destacado:

Os Quatro Mundos Básicos, exceto w2, são destacados com uma linha dupla em vez de uma única linha para a caixa
Os Quatro Mundos Básicos, exceto w2, são destacados com uma linha dupla em vez de uma única linha para a caixa

Agora, suponha que a galinha esteja sempre cacarejando, mas que o cachorro nunca late e que, embora Zoe tenha uma audição aguda, ela não pode ver o quintal. Depois, existem certos mundos possíveis que Zoe não consegue distinguir: possíveis maneiras pelas quais as coisas podem ser que ela não consegue distinguir. Por exemplo, estando no mundo com apenas uma galinha ((p, / neg q)), Zoe não pode dizer se está no mundo com galinha e cachorro ((p, q)): sua situação é de modo que Zoe está ciente de duas maneiras pelas quais as coisas poderiam ser, mas suas informações também não permitem que ela as elimine.

Para ilustrar que um mundo possível não pode ser distinguido de outro, uma seta é tipicamente desenhada do primeiro para o último:

Quatro mundos básicos, exceto w2, é destacado e uma seta aponta de w2 para w1
Quatro mundos básicos, exceto w2, é destacado e uma seta aponta de w2 para w1

Aqui, as setas representam uma relação binária em mundos possíveis. Na lógica modal em geral, é chamada de relação de acessibilidade. Sob a interpretação indistinguível da lógica epistêmica, às vezes é chamada de relação indistinguível. Formalmente, denote a relação (R_ {a}), com o subscrito mostrando que a relação pertence ao agente a. A relação é um subconjunto do conjunto de pares ordenados de mundos possíveis, ({(w, w ') colon w, w' / in W }). Um mundo w "aponta" para outro (w ') se ((w, w') em R_ {a}). Nesse caso, é dito que (w ') é acessível (indistinguível) de w. Na literatura, isso geralmente é escrito (wR_ {a} w ') ou (R_ {a} ww'). A notação '(w' / em R_ {a} (w)) 'também é comum: o conjunto (R_ {a} (w)) é então o mundo acessível a partir de w, ou seja, [R_ {a} (w): = {w '\ em W: (w, w') em R_ {a} }.)

Uma observação final: o conjunto ({(w, w ') colon w, w' / em W }) é frequentemente escrito (W / times W), o produto cartesiano de W consigo mesmo.

Para (R_ {a}) representar fielmente uma relação de indistinguibilidade, que mundos ela deve se relacionar? Se Zoe mergulhou em (w_ {1}) por exemplo, ela poderia dizer que não está em (w_ {2})? Não: a relação de indistinguibilidade é simétrica se não se pode distinguir a de b, nem se pode distinguir b de a. O fato de uma relação ser simétrica geralmente é traçada pela omissão total das pontas de setas ou pela colocação das duas direções:

Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1
Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1

Quais dos mundos restantes são indistinguíveis? Dado que a galinha está sempre cacarejando, Zoe tem informações que lhe permitem distinguir (w_ {1}) e (w_ {2}) de (w_ {3}) e (w_ {4}) e vice-versa, cf. simetria. Portanto, não há flechas entre estes. Os mundos (w_ {3}) e (w_ {4}) são indistinguíveis. Isso nos leva à seguinte representação:

Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4
Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4

Como nenhuma informação permitirá a Zoe distinguir algo de si mesma, assim, qualquer mundo possível está relacionado a si mesma; a relação indistinguível é reflexiva:

Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo
Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo

A interpretação padrão do exemplo de Zoe em termos de um possível modelo de mundos agora está completa. Antes de abordar uma apresentação geral da interpretação indistinguível, vejamos o que Zoe sabe.

Lembre-se da semântica modal informal do operador de conhecimento de cima:

(K_ {a} varphi) é verdadeiro no mundo w se, e somente se (varphi) for verdadeiro em todo mundo (w ') compatível com as informações que a possui em w.

Para abordar uma definição formal, use '(w / vDash / varphi)' para significar que (varphi) é verdadeiro no mundo w. Assim, podemos definir a verdade de (K_ {a} varphi) em w por

(w / vDash K_ {a} varphi) iff (w '\ vDash / varphi) para todos (w') tais que (wR_ {a} w ').

Essa definição afirma que a conhece (varphi) no mundo w se, e somente se (varphi) é o caso em todos os mundos (w ') que a não pode distinguir de w.

Então, onde isso deixa Zoe? Primeiramente, a definição nos permite avaliar seu conhecimento em cada um dos mundos, mas, como (w_ {2}) é o mundo real, é o mundo de interesse. Aqui estão alguns exemplos do que podemos dizer sobre o conhecimento de Zoe em (w_ {2}):

  1. (w_ {2} vDash K_ {a} p). Zoe sabe que a galinha está no quintal, pois todos os mundos indistinguíveis de (w_ {2}) que seriam (w_ {1}) e (w_ {2}) se tornam realidade.
  2. (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q). Zoe não sabe que o cachorro está no quintal, pois um dos mundos indistinguíveis de fato (w_ {2}) em si torna q falso.
  3. (w_ {2} vDash K_ {a} K_ {a} p). Zoe sabe que sabe p porque (a)) (w_ {2} vDash K_ {a} p) (cf. 1.) e (b)) (w_ {1} vDash K_ {a} p).
  4. (w_ {2} vDash K_ {a} neg K_ {a} q). Zoe sabe que ela não sabe q porque (a)) (w_ {2} vDash / neg K_ {a} q) (cf. 2.) e (b)) (w_ {1 } vDash / neg K_ {a} q).

Poderíamos dizer muito mais sobre o conhecimento de Zoe: todas as fórmulas da linguagem epistêmica sem operadores de crença podem ser avaliadas no modelo. Assim, representa todas as informações de ordem superior de Zoe sobre seu próprio conhecimento sobre quais pontos 3. e 4. são os primeiros exemplos.

Um último ingrediente é necessário antes que possamos declarar a interpretação indistinguível em sua total generalidade. No exemplo acima, foi demonstrado que a relação de indistinguibilidade era simétrica e reflexiva. Formalmente, essas propriedades podem ser definidas da seguinte maneira:

Definição: Uma relação binária (R / subseteq W / vezes W) é

  1. iff reflexivo para todos (w / em W, wRw),
  2. iff simétrico para todos (w, w '\ em W,) se (wRw'), então (w'Rw).

O ingrediente que falta é então a propriedade relacional da transitividade. 'Menor que' é um exemplo de propriedade transitiva: Seja x menor que y e y menor que z. Então x deve ser menor que z. Portanto, dados (w_ {1}, w_ {2}) e (w_ {3}), se a relação R mantiver entre (w_ {1}) e (w_ {2}) e entre (w_ {2}) e (w_ {3}), a seta entre (w_ {1}) e (w_ {3}) é a consequência de exigir que a relação seja transitiva:

Um diagrama de três nós: w1, w2 e w3. Uma seta denominada 'assumido' vai de w1 a w2 e outra seta com o mesmo rótulo vai de w2 a w3. Uma terceira seta, denominada 'implícita', vai de w1 a w3
Um diagrama de três nós: w1, w2 e w3. Uma seta denominada 'assumido' vai de w1 a w2 e outra seta com o mesmo rótulo vai de w2 a w3. Uma terceira seta, denominada 'implícita', vai de w1 a w3

Formalmente, a transitividade é definida da seguinte forma:

Definição: Uma relação binária (R / subseteq W / times W) é transitiva se todos os (w, w ', w' '\ em W,) se (wRw') e (w'Rw ''), então (wRw '')

Uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de relação de equivalência.

Com todos os componentes no lugar, vamos agora definir o modelo Kripke:

Definição: Um modelo Kripke para (mathcal {L} _ {K}) é uma tupla (M = (W, R, V)) onde

  • W é um conjunto não vazio de mundos possíveis,
  • R é uma relação binária em W e
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) é uma avaliação.

Na definição, '(mathcal {P} (W))' denota o conjunto de potências de W: consiste em todos os subconjuntos de W. Portanto, (V (p)), a avaliação do átomo p no modelo M, é um subconjunto dos mundos possíveis: aqueles em que p é verdadeiro. Nesta definição geral, R pode ser qualquer relação em W.

Para especificar qual mundo é real, um último parâmetro é adicionado ao modelo. Quando o mundo real é especificado, um modelo Kripke é chamado de apontado:

Definição: Um modelo Kripke apontado para (mathcal {L} _ {K}) é um par ((M, w)) onde

  • (M = (W, R, V)) é um modelo de Kripke e
  • (w / em W).

Finalmente, podemos definir formalmente a semântica que foi um pouco vagamente expressa acima. Isso é feito definindo uma relação entre os modelos Kripke apontados e as fórmulas da linguagem formal. A relação é denotada '(vDash)' e é frequentemente chamada de relação de satisfação.

A definição é a seguinte:

Definição: Seja (M = (W, R_ {a}, V)) um modelo de Kripke para (mathcal {L} _ {K}) e seja ((M, w)) um modelo apontado de Kripke. Então, para todos (p / in / textit {Atom}) e todos (varphi, / psi / in / mathcal {L} _ {K})

(begin {align} (M, w) e / vDash p & / textrm {iff} & w / em V (p) (M, w) & / vDash / neg / varphi & / textrm {iff} & / textrm {not} (M, w) vDash / varphi \(M, w) e / vDash (varphi / wedge / psi) & / textrm {iff} e (M, w) vDash / varphi / textrm {e} (M, w) vDash / psi (M, w) e / vDash K_ {a} varphi & / textrm {iff} e (M, w ') vDash / varphi / textrm {para todos } w '\ em W / textrm {tal que} wR_ {a} w'. / end {align})

A fórmula (varphi) é satisfeita no modelo apontado ((M, w)) iff ((M, w) vDash / varphi).

Em generalidade total, a interpretação de indistinguibilidade sustenta que, para (K_ {a}) capturar conhecimento, a relação (R_ {a}) deve ser uma relação de equivalência. Um modelo apontado de Kripke, para o qual isso é satisfeito, costuma ser chamado de estado epistêmico. Em estados epistêmicos, a relação é denotada por um til com o subscrito: (sim_ {a}).

Dados os modelos de Kripke apontados e a interpretação indistinguível, temos uma especificação semântica de um conceito de conhecimento. Com essa abordagem, podemos construir modelos de situações envolvendo conhecimento, como fizemos com o exemplo de brinquedo de Zoe e das galinhas. Podemos usar esses modelos para determinar o que o agente sabe ou não. Também temos os fundamentos formais para começar a fazer perguntas sobre como o conhecimento ou a incerteza do agente se desenvolve quando ele recebe novas informações, um tópico estudado na lógica epistêmica dinâmica.

Também podemos fazer perguntas mais gerais sobre o conceito de conhecimento modelado usando modelos pontiagudos de Kripke com relações indistinguíveis: Em vez de olhar para um modelo específico na época e perguntar quais fórmulas o modelo concretiza, podemos perguntar quais princípios gerais todos esses modelos concordam. em.

2.5 Princípios epistemológicos na lógica epistêmica

Estabelecer a representação formal correta do conhecimento envolve refletir cuidadosamente sobre os princípios epistemológicos com os quais estamos comprometidos. Um exemplo incontroverso de tal princípio que a maioria dos filósofos aceitará é a veridicalidade:

Se uma proposição é conhecida, então é verdade.

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi.)

Em um contexto formal, esse princípio pode ser entendido como dizendo que se (varphi) for conhecido, deve sempre ser satisfeito nos modelos de alguém. Se alguns dos modelos escolhidos falsificarem o princípio da veridicalidade, a maioria dos filósofos simplesmente consideraria esses modelos inaceitáveis.

Voltando aos modelos apontados de Kripke, agora podemos perguntar com quais princípios esses modelos se comprometem. Para começar a responder a essa pergunta, precisamos entender as características mais gerais do nosso formalismo. A estratégia na lógica modal em geral (ver Blackburn, de Rijke e Venema 2001) é abstrair-se das características contingentes de qualquer modelo. As características contingentes incluiriam, por exemplo, o número específico de mundos em consideração, a avaliação específica dos átomos e a escolha de um mundo real. Nesse caso, os únicos recursos que não são contingentes são os exigidos pela definição geral de um modelo Kripke apontado.

Para abstrair adequadamente, use um modelo Kripke apontado ((M, w) = (W, R, V, w)). Para determinar se a relação deste modelo é uma relação de equivalência, precisamos considerar apenas os mundos e a relação. O par desses elementos constitui o nível fundamental do modelo e é chamado de quadro do modelo:

Definição: Seja ((M, w) = (A, R, V, w)) um modelo Kripke pontudo. Então o par ((W, R)) é chamado de quadro de ((M, w)). Diz-se que qualquer modelo ((M ', w')) que compartilha o quadro ((W, R)) se baseia em ((W, R)).

Considere novamente o estado epistêmico para Zoe de cima:

Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo
Quatro mundos básicos, exceto w2, são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo

Vários outros modelos podem ser construídos no mesmo quadro. A seguir, dois exemplos:

Quatro mundos básicos, exceto w3 (em vez de w2), são destacados e uma flecha de duas pontas conecta w2 e w1 e outra flecha de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo. Além disso, w2 tem o par: p, q em vez de p, não q
Quatro mundos básicos, exceto w3 (em vez de w2), são destacados e uma flecha de duas pontas conecta w2 e w1 e outra flecha de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo. Além disso, w2 tem o par: p, q em vez de p, não q
Quatro mundos básicos, exceto w4 (em vez de w2 ou w3) são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo. Além disso, w1 tem o par: não p, não q; w2, w3 e w4 têm cada um o par: p, q
Quatro mundos básicos, exceto w4 (em vez de w2 ou w3) são destacados e uma seta de duas pontas conecta w2 e w1 e outra seta de duas pontas conecta w3 e w4. Cada mundo também tem uma flecha que volta ao mesmo mundo. Além disso, w1 tem o par: não p, não q; w2, w3 e w4 têm cada um o par: p, q

Com a noção de um quadro, podemos definir a noção de validade de interesse. É o segundo termo definido a seguir:

Definição: Diz-se que uma fórmula (varphi) é válida no quadro (F = (W, R)) se todo modelo Kripke apontado com base em F satisfizer (varphi), isto é, iff para cada ((M, w) = (F, V, w) = (W, R, V, w)), ((M, w) vDash / varphi). Uma fórmula (varphi) é válida na classe de quadros (mathsf {F}) (escrita (mathsf {F} vDash / varphi)) iff (varphi) é válida em todo quadro F em (mathsf {F}).

O conjunto de fórmulas válidas em uma classe de quadros (mathsf {F}) é chamado de lógicade (mathsf {F}). Denote essa lógica, ou seja, o conjunto ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {F} vDash / varphi }) por (Lambda _ { mathsf {F }}). Essa é uma abordagem semântica para definir lógicas, cada uma apenas um conjunto de fórmulas. Pode-se também definir lógicas com prova teórica, definindo uma lógica como o conjunto de fórmulas prováveis em algum sistema. Com a lógica como apenas conjuntos de fórmulas, os resultados de solidez e completude podem ser expressos usando a inclusão de conjuntos. Para exemplificar, seja (mathsf {A}) um conjunto de axiomas e escreva (mathsf {A} vdash / varphi) quando (varphi) for possível em (mathsf {A}) usando um determinado conjunto de regras de dedução. Deixe a lógica resultante o conjunto de teoremas ser denotado (Lambda _ { mathsf {A}}). É o conjunto de fórmulas de (mathcal {L} _ {K}) comprovável em (mathsf {A}), ou seja,o conjunto ({ varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {A} vdash / varphi }). A lógica (Lambda _ { mathsf {A}}) é correta em relação a (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {A}} subseteq / Lambda _ { mathsf {F }}) e complete com relação a (mathsf {F}) iff (Lambda _ { mathsf {F}} subseteq / Lambda _ { mathsf {A}}).[3]

Voltando à interpretação indistinguível do conhecimento, podemos procurar encontrar os princípios epistemológicos com os quais a interpretação está comprometida. Há uma resposta trivial de pouco interesse direto: Seja (mathsf {EQ}) a classe de quadros com relações de equivalência. Então a lógica da interpretação indistinguível é o conjunto de fórmulas de (mathcal {L} _ {K}) que são válidas sobre (mathsf {EQ}), ou seja, o conjunto (Lambda _ { mathsf {EQ}}: = { varphi / in / mathcal {L} _ {K} colon / mathsf {EQ} vDash / varphi }). Não é muito informativo.

Adotar uma abordagem axiomática para especificar a lógica, no entanto, produz uma apresentação em termos de princípios fáceis de entender. Para começar com o mais simples, o princípio T declara que o conhecimento é factual: se o agente souber (varphi), então (varphi) deverá ser verdadeiro. O K mais complicado afirma que, se o agente conhece uma implicação, se o agente conhece o antecedente, também conhece o consequente. Ou seja, se incluirmos a regra de derivação modus ponens (de (varphi / rightarrow / psi) e (varphi), conclua (psi)) como regra de nossa lógica do conhecimento, K afirma que o conhecimento está fechado sob implicação. O princípio B afirma que se (varphi) for verdadeiro, o agente saberá que considera (varphi) possível. Finalmente, 4 afirma que, se o agente souber (varphi), ele saberá que (varphi). T,B e 4 na tabela abaixo (os nomes são históricos e nem todos são significativos).

(begin {align} textrm {K} & & (K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) & / rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi) / \ textrm {T} & K_ {a} varphi & / rightarrow / varphi \\ / textrm {B} & & / varphi & / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi \\ / textrm { 4} & K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Em vez de intuições epistemológicas, poderíamos discutir um conceito de conhecimento discutindo esses e outros princípios. Devemos aceitar T como um princípio que o conhecimento segue? E quanto aos outros? Antes de prosseguirmos, vamos primeiro esclarecer como os quatro princípios acima se relacionam com a interpretação indistinguível. Para fazer isso, precisamos da noção de uma lógica modal normal. Na definição abaixo, como nos princípios acima, tecnicamente estamos usando esquemas de fórmula. Por exemplo, em (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi), o (varphi) é uma variável que varia sobre fórmulas em (mathcal {L} _ {K}). Assim, estritamente falando, (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) não é uma fórmula, mas um esquema para obter uma fórmula. Uma instância modal de (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) é então a fórmula obtida deixando (varphi) ser alguma fórmula concreta de (mathcal {L} _ {K}). Por exemplo, (K_ {a} p / rightarrow p) e (K_ {a} (p / cunha K_ {a} q) rightarrow (p / cunha K_ {a} q)) são instâncias modais de T.

Definição: Seja (Lambda / subseteq / mathcal {L} _ {K}) um conjunto de fórmulas modais. Então (Lambda) é uma lógica modal normal se if (Lambda) satisfizer todos os seguintes itens:

  1. (Lambda) contém todas as instâncias modais das tautologias proposicionais clássicas.
  2. (Lambda) contém todas as instâncias modais de K.
  3. (Lambda) está fechado no modus ponens: Se (varphi / in / Lambda) e (varphi / rightarrow / psi / in / Lambda), então (psi / in / Lambda).
  4. (Lambda) está fechado sob generalização (também conhecido como necessidade): Se (varphi / in / Lambda), então (K_ {a} varphi / in / Lambda).

Existe uma menor lógica modal normal única (dada o conjunto Atom) que contém exatamente o que é exigido pela definição e nada mais. É freqüentemente chamada de lógica modal normal mínima e é indicada pelo K em negrito (não deve ser confundida com o K sem negrito que denota o esquema).

A lógica K é apenas um conjunto de fórmulas de (mathcal {L} _ {K}). Ou seja, K (subseteq / mathcal {L} _ {K}). Pontos 1.4. dá uma perspectiva sobre esse conjunto: eles fornecem uma axiomatização. Freqüentemente, como abaixo, o esquema K é chamado de axioma, embora realmente as instanciações de K sejam axiomas.

Para K, podemos adicionar princípios adicionais como axiomas (esquemas de axiomas) para obter lógicas mais fortes (lógicas que têm teoremas adicionais: Lógicas (Lambda) para as quais K (subseteq / Lambda)). De interesse imediato é a lógica chamada S5:

Definição: A lógica S5 é a menor lógica modal normal que contém todas as instâncias modais de T, B e 4.

Aqui está, então, a relação entre os quatro princípios acima e a interpretação indistinguível:

Teorema 1: A lógica S5 é a lógica da classe de modelos apontados de Kripke construídos em quadros com relações de equivalência. Ou seja, (textbf {S5} = / Lambda _ { mathsf {EQ}}).

O que esse teorema nos diz sobre os princípios do conhecimento, então? Em uma direção, diz-nos que, se alguém aceita a interpretação indistinguível, aceita implicitamente os princípios K, T, B e 4 como razoáveis para o conhecimento. Na outra direção, ele nos diz que, se alguém achar que S5 é a lógica apropriada do conhecimento e descobrir que os modelos apontados de Kripke são a maneira correta de representar semanticamente o conhecimento, será necessário usar uma relação de equivalência. Se alguém deve interpretar essa relação em termos de indistinguibilidade, é uma questão sobre a qual a lógica é silenciosa.

Ao discutir os princípios do conhecimento, pode ser que alguns dos quatro acima pareçam aceitáveis, enquanto outros não: Um pode discordar da aceitabilidade de B e 4, digamos, ao aceitar K e T. Ao entender a relação entre S5 e equivalência relações, uma perspectiva mais refinada é benéfica: o teorema 1 pode ser dividido em partes menores, refletindo a contribuição dos princípios individuais K, T, 4 e B para o requisito de equivalência, por exemplo, que a relação deve ser ao mesmo tempo reflexivo, simétrico e transitivo.

Teorema 2: Seja (F = (W, R)) um quadro. Então:

  • Todas as instâncias modais de K são válidas em F.
  • Todas as instâncias modais de T são válidas em F se R for reflexivo.
  • Todas as instâncias modais de B são válidas em F se R for simétrico.
  • Todas as instâncias modais de 4 são válidas em F se R for transitivo.

Há várias idéias a serem obtidas com o Teorema 2. Primeiro, se alguém deseja usar qualquer tipo de modelo de Kripke para capturar conhecimento, deve-se aceitar K. Ignorando alguns detalhes, deve-se de fato aceitar toda a lógica K, pois a lógica da classe de todos os modelos de Kripke (ver, por exemplo, Blackburn, de Rijke e Venema 2001).

Segundo, o teorema mostra que existe uma relação íntima entre os princípios epistêmicos individuais e as propriedades da relação. Isso, por sua vez, significa que, em geral, podemos abordar a “lógica” na lógica epistêmica de dois lados a partir de intuições sobre a relação de acessibilidade ou de intuições sobre princípios epistêmicos.

Vários sistemas lógicos modais normais mais fracos que S5 foram sugeridos na literatura. Aqui, especificamos as lógicas pelo conjunto de seus axiomas modais. Por exemplo, a lógica K é fornecida por ({ text {K} }), enquanto S5 é fornecida por ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Para estabelecer a nomenclatura, a tabela a seguir contém uma seleção de princípios da literatura com as propriedades de estrutura que eles caracterizam, cf. Aucher (2014) e Blackburn, de Rijke, & Venema (2001), na linha abaixo deles. As condições do quadro não são todas diretas.

Na Tabela 1, o índice subscrito em (R_ {a}) é omitido para facilitar a legibilidade, assim como o domínio de quantificação W sobre o qual as variáveis (x, y, z) do mundo variam.

K

(K_ {a} (varphi / rightarrow / psi) rightarrow (K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} psi))

Nenhuma: não aplicável

D

(K_ {a} varphi / rightarrow / widehat {K} _ {a} varphi)

Serial: (para todo x / existe y, xRy).

T

(K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

Reflexivo: (forall x, xRx).

4

(K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi)

Transitivo: (em todos os x, y, z, / text {se} xRy / text {e} yRz / text {, então} xRz).

B

(varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Simétrico: (forall x, y, / text {if} xRy / text {, então} yRx).

5

(neg K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi)

Euclidiano: (forall x, y, z, / text {if} xR_ {a} y / text {e} xR_ {a} z / text {e depois} yRz).

.2

(widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} widehat {K} _ {a} varphi)

Confluente: (forall x, y, / text {if } xRy / text {e} xRy ', / text {then} existe z, yRz / text {e} y'Rz).

.3

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) rightarrow (widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / widehat {K} _ {a} psi) vee / widehat {K} _ {a} (varphi / wedge / psi) vee / widehat {K} _ {a} (psi / wedge / widehat {K} _ {a } varphi)))

Nenhuma ramificação para a direita: (forall x, y, z, / text {if} xRy / text {e} xRz, / text {then} yRz / text {ou} y = z / text {ou} zRy)

.3.2

((widehat {K} _ {a} varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} psi) rightarrow K_ {a} (widehat {K} _ {a} varphi / vee / psi))

Semi-euclidiano: (forall x, y, z,) if (xRy) e (xRz), então (zRx) ou (yRz).

.4

((varphi / wedge / widehat {K} _ {a} K_ {a} varphi) rightarrow K_ {a} varphi)

Desconhecido para os autores: Não aplicável

Tabela 1. Princípios epistêmicos e suas condições de estrutura.

Adicionar princípios epistêmicos como axiomas à lógica modal normal mínima básica K produz novas lógicas modais normais. Uma seleção é:

K ({ text {K} })
T ({ text {K}, / text {T} })
D ({ text {K}, / text {D} })
KD4 ({ text {K}, / text {D}, / text {4} })
KD45 ({ text {K}, / text {D}, / text {4}, / text {5} })
S4 ({ text {K}, / text {T}, / text {4} })
S4.2 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.2} })
S4.3 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.3} })
S4.4 ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {.4} })
S5 ({ text {K}, / text {T}, / text {5} })

Tabela 2. Nomes e axiomas da lógica

Especificações axiomáticas diferentes podem produzir a mesma lógica. Observe, por exemplo, que a especificação axiomática da tabela ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }) de S5 não corresponde à dada na definição anterior ao Teorema 1, ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }). Observe também que há mais de uma axiomatização de S5: os axiomas ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), ({ text {K}, / texto {T}, / texto {B}, / texto {4} }), ({ texto {K}, / texto {D}, / texto {B}, / texto {4} }) e ({ text {K}, / text {D}, / text {B}, / text {5} }) fornecem o S5lógica (cf. por exemplo, Chellas 1980). Uma variante frequentemente vista é ({ text {K}, / text {T}, / text {4}, / text {5} }). No entanto, é redundante adicioná-lo, pois todas as suas instâncias podem ser comprovadas a partir de K, T e 5. Mas, como 4 e 5 capturam importantes princípios epistêmicos (consulte a Seção 2.6), 4 às vezes é frequentemente incluído por uma questão de transparência filosófica. Para obter mais equivalências entre lógicas modais, consulte, por exemplo, a entrada sobre lógica modal ou Chellas (1980) ou Blackburn, de Rijke e Venema (2001).

As lógicas podem ser mais fortes ou mais fracas que as outras, e o conhecimento das propriedades estruturais de seus axiomas pode nos ajudar a entender seu relacionamento. Por exemplo, como 4 é derivável de ({ text {K}, / text {T}, / text {5} }), todos os teoremas de S4 são derivados de S5. S5 é, portanto, pelo menos tão forte quanto S4. De fato, S5 também é estritamente mais forte: pode provar coisas que S4 não pode.

Esse S5 pode ser axiomatizado por ({ text {K}, / text {T}, / text {B}, / text {4} }) e ({ text {K}, / O texto {T}, / text {5} }) pode ser visto através das propriedades da estrutura dos axiomas: toda relação reflexiva e euclidiana (T e 5) é uma relação de equivalência (T, B e 4). Isso também mostra a redundância de 4: se alguém assumiu uma relação reflexiva e euclidiana, não acrescenta nada de novo para assumir adicionalmente que é transitiva. Em geral, entender a interação entre propriedades relacionais é de grande ajuda para ver as relações entre lógicas modais. Por exemplo, perceber que toda relação reflexiva também é serial significa que todas as fórmulas válidas na classe de modelos seriais também são válidas na classe de modelos reflexivos. Portanto, todo teorema de D é, portanto, um teorema de T. Portanto, T é pelo menos tão forte quanto D (ou seja, (textbf {D} subseteq / textbf {T})). O fato de T também ser estritamente mais forte (não (textbf {T} subseteq / textbf {D})) pode ser demonstrado encontrando-se um modelo serial não-reflexivo que não satisfaz algum teorema de T (por exemplo, (K_ {a} p / rightarrow p)).

2.6 Princípios de conhecimento e crença

Com o pano de fundo formal da lógica epistêmica, é fácil variar ligeiramente a estrutura, a fim de acomodar o conceito de crença. Retorne ao idioma (mathcal {L} _ {KB}) do conhecimento e da crença:

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {a} psi / mid B_ {a} psi, / text {for} p / in / textit {Átomo}.)

Para interpretar as fórmulas de conhecimento e crença juntas, nos modelos apontados de Kripke, tudo o que é necessário é uma relação adicional entre os mundos possíveis:

Definição: A modelo Kripke apontado para (mathcal {L} _ {KB}) é uma tupla ((M, w) = (W, R_ {K}, R_ {B}, V, w)) Onde

  • W é um conjunto não vazio de mundos possíveis,
  • (R_ {K}) e (R_ {B}) são relações binárias em W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) é uma avaliação e
  • (w / em W).

(R_ {K}) é a relação para o operador de conhecimento e (R_ {B}) a relação para o operador de crença. A definição não faz mais suposições sobre suas propriedades. Na figura abaixo, fornecemos uma ilustração, onde as setas são rotuladas de acordo com a relação a que correspondem. O loop reflexivo em (w_ {3}) é um rótulo que indica que ele pertence às duas relações, ou seja, ((w_ {3}, w_ {3}) em R_ {K}) e ((w_ {3}, w_ {3}) em R_ {B}).

Quatro caixas rotuladas w1 (contendo 'p'), w2 (contendo 'não p'), w3 (contendo 'p') e w4 (contendo 'não p'). w1 é destacado e uma seta, denominada 'K', passa para w2. w2 tem setas, cada uma rotulada como 'B', apontando para w3 e w4. O w3 tem uma seta chamada 'K, B', retornando a ela
Quatro caixas rotuladas w1 (contendo 'p'), w2 (contendo 'não p'), w3 (contendo 'p') e w4 (contendo 'não p'). w1 é destacado e uma seta, denominada 'K', passa para w2. w2 tem setas, cada uma rotulada como 'B', apontando para w3 e w4. O w3 tem uma seta chamada 'K, B', retornando a ela

A relação de satisfação é definida como acima, mas com as óbvias mudanças de conhecimento e crença:

((M, w) vDash K_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) para todos (w' / em W) de modo que (wR_ {K }W').

((M, w) vDash B_ {a} varphi) iff ((M, w ') vDash / varphi) para todos (w' / em W) de modo que (wR_ {B }W').

A interpretação da indistinguibilidade impõe requisitos muito fortes à relação de acessibilidade do conhecimento. Agora eles foram retirados e, assim, qualquer compromisso com os princípios T, B, D, 4 e 5. Tomando os modelos de Kripke como semântica básica, ainda estamos comprometidos com K, embora esse princípio não seja problemático, como veremos abaixo em nossa discussão sobre o problema da onisciência lógica.

Dos princípios da Tabela 1, T, D, B, 4 e 5 foram discutidos mais amplamente na literatura sobre lógica epistêmica, tanto como princípios para o conhecimento quanto como princípios para crença. O princípio T do conhecimento

[K_ {a} varphi / rightarrow / varphi)

é amplamente aceito. O conhecimento é comumente considerado verídico, apenas a proposição verdadeira pode ser conhecida. Para, por exemplo, Hintikka (1962) e Fagin et al. (1995), o fracasso de T na crença é a diferença que define as duas noções.

Embora a crença geralmente não seja considerada verídica, as crenças geralmente são consideradas consistentes. Ou seja, agentes são levados a nunca acreditar na contradição, ou seja, qualquer fórmula equivalente a ((p / wedge / neg p)) ou (bot), para abreviar. Que acredita que deve ser consistente é então capturado pelo princípio

(neg B_ {a} bot.)

O princípio (neg B_ {a} bot) é, nos modelos Kripke, equivalente ao princípio D, (B_ {a} varphi / rightarrow / widehat {B} _ {a} varphi). Portanto, a validade de (neg B_ {a} bot) requer quadros seriais. Testemunhe, por exemplo, sua falha em (w_ {1}) acima: Como não há mundos acessíveis por (R_ {B}), todos os mundos acessíveis satisfazem (bot). Portanto, (w_ {1}) satisfaz (B_ {a} bot), violando a consistência. Observe também que (neg B_ {a} bot) pode ser reescrito em (widehat {B} _ {a} top), o que é verdade em um mundo apenas no caso de algum mundo estar acessível através de (R_ {B}). Sua validade, portanto, garante a serialidade.

Observe que a veridicalidade do conhecimento garante sua consistência: qualquer quadro reflexivo é automaticamente serial. Portanto, aceitar (K_ {a} varphi / rightarrow / varphi) implica aceitar (neg K_ {a} bot).

Dos princípios D, 4 e 5, os dois últimos receberam muito mais atenção, tanto pelo conhecimento quanto pela crença. Eles são comumente interpretados como governando o acesso de princípios aos próprios estados mentais. Os 4 princípios

(begin {align} K_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} K_ {a} varphi \\ B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} B_ {a} varphi \\ / final {alinhar})

são frequentemente referidos como princípios de introspecção positiva ou, para conhecimento, o princípio 'KK'. Ambos os princípios são considerados aceitáveis por, por exemplo, Hintikka (1962) por motivos diferentes da introspecção. Ele argumenta com base em uma análise autoepistêmica do conhecimento, usando uma semântica de mundos possíveis não-kripkeanos, denominada sistemas modelo. Hintikka sustenta que quando um agente se compromete a conhecer (varphi), o agente se compromete a manter a mesma atitude, independentemente das novas informações que o agente encontrará no futuro. Isso implica que, em todas as alternativas epistêmicas do agente para Hintikka, todos os conjuntos de modelos (descrições parciais de mundos possíveis) em que o agente sabe pelo menos tanto quanto agora o agente ainda conhece (varphi). Como (K_ {a} varphi) se aplica a todas as alternativas epistêmicas do agente, Hintikka conclui que (K_ {a} K_ {a} varphi). Da mesma forma, Hintikka apóia 4 por crença, mas Lenzen levanta objeções (Lenzen 1978: cap. 4).

Williamson argumenta contra a aceitabilidade geral do princípio (Williamson 2000: cap. 5) para um conceito de conhecimento baseado em observações levemente inexatas, o chamado princípio da margem de erro (ver, por exemplo, Aucher 2014 para um breve resumo).

Os 5 princípios

(begin {align} K neg {a} varphi & / rightarrow K_ {a} neg K_ {a} varphi \\ / neg B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} neg B_ {a} varphi \\ / end {align})

são frequentemente referidos como princípios de introspecção negativa. A introspecção negativa é bastante controversa, pois apresenta demandas muito altas de conhecimento e crença. O esquema 5 pode ser visto como uma suposição mundial fechada (Hendricks 2005): O agente possui uma visão geral completa de todos os mundos possíveis e informações próprias. Se (neg / psi) for considerado possível ((widehat {K} _ {a} neg / psi), ou seja, (neg K_ {a} psi)), o agente sabe que é considerado possível ((K_ {a} neg K_ {a} psi)). Essa suposição de mundo fechado é natural ao construir agentes hiper-racionais em, por exemplo, ciência da computação ou teoria dos jogos, em que se supõe que os agentes raciocinem o mais logicamente possível sobre suas próprias informações ao tomar decisões.

Argumentando contra 5 está Hintikka (1962), usando sua concepção de alternativas epistêmicas. Tendo aceitado T como conhecimento, 5 permanece ou cai com o pressuposto de uma relação de acessibilidade simétrica. Mas, Hintikka argumenta, a relação de acessibilidade não é simétrica: se o agente possuir alguma quantidade de informações no conjunto de modelos (s_ {1}), então o conjunto de modelos (s_ {2}) onde o agente aprendeu algo mais será uma alternativa epistêmica para (s_ {1}). Mas (s_ {1}) não será uma alternativa epistêmica a (s_ {2}), porque em (s_ {1}), o agente, por hipótese, não conhece tanto quanto em (s_ {2}). Portanto, a relação não é simétrica, portanto 5 não é um princípio de conhecimento, na conta de Hintikka.

Dada a semântica não-padrão de Hintikka, é um pouco difícil determinar se ele aceitaria uma lógica modal normal como a lógica do conhecimento e da crença, mas se sim, então S4 e KD4 seriam os candidatos mais próximos (ver Hendricks & Rendsvig 2018 para este ponto). Por outro lado, para o conhecimento de von Kutschera defendeu S4.4 (1976), Lenzen sugeriu S4.2 (1978), van der Hoek defendeu S4.3 (1993) e Fagin, Halpern, Moses e Vardi (1995) e muitos outros usam S5 para conhecimento e KD45 para crença.

Além dos princípios que regem o conhecimento e os princípios que governam a crença, pode-se considerar também os princípios que governam a interação entre conhecimento e crença. Três princípios de interesse são

(begin {align} {tag} {KB1} K_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} varphi \\ / tag * {KB2} B_ {a} varphi & / rightarrow K_ {a} B_ {a} varphi \\ / tag * {KB3} B_ {a} varphi & / rightarrow B_ {a} K_ {a} varphi \\ / end {align})

Os princípios KB1 e KB2 foram introduzidos por Hintikka, que endossa ambos Hintikka (1962), observando que Platão também está comprometido com KB1 em Theatetus. O primeiro princípio, KB1, captura a intuição de que o conhecimento é uma noção mais forte que a crença. O segundo, como 4 e 5, captura a ideia de que se tem acesso privilegiado às próprias crenças. O terceiro, derivado de Lenzen (1978), captura a noção de que as crenças são mantidas com algum tipo de convicção: se algo é acreditado, acredita-se que seja conhecido.

Embora os princípios de interação KB1KB3 possam parecer inocentes por si só, eles podem levar a conclusões contra-intuitivas quando combinadas com lógicas específicas de conhecimento e crença. Primeiro, Voorbraak (1993) mostra que combinar 5 para conhecimento e D para crença com KB1 implica que

[B_ {a} K_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi)

é um teorema da lógica resultante. Supondo que o conhecimento seja verdadeiro, esse teorema implica que os agentes não podem acreditar que sabem algo que é falso.

Se adicionalmente KB3 for adicionado, as noções de conhecimento e crença colapsam. Ou seja, pode-se provar que (B_ {a} varphi / rightarrow K_ {a} varphi), que, em combinação com o KB1, implica que

[B_ {a} varphi / leftrightarrow K_ {a} varphi.)

Portanto, as duas noções caíram para uma. Isto foi afirmado em 1986 por Kraus e Lehmann.

Se não se interessa pelo colapso do conhecimento e da crença, deve-se desistir de algo: não se pode ter 5 para conhecimento, D para crença e KB1 e KB3 governando sua interação. Novamente, os resultados relativos à correspondência entre princípios e propriedades das relações podem ajudar: Em 1993, van der Hoek mostrou, com base em uma análise semântica, que onde os quatro princípios são conjuntamente suficientes para o colapso, nenhum subconjunto deles também é. Desistir de qualquer princípio eliminará o colapso. O enfraquecimento do KB1 para conter apenas fórmulas não modais também é suficiente para evitar o colapso (cf. Halpern, 1996).

Para saber mais sobre os princípios de interação epistêmica, os princípios.2,.3,.3.2. e.4, e relações com as chamadas crenças condicionais, ver Aucher (2014). Para uma introdução às crenças e relações condicionais a vários outros tipos de conhecimento da literatura filosófica, consulte Baltag e Smets (2008). O último também inclui discussões sobre a interdefinibilidade de várias noções, assim como Halpern, Samet e Segev (2009) para conhecimento e crença (não condicional).

3. Conhecimento em Grupos

Nós, seres humanos, estamos preocupados com os estados epistêmicos de outros agentes. Na vida cotidiana, argumentamos com graus variados de sucesso sobre o que os outros sabem. Estamos especialmente preocupados com o que os outros sabem sobre nós e, freqüentemente, especificamente com o que sabem sobre o que sabemos.

Ela sabe que eu sei onde ela enterrou o tesouro?

Ela sabe que eu sei que ela sabe?

E assim por diante.

A lógica epistêmica pode revelar características epistêmicas interessantes de sistemas envolvendo grupos de agentes. Em alguns casos, por exemplo, fenômenos sociais emergentes dependem de agentes que raciocinam de maneiras particulares sobre o conhecimento e as crenças de outros agentes. Como vimos, os sistemas tradicionais de lógica epistêmica se aplicavam apenas a casos de agente único. No entanto, eles podem ser estendidos a grupos ou sistemas multiagentes de maneira relativamente direta.

Como David Lewis observou em seu livro Convenção (1969), muitas características proeminentes da vida social dependem de agentes assumindo que as regras de algumas práticas são questões de conhecimento comum. Por exemplo, os motoristas sabem que um semáforo vermelho indica que devem parar em um cruzamento. No entanto, para que a convenção de semáforos seja aplicada, é necessário que os motoristas também saibam que outros motoristas sabem que vermelho significa parar. Além disso, os motoristas também devem saber que todos sabem que todos sabem disso…. O papel convencional dos semáforos depende de todos os motoristas, sabendo que todos os motoristas conhecem a regra, que a regra é um conhecimento comum.

Uma variedade de normas, práticas sociais e linguísticas, interações com agentes e jogos pressupõem o conhecimento comum, formalizado por Aumann (1976) e com os primeiros tratamentos lógicos epistêmicos de Lehmann (1984) e de Halpern e Moisés (1984). Para ver como a lógica epistêmica lança luz sobre esses fenômenos, é necessário introduzir um pouco mais de formalismo. Seguindo o tratamento padrão (ver, por exemplo, Fagin et al. 1995), podemos sintaticamente aumentar a linguagem da lógica proposicional com n operadores de conhecimento, um para cada agente envolvido no grupo de agentes em consideração. A principal diferença entre a semântica fornecida para uma mono-agente e uma semântica de vários agentes é aproximadamente que n relações de acessibilidade são introduzidas. Um sistema modal para n agentes é obtido juntando n lógicas modais, onde, por simplicidade, pode-se supor que os agentes são homogêneos no sentido de que todos podem ser descritos pelo mesmo sistema lógico. Uma lógica epistêmica para n agentes consiste em n cópias de uma certa lógica modal. Em uma lógica epistêmica tão extensa, é possível expressar que algum agente no grupo conhece um certo fato de que um agente sabe que outro agente conhece um fato etc. É possível desenvolver a lógica ainda mais: um agente não apenas pode saber que outro agente conhece um fato, mas todos podem conhecer esse fato simultaneamente. Em uma lógica epistêmica tão extensa, é possível expressar que algum agente no grupo conhece um certo fato de que um agente sabe que outro agente conhece um fato etc. É possível desenvolver a lógica ainda mais: um agente não apenas pode saber que outro agente conhece um fato, mas todos podem conhecer esse fato simultaneamente. Em uma lógica epistêmica tão extensa, é possível expressar que algum agente no grupo conhece um certo fato de que um agente sabe que outro agente conhece um fato etc. É possível desenvolver a lógica ainda mais: um agente não apenas pode saber que outro agente conhece um fato, mas todos podem conhecer esse fato simultaneamente.

3.1 Idiomas e modelos de vários agentes

Para representar o conhecimento de um conjunto (mathcal {A}) de n agentes, primeiro vamos estipular um idioma. Seja (mathcal {L} _ {Kn}) dado pelo formulário Backus-Naur

(varphi: = p / mid / neg / varphi / mid (varphi / wedge / varphi) mid K_ {i} varphi \, / text {para} p / in / textit {Atom}, i / in / mathcal {A}.)

Para representar o conhecimento de todos os n agentes em conjunto nos modelos apontados de Kripke, tudo o que é necessário é adicionar adequadamente muitas relações:

Definição: Um modelo Kripke apontado para (mathcal {L} _ {Kn}) é uma tupla ((M, w) = (W, {R_ {i} } _ {i / in / mathcal { A}}, V, w)) onde

  • W é um conjunto não vazio de mundos possíveis,
  • Para cada (i / in / mathcal {A}), (R_ {i}) é uma relação binária em W,
  • (V / colon / textit {Atom} longrightarrow / mathcal {P} (W)) é uma avaliação e
  • (w / em W).

Para incorporar também crenças, basta aplicar o mesmo movimento que no caso de um único agente: aumente o idioma e permita que haja duas relações para cada agente.

A definição usa uma família de relações ({R_ {i} } _ {i / in / mathcal {A}}). Na literatura, o mesmo é indicado ((W, R_ {i}, V, w) _ {i / in / mathcal {A}}). Como alternativa, R é considerado uma função que envia agentes para relações, ou seja, (R: / mathcal {A / rightarrow} mathcal {P} (W / times W)). Então, para cada (i / in / mathcal {A}), (R (i)) existe uma relação em W, geralmente denotada (R_ {i}). Essas são escolhas estilísticas.

Ao considerar apenas um único agente, normalmente não é relevante incluir mais mundos em W do que possíveis avaliações de átomos. Nos casos com vários agentes, esse não é o caso: para expressar as diferentes formas de conhecimento de ordem superior disponível, são necessárias muitas cópias do “mesmo” mundo. Vamos exemplificar para (mathcal {A} = {a, b }), (textit {Atom} = {p }) e para cada (R_ {i}, i / in / mathcal {A},) uma relação de equivalência. Vamos representar que a e b conhecem p, mas b não sabe que a conhece p, ou seja, (K_ a) p / cunha K_ {b} p / cunha / neg K_ {b} K_ {a} p). Então precisamos de três mundos:

Três caixas rotuladas w1 (contendo 'p'), w2 (contendo 'p') e w3 (contendo 'não p'). Cada caixa tem uma seta chamada 'a, b' retornando a ela. w1 é destacado e é conectado a w2 por uma seta de duas pontas denominada 'b'. w2 está conectado ao w3 por uma seta de duas pontas denominada 'a'
Três caixas rotuladas w1 (contendo 'p'), w2 (contendo 'p') e w3 (contendo 'não p'). Cada caixa tem uma seta chamada 'a, b' retornando a ela. w1 é destacado e é conectado a w2 por uma seta de duas pontas denominada 'b'. w2 está conectado ao w3 por uma seta de duas pontas denominada 'a'

Se tentarmos deixar (w_ {1}) desempenhar o papel de (w_ {2}), então a perderia conhecimento em p: ambos os mundos são necessários. Em geral, se W for assumido como tendo um tamanho finito fixo, haverá alguma fórmula de informações de ordem superior que não pode ser satisfeita nela.

3.2 Noções de Conhecimento de Grupo

Os sistemas multiagentes são interessantes por outros motivos, além de representar informações de ordem superior. As informações dos agentes individuais também podem ser agrupadas para capturar o que os agentes sabem em conjunto, como conhecimento de grupo (consulte Baltag, Boddy, & Smets 2018 para uma discussão recente). Uma noção padrão é que esse estilo é conhecimento distribuído: o conhecimento que o grupo teria se os agentes compartilhassem todo o seu conhecimento individual. Para representá-lo, aumente o idioma (mathcal {L} _ {Kn}) com operadores

[D_ {G} text {para} G / subseteq / mathcal {A},)

para fazer (D_ {G} varphi) uma fórmula bem formada. Onde (G / subseteq / mathcal {A}) é um grupo de agentes, a fórmula (D_ {G} varphi) lê que é um conhecimento distribuído no grupo G que (varphi).

Para avaliar (D_ {G} varphi), definimos uma nova relação daquelas já presentes no modelo. A idéia por trás da definição é que, se algum agente eliminou o mundo como uma alternativa epistêmica, o grupo também o fará. Defina a relação como a interseção das relações dos agentes individuais:

[R_ {G} ^ {D} = / bigcap_ {i / in G} R_ {i})

No modelo de três estados, (R_ {G} ^ {D}) contém apenas os três loops. Para avaliar uma fórmula de conhecimento distribuído, use o mesmo formulário que para outros operadores modais:

[(M, w) vDash D_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {para todos} w' / em W / text {para que} wR_ {G } ^ {D} w '.)

Pode ser que algum agente muito conhecedor saiba tudo o que é conhecimento distribuído em G, mas não é garantido. Para capturar que todos os agentes sabem (varphi), poderíamos usar a conjunção das fórmulas (K_ {i} varphi) para (in / mathcal {A}), ou seja, (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi). Essa é uma fórmula bem definida se (mathcal {A}) for finito (o que normalmente é). Se (mathcal {A}) não for finito, então (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi) não será uma fórmula em (mathcal {L} _ {Kn}), pois possui apenas conjunções finitas. Como uma abreviação de (bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi), é padrão apresentar o operador todo mundo sabe, (E_ {G}):

[E_ {G} varphi: = / bigwedge_ {i / in / mathcal {A}} K_ {i} varphi.)

No modelo dos três mundos, (K_ {a} p / cunha K_ {b} p), então (E _ { {a, b }} p).

O fato de todo mundo saber alguma coisa não significa que esse conhecimento seja compartilhado entre os membros do grupo. O modelo dos três mundos exemplifica isso: Embora (E _ { {a, b }} p), também é o caso (neg K_ {b} E _ { {a, b }} p).

Para capturar que não há incerteza no grupo sobre (varphi) nem incerteza de ordem superior sobre (varphi) sendo conhecida por todos os agentes, nenhuma fórmula no idioma (mathcal {L} _ { Kn}) é suficiente. Considere a fórmula

[E_ {G} ^ {k} varphi)

onde (E_ {G} ^ {k}) é a abreviação de k iterações do operador (E_ {G}). Então, para nenhum número natural k, a fórmula (E_ {G} ^ {k} varphi) será suficiente: pode ser que b não o conheça! Para corrigir esta situação, pode-se tentar

(bigwedge_ {k / in / mathbb {N}} E_ {G} ^ {k} varphi)

mas essa não é uma fórmula, pois (mathcal {L} _ {Kn}) contém apenas conjunções finitas.

Portanto, embora o operador (E_ {G}) seja definível na linguagem (mathcal {L} _ {Kn}), uma noção adequada de conhecimento comum não é. Para isso, precisamos novamente definir uma nova relação em nosso modelo. Desta vez, estamos interessados em capturar que ninguém considera (varphi) epistemicamente possível em qualquer lugar. Para construir a relação, portanto, primeiro tomamos a união das relações de todos os agentes em G, mas isso não é suficiente: para usar a cláusula semântica modal padrão, também devemos ser capazes de alcançar todos os mundos nessa relação em um único passo. Portanto, vamos

[R_ {G} ^ {C}: = / left (bigcup_ {i / in G} R_ {i} right) ^ {*})

onde ((cdotp) ^ {*}) é a operação de realizar o fechamento transitivo. Se R é uma relação, então ((R) ^ {*}) é R mais todos os pares ausentes para fazer de R uma relação transitiva. Considere o modelo dos três mundos: Com a relação (bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}), podemos alcançar (w_ {3}) em (w_ {1}) em duas etapas, parando em (w_ {2}). Com ((bigcup_ {i / in {a, b }} R_ {i}) ^ {*}), (w_ {3}) é alcançável em uma etapa: Pelo novo link transitivo adicionado de (w_ {1}) a (w_ {3}).

Para representar o conhecimento comum, aumente a forma Backus-Naur de (mathcal {L} _ {Kn}) com operadores

[C_ {G} text {para} G / subseteq / mathcal {A},)

para fazer (C_ {G} varphi) uma fórmula bem formada. Avalie essas fórmulas pela cláusula semântica

[(M, w) vDash C_ {G} varphi / text {iff} (M, w ') vDash / varphi / text {para todos} w' / em W / text {para que} wR_ {G } ^ {C} w '.)

A variação das propriedades das relações de acessibilidade (R_ {1}, R_ {2}, / ldots, R_ {n}), conforme descrito acima, resulta em diferentes lógicas epistêmicas. Por exemplo, o sistema K com conhecimento comum é determinado por todos os quadros, enquanto o sistema S4 com conhecimento comum é determinado por todos os quadros reflexivos e transitivos. Resultados semelhantes podem ser obtidos para as demais lógicas epistêmicas (Fagin et al. 1995). Para mais, consulte a entrada de conhecimento comum.

4. Onisciência Lógica

A principal reclamação contra a abordagem adotada pelos lógicos epistêmicos é que ela está comprometida com um quadro excessivamente idealizado do raciocínio humano. Os críticos temem que a semântica relacional da lógica epistêmica comprometa a pessoa a uma propriedade de fechamento para o conhecimento de um agente que é implausivelmente forte, dadas as habilidades reais de raciocínio humano. As propriedades de fechamento dão origem ao que passou a ser chamado de problema da onisciência lógica:

Sempre que um agente c conhece todas as fórmulas em um conjunto (Gamma) e A segue logicamente a partir de (Gamma), então c também conhece A.

Em particular, c conhece todos os teoremas (deixando (Gamma = / emptyset)) e conhece todas as consequências lógicas de qualquer fórmula que o agente conheça (deixando (Gamma) consistir em uma única fórmula). A preocupação aqui é que os agentes finitos são limitados por limites em suas capacidades cognitivas e de raciocínio. A descrição do conhecimento e da crença com a qual a lógica epistêmica parece comprometida envolve habilidades sobre-humanas, como conhecer todas as tautologias. Assim, a preocupação é que a lógica epistêmica seja simplesmente inadequada para capturar o conhecimento e a crença reais, à medida que essas noções figuram na vida humana comum.

Hintikka reconheceu uma discrepância entre as regras da lógica epistêmica e a maneira como o verbo “conhecer” já é comumente usado nas páginas iniciais de Conhecimento e crença. Ele apontou que

é claramente inadmissível inferir “ele sabe que q” de “ele sabe que p” apenas com base em q segue logicamente a partir de p, pois a pessoa em questão pode deixar de perceber que p implica q, principalmente se p e q são declarações relativamente complicadas. (1962: 30-31)

A primeira reação de Hintikka ao que veio a ser chamado de problema da onisciência lógica foi ver a discrepância entre o uso comum de termos como "consistência" e tratamentos formais de conhecimento como indicando um problema com a nossa terminologia comum. Se uma pessoa conhece os axiomas de uma teoria matemática, mas é incapaz de declarar as conseqüências distantes da teoria, Hintikka negou que seja apropriado chamar essa pessoa de inconsistente. Em assuntos humanos comuns, afirmou Hintikka, a acusação de inconsistência quando dirigida a um agente tem a conotação de ser irracional ou desonesta. Assim, da perspectiva de Hintikka, devemos escolher outro termo para capturar a situação de alguém que seja racional e passível de persuasão ou correção, mas não logicamente onisciente. Não onisciente,agentes racionais podem estar em posição de dizer que "eu sei que p, mas não sei se q", mesmo que q possa p. Ele então sugere que q deve ser considerado defensável, dado o conhecimento do agente, e a negação de q deve ser considerada indefensável. Essa escolha de terminologia foi criticada na medida em que atribui o indefinível pejorativo a algum conjunto de proposições, mesmo que a falha realmente esteja nas capacidades cognitivas do agente (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).mesmo que a falha esteja nas capacidades cognitivas do agente (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).mesmo que a falha esteja nas capacidades cognitivas do agente (Chisholm 1963; Hocutt 1972; Jago 2007).

A lógica epistêmica inicial de Hintikka pode ser entendida como uma maneira de raciocinar sobre o que está implícito no conhecimento de um agente, mesmo nos casos em que o próprio agente é incapaz de determinar o que está implícito. Tal abordagem corre o risco de ser excessivamente idealizada e sua relevância para a compreensão das circunstâncias epistêmicas humanas pode ser contestada por esses motivos.

Poucos filósofos ficaram satisfeitos com a tentativa de Hintikka de revisar nosso uso comum do termo "consistente", como ele o apresentou em Conhecimento e Crença. No entanto, ele e outros logo forneceram formas mais populares de lidar com a onisciência lógica. Na década de 1970, as respostas ao problema da onisciência lógica introduziram entidades semânticas que explicam por que o agente parece ser, mas na verdade não é realmente culpado de onisciência lógica. Hintikka chamou essas entidades de "mundos possíveis impossíveis" (1979; ver também a entrada sobre mundos impossíveis e Jago 2014). A idéia básica é que um agente possa contar erroneamente entre os mundos consistentes com seu conhecimento, alguns mundos contendo contradições lógicas. O erro é simplesmente um produto dos recursos limitados do agente;o agente pode não estar em posição de detectar a contradição e pode considerá-las erroneamente como possibilidades genuínas. Em alguns aspectos, essa abordagem pode ser entendida como uma extensão da resposta acima mencionada à onisciência lógica que Hintikka já havia descrito em Conhecimento e crença.

No mesmo espírito, entidades denominadas mundos “aparentemente possíveis” são introduzidas por Rantala (1975) em sua análise de modelo de urna da onisciência lógica. Permitir mundos possíveis impossíveis ou mundos aparentemente possíveis nos quais a avaliação semântica das fórmulas é arbitrária até certo ponto fornece uma maneira de tornar a aparência da onisciência lógica menos ameaçadora. Afinal, em qualquer relato realista da ação epistêmica, é provável que o agente considere mundos (embora inadvertidamente) mundos nos quais as leis da lógica não se sustentam. Como nenhum princípio epistêmico real é amplo o suficiente para abranger mundos impossíveis e aparentemente possíveis, algumas condições devem ser aplicadas aos modelos epistêmicos de modo que eles sejam coerentes com os princípios epistêmicos (para críticas a essa abordagem, ver Jago 2007: 336-337).

Como alternativa ao design de lógicas nas quais os operadores do conhecimento não exibem onisciência lógica, a lógica da conscientização oferece uma alternativa: Altere a interpretação de (K_ {a} varphi) de “a sabe que (varphi)” para “a sabe implicitamente isso (varphi)”e toma conhecimento explícito de que (varphi) é conhecimento implícito de que (varphi) e conhecimento de (varphi). Com a conscientização não fechada sob conseqüência lógica, esse movimento permite a noção de conhecimento explícito não logicamente onisciente. Como os agentes não precisam calcular seu conhecimento implícito nem podem ser responsabilizados por responder a consultas com base nele, a onisciência lógica é problemática apenas para o conhecimento explícito; assim, o problema da onisciência lógica é evitado. Embora a onisciência lógica seja uma condição epistemológica para o conhecimento implícito,o próprio agente pode, na verdade, deixar de perceber essa condição. Para mais informações sobre a lógica da conscientização, consulte, por exemplo, as seminais Fagin & Halpern (1987) ou Velazquez-Quesada (2011) e Schipper (2015) para obter visões gerais.

Debates sobre os vários tipos de idealização envolvidos na lógica epistêmica estão em andamento nos contextos filosóficos e interdisciplinares.

Bibliografia

  • Arló-Costa, Horacio, Vincent F. Hendricks e Johan van Benthem (orgs.), 2016, Readings in Formal Epistemology, Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-20451-2
  • Artemov, Sergei e Elena Nogina, 2005, “Introduzindo Justificação na Lógica Epistêmica”, Journal of Logic and Computation, 15 (6): 1059-1073. doi: 10.1093 / logcom / exi053
  • Aucher, Guillaume, 2014, “Princípios do Conhecimento, Crença e Crença Condicional”, em Trabalhos Interdisciplinares em Lógica, Epistemologia, Psicologia e Linguística: Diálogo, Racionalidade e Formalismo, Manuel Rebuschi, Martine Batt, Gerhard Heinzmann, Franck Lihoreau, Michel Musiol e Alain Trognon (orgs.), Cham: Springer International Publishing, 97-134. doi: 10.1007 / 978-3-319-03044-9_5
  • Aumann, Robert J., 1976, “Concordando em Discordar”, The Annals of Statistics, 4 (6): 1236–1239. Reproduzido em Arló-Costa, Hendricks e van Benthem 2016: 859–862. doi: 10.1214 / aos / 1176343654, doi: 10.1007 / 978-3-319-20451-2_40
  • Baltag, A., R. Boddy e S. Smets, 2018, “Group Knowledge in Interrogative Epistemology”, em van Ditmarsch e Sandu 2018: 131–164. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6_5
  • Baltag, Alexandru e Sonja Smets, 2008, “Uma teoria qualitativa da revisão dinâmica de crenças interativas”, em Lógica e nos fundamentos da teoria dos jogos e decisões (LOFT 7), G. Bonanno, W. van der Hoek e M. Wooldridge (eds.) (Textos em Lógica e Jogos, Vol. 3), Amsterdã: Amsterdam University Press, 9–58.
  • Benthem, Johan van, 2006, “Lógica epistêmica e epistemologia: o estado de seus assuntos”, Philosophical Studies, 128 (1): 49–76. doi: 10.1007 / s11098-005-4052-0
  • –––, 2011, Dinâmica lógica da informação e interação, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511974533
  • Blackburn, Patrick, Maarten de Rijke e Yde Venema, 2001, Modal Logic, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9781107050884
  • Boër, Steven E. e William G. Lycan, 1986, Knowing Who, Cambridge, MA: MIT Press.
  • Boh, Ivan, 1993, Lógica Epistêmica na Idade Média, (Tópicos em Filosofia Medieval), Londres / Nova York: Routledge.
  • Chellas, Brian F., 1980, Modal Logic: An Introduction, Cambridge: Cambridge University Press.
  • Chisholm, Roderick M., 1963, “A lógica do conhecimento”, The Journal of Philosophy, 60 (25): 773-795. doi: 10.2307 / 2022834
  • Ditmarsch, Hans van, Joseph Y. Halpern, Wiebe van der Hoek e Barteld Kooi (eds.), 2015, Handbook of Epistemic Logic, Londres: College Publications.
  • Ditmarsch, Hans van, Wiebe van der Hoek e Barteld Kooi, 2007, Dynamic Epistemic Logic, Dordrecht: Springer Netherlands. doi: 10.1007 / 978-1-4020-5839-4
  • Ditmarsch, Hans van e Gabriel Sandu (eds.), 2018, Jaakko Hintikka sobre Conhecimento e Semântica Teórica dos Jogos, (Outstanding Contribuições para Logic, 12), Cham: Springer International Publishing. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6
  • Fagin, Ronald e Joseph Y. Halpern, 1987, “Crença, Consciência e Raciocínio Limitado”, Inteligência Artificial, 34 (1): 39–76. doi: 10.1016 / 0004-3702 (87) 90003-8
  • Fagin, Ronald, Joseph Y. Halpern, Yoram Moses e Moshe Y. Vardi, 1995, Raciocínio sobre o Conhecimento, Cambridge, MA: The MIT Press.
  • Gochet, Paul e Pascal Gribomont, 2006, “Epistemic Logic”, no Handbook of History of Logic, 7, Amsterdã: Elsevier, 99–195. doi: 10.1016 / S1874-5857 (06) 80028-2
  • Halpern, Joseph Y., 1996, “O conhecimento deve incentivar a crença?”, Journal of Philosophical Logic, 25 (5): 483–494. doi: 10.1007 / BF00257382
  • Halpern, Joseph Y., Dov Samet e Ella Segev, 2009, “Definindo conhecimento em termos de crença: a perspectiva da lógica modal”, The Review of Symbolic Logic, 2 (3): 469–487. doi: 10.1017 / S1755020309990141
  • Halpern, Joseph Y. e Yoram Moses, 1984, “Conhecimento e Conhecimento Comum em um Ambiente Distribuído”, em Anais do Terceiro Simpósio Anual da ACM sobre Princípios da Computação Distribuída (PODC '84), Vancouver, British Columbia, Canadá, ACM Press 50-61. doi: 10.1145 / 800222.806735
  • Hendricks, Vincent F., 2005, Epistemologia formal e convencional, Cambridge: Cambridge University Press. doi: 10.1017 / CBO9780511616150
  • Hendricks, Vincent F. e Rasmus K. Rendsvig, 2018, “Conhecimento e crença de Hintikka no fluxo”, em van Ditmarsch e Sandu 2018: 317–337. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6_13
  • Hendricks, Vincent F. e John Symons, 2006, “Onde está a ponte? Epistemologia e Lógica Epistêmica”, Philosophical Studies, 128 (1): 137–167. doi: 10.1007 / s11098-005-4060-0
  • Hintikka, Jaakko, 1962 [2005], Conhecimento e Crença: Uma Introdução à Lógica das Duas Noções, segunda edição, Vincent F. Hendriks e John Symons (eds.), (Textos em Filosofia, 1), London: College Publications.
  • –––, 1969, “Semântica para Atitudes Proposicionais”, em Philosophical Logic, JW Davis, DJ Hockney e WK Wilson (eds.), Dordrecht: Springer Netherlands, 21-45. doi: 10.1007 / 978-94-010-9614-0_2
  • –––, 1978, “Mundos Possíveis Possíveis Vindicados”, em Semântica Teórica dos Jogos, Esa Saarinen (ed.) (SLAP 5), Dordrecht: Springer Netherlands, 367-379. doi: 10.1007 / 978-1-4020-4108-2_13
  • –––, 2007, “Epistemologia sem Conhecimento e sem Crença”, em Epistemologia Socrática: Explorações da Busca do Conhecimento por Questionamento, Cambridge: Cambridge University Press, 11–37. doi: 10.1017 / CBO9780511619298.002
  • Hintikka, Jaakko e John Symons, 2003, "Sistemas de Identificação Visual em Neurociência: Lições da Lógica Epistêmica", Philosophy of Science, 70 (1): 89-104. doi: 10.1086 / 367871
  • Hocutt, Max O., 1972, “É possível a lógica epistêmica?”, Notre Dame Journal of Formal Logic, 13 (4): 433–453. doi: 10.1305 / ndjfl / 1093890705
  • Hoek, Wiebe van der, 1993, “Sistemas para Conhecimento e Crença”, Journal of Logic and Computation, 3 (2): 173–195. doi: 10.1093 / logcom / 3.2.173
  • Holliday, Wesley H., 2018, “Epistemic Logic and Epistemology”, em Introdução à Filosofia Formal, Sven Ove Hansson e Vincent F. Hendricks (eds.), Cham: Springer International Publishing, 351–369. doi: 10.1007 / 978-3-319-77434-3_17
  • Jago, Mark, 2007, "Hintikka e Cresswell sobre onisciência lógica", Logic and Logical Philosophy, 15 (4): 325–354. doi: 10.12775 / LLP.2006.019
  • –––, 2014, The Impossible: An Essay on Hyperintensionality, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / acprof: oso / 9780198709008.001.0001
  • Knuuttila, Simo, 1993, Modalidades em Filosofia Medieval, (Tópicos em Filosofia Medieval), Nova York: Routledge.
  • Kraus, Sarit e Daniel Lehmann, 1986, “Conhecimento, Crença e Tempo”, em Autômatos, Linguagens e Programação, Laurent Kott (ed.), Berlim, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 186–195.
  • Kutschera, Franz von, 1976, Einführung in Die Intensionale Semantik, (De Gruyter Studienbuch: Grundlagen Der Kommunikation), Berlim / Nova York: De Gruyter.
  • Lehmann, Daniel, 1984, “Conhecimento, Conhecimento Comum e Enigmas Relacionados (Resumo Estendido)”, Anais do Terceiro Simpósio Anual da ACM sobre Princípios da Computação Distribuída (PODC '84), 62–67. doi: 10.1145 / 800222.806736
  • Lenzen, Wolfgang, 1978, Trabalho Recente em Lógica Epistêmica, (Acta Philosophica Fennica, 30), Amsterdã: North Holland Publishing Company.
  • –––, 1980, Glauben, Wissen Und Wahrscheinlichkeit: Systeme Der Epistemischen Logik, (Biblioteca de Filosofia Exata, 12), Wien: Springer.
  • Lewis, David K., 1969, Convenção: Um Estudo Filosófico, Cambridge, MA: Harvard University Press.
  • Meyer, John-Jules Ch, 2001, “Epistemic Logic”, no The Blackwell Guide to Philosophical Logic, Lou Goble (ed.), Oxford: John Wiley & Sons, 183–202.
  • Meyer, John-Jules Ch. e Wiebe van der Hoek, 1995, Epistemic Logic for AI and Computer Science, (Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, 41), Cambridge: Cambridge University Press.
  • Rantala, Veikko, 1975, “Modelos de Urna: Um Novo Tipo de Modelo Não Padrão para Lógica de Primeira Ordem”, Journal of Philosophical Logic, 4 (4): 455–474. doi: 10.1007 / BF00558760
  • Rendsvig, Rasmus K., 2012, “Modelando Competência Semântica: Uma Revisão Crítica do Enigma de Frege sobre Identidade”, em Novas Direções em Lógica, Linguagem e Computação, Daniel Lassiter e Marija Slavkovik (eds.), Berlim / Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg 140-157. doi: 10.1007 / 978-3-642-31467-4_10
  • Renne, Bryan, 2008, "Lógica Epistêmica Dinâmica com Justificação", Ph. D. Tese, Nova York: City University of New York.
  • Schipper, Burkhard C., 2015, “Awareness”, em Ditmarsch et al. 2015: 77-146.
  • Stalnaker, Robert, 2006, “On Logics of Knowledge and Belief”, Philosophical Studies, 128 (1): 169–199. doi: 10.1007 / s11098-005-4062-y
  • Velazquez-Quesada Fernando Raymundo, 2011, “Pequenos Passos na Dinâmica da Informação”, Ph. D. Tese, Instituto de Lógica, Linguagem e Computação, Universidade de Amsterdã.
  • Voorbraak, Franciscus Petrus Johannes Maria, 1993, "Tanto quanto eu sei: lógica e incerteza epistêmica", Ph. D. Tese, Departamento de Filosofia, Universidade de Utrecht.
  • Wang, Yanjing, 2015, “A Logic of Knowing How”, em Lógica, Racionalidade e Interação, Wiebe van der Hoek, Wesley H. Holliday e Wen-fang Wang (eds.), Berlim, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 392-405. doi: 10.1007 / 978-3-662-48561-3_32
  • –––, 2018, “Além de saber isso: uma nova geração de lógicas epistêmicas”, em van Ditmarsch e Sandu 2018: 499-533. doi: 10.1007 / 978-3-319-62864-6_21
  • Williamson, Timothy, 2000, Conhecimento e seus limites, Oxford: Oxford University Press. doi: 10.1093 / 019925656X.001.0001
  • Wright, Georg Henrik von, 1951, Um ensaio em lógica modal (Estudos em lógica e os fundamentos da matemática), Amsterdã: North-Holland Publishing Company.

Ferramentas Acadêmicas

ícone de homem de sep
ícone de homem de sep
Como citar esta entrada.
ícone de homem de sep
ícone de homem de sep
Visualize a versão em PDF desta entrada nos Amigos da Sociedade SEP.
ícone inpho
ícone inpho
Consulte este tópico de entrada no Internet Philosophy Ontology Project (InPhO).
ícone de papéis phil
ícone de papéis phil
Bibliografia aprimorada para esta entrada na PhilPapers, com links para o banco de dados.

Outros recursos da Internet

  • Hintikka's World, uma ferramenta gráfica e pedagógica para aprender sobre lógica epistêmica, raciocínio de ordem superior e dinâmica do conhecimento.
  • Modal Logic Playground, uma interface gráfica para desenhar e avaliar fórmulas da lógica proposicional modal.
  • Hendricks, Vincent e John Symons, “Epistemic Logic”, Stanford Encyclopedia of Philosophy (edição da primavera de 2019), Edward N. Zalta (ed.), URL = . [Esta foi a entrada anterior sobre esse tópico na Enciclopédia Stanford of Philosophy - veja o histórico da versão.]

Recomendado: