Filosofia Da Matemática De Kant

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Filosofia da Matemática de Kant

Publicado pela primeira vez em 19 de julho de 2013

Kant foi aluno e professor de matemática ao longo de sua carreira, e suas reflexões sobre matemática e prática matemática tiveram um impacto profundo em seu pensamento filosófico. Ele desenvolveu considerações filosóficas sobre o status do julgamento matemático, a natureza das definições matemáticas, axiomas e provas e a relação entre a matemática pura e o mundo natural. Além disso, sua abordagem à questão geral "como são possíveis a priori os julgamentos sintéticos?" foi moldado por sua concepção de matemática e suas realizações como uma ciência bem fundamentada.

A filosofia da matemática de Kant interessa a vários estudiosos por várias razões. Primeiro, seus pensamentos sobre matemática são um componente crucial e central de seu sistema filosófico crítico e, portanto, são esclarecedores para o historiador da filosofia que trabalha em qualquer aspecto do corpus de Kant. Além disso, questões de interesse e relevância contemporâneos surgem das reflexões de Kant sobre as disciplinas matemáticas mais fundamentais e elementares, questões que continuam a informar questões importantes na metafísica e na epistemologia da matemática. Finalmente, discordâncias sobre como interpretar a filosofia da matemática de Kant geraram uma área fértil de pesquisas e debates atuais.

  • 1. Filosofia pré-crítica da matemática de Kant
  • 2. Filosofia Crítica da Matemática de Kant

    • 2.1 A teoria de Kant da construção de conceitos matemáticos em "A disciplina da razão pura no uso dogmático"
    • 2.2 Resposta de Kant à sua pergunta "Como é possível a matemática pura?"
    • 2.3 A concepção de Kant do papel da matemática no idealismo transcendental
  • 3. Comentários e Debate Interpretativo
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. Filosofia pré-crítica da matemática de Kant

Em 1763, Kant entrou em um concurso de redação abordando a questão de saber se os primeiros princípios da metafísica e da moralidade podem ser provados e, assim, alcançar o mesmo grau de certeza que as verdades matemáticas. Embora seu ensaio tenha sido premiado com o segundo prêmio pela Academia Real de Ciências de Berlim (perdendo para "On Evidence in the Metafhysical Sciences") de Moses Mendelssohn), ele passou a ser conhecido como "Prize Essay" de Kant. O Ensaio do Prêmio foi publicado pela Academia em 1764 sob o título "Inquérito sobre a distinção dos princípios da teologia e moralidade naturais" e se destaca como um texto-chave na filosofia pré-crítica da matemática de Kant.

No Ensaio do Prêmio, Kant se comprometeu a comparar os métodos de matemática e metafísica (Carson 1999; Sutherland 2010). Ele afirmou que "o negócio da matemática … é o de combinar e comparar determinados conceitos de magnitudes, que são claros e certos, com o objetivo de estabelecer o que pode ser inferido deles" (2: 278). Ele afirmou ainda que esse negócio é realizado através de um exame de figuras ou "sinais visíveis" que fornecem representações concretas de conceitos universais que foram definidos sinteticamente. Por exemplo, define-se o conceito matemático por combinação arbitrária de outros conceitos ("quatro linhas retas que delimitam uma superfície plana, de modo que os lados opostos não sejam paralelos um ao outro" [1]), acompanhado por um "sinal sensível" que exibe as relações entre as partes de todos os objetos definidos. Definições, bem como proposições matemáticas fundamentais, por exemplo, que o espaço pode ter apenas três dimensões, devem ser “examinadas em concreto para que sejam cognoscidas intuitivamente”, mas tais proposições nunca podem ser provadas, pois não são inferidas de outras proposições (2: 281). Teoremas são estabelecidos quando cognições simples são combinadas “por meio de síntese” (2: 282), como quando, por exemplo, é demonstrado que os produtos dos segmentos formados por dois acordes que se cruzam dentro de um círculo são iguais. No último caso,prova-se um teorema sobre todo e qualquer par de linhas que se cruzam dentro de um círculo, não “desenhando todas as linhas possíveis que poderiam se cruzar dentro do [círculo]”, mas desenhando apenas duas linhas e identificando a relação que existe entre eles (2: 278). A “regra universal” resultante é inferida por meio de uma síntese entre os sinais sensíveis que são exibidos e, como resultado, entre os conceitos que os sinais sensíveis ilustram.

Kant conclui que o método matemático não pode ser aplicado para obter resultados filosóficos (e, em particular, metafísicos), pela principal razão que “os geômetros adquirem seus conceitos por meio de síntese, enquanto os filósofos só podem adquirir seus conceitos por meio de análise - e isso muda completamente o método de pensamento”(2: 289). No entanto, nesse estágio pré-crítico, ele também conclui que, mesmo sem definições sintéticas de seus conceitos primários, "a metafísica é tão capaz da certeza necessária para produzir convicção quanto a matemática" (2: 296). (Mais tarde, no período crítico, Kant expandirá a noção de síntese para descrever não apenas a gênese e a combinação de conceitos matemáticos, mas também o ato de unificar representações múltiplas. Ele também, é claro,use os termos "sintético" e "analítico" para distinguir duas maneiras mutuamente exclusivas pelas quais o sujeito e os conceitos de predicado se relacionam entre si em julgamentos distintos de qualquer tipo, e ele enfatizará um sentido ampliado dessa distinção que engloba um contraste metodológico entre dois modos de argumentação, um sintético ou progressivo e o outro analítico ou regressivo. Esses vários sentidos da distinção analítico / sintético serão abordados brevemente, abaixo.)Esses vários sentidos da distinção analítico / sintético serão abordados brevemente, abaixo.)Esses vários sentidos da distinção analítico / sintético serão abordados brevemente, abaixo.)

Nos ensaios “Concernente ao fundamento último da diferenciação de direções no espaço” e “Sobre a forma e os princípios do mundo sensível e do mundo inteligente [dissertação inaugural]” de 1768 e 1770, respectivamente, começam os pensamentos de Kant sobre matemática e seus resultados evoluir na direção de sua filosofia crítica à medida que ele começa a reconhecer o papel que uma faculdade distinta de sensibilidade desempenhará em um relato da cognição matemática (Carson 2004). Nesses ensaios, ele atribui o sucesso do raciocínio matemático ao seu acesso aos "princípios da forma sensível" e aos "dados primários da intuição", que resultam em "leis da cognição intuitiva" e "julgamentos intuitivos" sobre magnitude e extensão. Um desses julgamentos serve para estabelecer a possibilidade de um objeto que é "exatamente igual e semelhante a outro,mas que não pode ser encerrado nos mesmos limites que o outro, sua contraparte incongruente”(2: 382) (Buroker 1981; Van Cleve e Frederick 1991; Van Cleve 1999). Kant invoca essas "contrapartes incongruentes" em "Direções no espaço" para estabelecer a orientabilidade e a atualidade de um espaço absoluto no estilo newtoniano, o objeto da geometria como ele a entende. Ele invoca o mesmo exemplo na “Dissertação Inaugural” para estabelecer que as relações espaciais “só podem ser apreendidas por uma certa intuição pura” e, portanto, mostram que “a geometria emprega princípios que não são apenas indubitáveis e discursivos, mas também caem sob o olhar da mente. " Como tal, a evidência matemática é "o paradigma e o meio de todas as evidências nas outras ciências" (2: 403). (Mais tarde, nos Prolegômenos do período crítico,ele invocará contrapartes incongruentes para estabelecer a idealidade transcendental do espaço, negando assim seu argumento anterior em apoio ao espaço absoluto.)

2. Filosofia Crítica da Matemática de Kant

2.1 A teoria de Kant da construção de conceitos matemáticos em "A disciplina da razão pura no uso dogmático"

A filosofia crítica da matemática de Kant encontra a expressão mais completa na seção da Crítica da razão pura, intitulada "A disciplina da razão pura no uso dogmático", que inicia a segunda das duas principais divisões da crítica, a "Doutrina Transcendental do Método". Nas seções anteriores da Crítica, Kant submeteu a razão pura "em seu uso transcendental de acordo com meros conceitos" a uma crítica, a fim de "restringir sua propensão à expansão além dos estreitos limites da experiência possível" (A711 / B739). Mas Kant nos diz que é desnecessário sujeitar a matemática a essa crítica, porque o uso da razão pura na matemática é mantido em uma "faixa visível" por meio da intuição: "os conceitos [matemáticos] devem ser exibidos imediatamente em concreto na intuição pura,através do qual qualquer coisa infundada e arbitrária se torna instantaneamente óbvia”(A711 / B739). No entanto, a prática e a disciplina da matemática exigem uma explicação, tanto para explicar seu sucesso na demonstração de verdades substanciais e necessárias, quanto também para licenciar sua invocação como modelo de raciocínio. Kant, assim, direciona-se, como fez no período pré-crítico, à questão do que explica o método matemático "feliz e bem fundamentado" e também se é útil em qualquer outra disciplina que não a matemática. Para responder a esta última pergunta de forma negativa, Kant deve explicar a singularidade do raciocínio matemático.tanto para explicar seu sucesso na demonstração de verdades substanciais e necessárias, como também para licenciar sua invocação como modelo de raciocínio. Kant, assim, direciona-se, como fez no período pré-crítico, à questão do que explica o método matemático "feliz e bem fundamentado" e também se é útil em qualquer outra disciplina que não a matemática. Para responder a esta última pergunta de forma negativa, Kant deve explicar a singularidade do raciocínio matemático.tanto para explicar seu sucesso na demonstração de verdades substanciais e necessárias, como também para licenciar sua invocação como modelo de raciocínio. Kant, assim, direciona-se, como fez no período pré-crítico, à questão do que explica o método matemático "feliz e bem fundamentado" e também se é útil em qualquer outra disciplina que não a matemática. Para responder a esta última pergunta de forma negativa, Kant deve explicar a singularidade do raciocínio matemático. Kant deve explicar a singularidade do raciocínio matemático. Kant deve explicar a singularidade do raciocínio matemático.

A tese central do relato de Kant da singularidade do raciocínio matemático é sua afirmação de que a cognição matemática deriva da "construção" de seus conceitos: " construirum conceito significa exibir a priori a intuição correspondente a ele”(A713 / B741) (Friedman 1992, Friedman 2010). Por exemplo, enquanto o conceito pode ser definido discursivamente como uma figura retilínea contida por três linhas retas (como é feito nos Elementos de Euclides), o conceito é construído, no sentido técnico de Kant do termo, somente quando tal definição é emparelhada com um intuição correspondente, isto é, com uma representação singular e imediatamente evidente de uma figura de três lados. Kant argumenta que, quando alguém assim cria um triângulo com o objetivo de executar os passos construtivos auxiliares necessários para a prova geométrica, o faz a priori, quer o triângulo seja produzido no papel ou apenas na imaginação. Isso ocorre porque, em nenhum dos casos, o objeto exibido empresta seu padrão de qualquer experiência (A713 / B741). Além disso,pode-se derivar verdades universais sobre todos os triângulos a partir de uma exibição tão singular de um triângulo individual, uma vez que as determinações particulares do objeto exibido, por exemplo, a magnitude de seus lados e ângulos, são "totalmente indiferentes" à capacidade do triângulo renderizado de exibir o conceito geral (A714 / B742). O relato de Kant deve, portanto, ser defendido contra a posição comum de que verdades universais não podem ser derivadas de raciocínios que dependem de representações particulares. (De maneira semelhante, os lados menos do que perfeitamente retos de um triângulo renderizado empiricamente são igualmente "indiferentes" e, portanto, essa intuição empírica é considerada adequada para a prova geométrica. Isso levanta questões sobre como alguém pode ter certeza de que uma intuição exibe adequadamente o conteúdo de um triângulo. conceito, a relação entre intuição pura e empírica e,em particular, quais dos recursos exibidos intuitivamente podem ser ignorados com segurança (Friedman 2010, Friedman 2012).)

Por fim, Kant afirma que é "apenas o conceito de magnitudes" (quantidades) que pode ser construído em pura intuição, uma vez que "qualidades não podem ser exibidas em nada além de intuição empírica" (A714 / B742) (Sutherland 2004a; 2004b, 2005a). Isso leva a uma distinção de princípios entre cognição matemática e filosófica: enquanto a cognição filosófica se limita aos resultados de uma análise conceitual abstrata, a cognição matemática é o resultado de uma "cadeia de inferências sempre guiadas pela intuição", ou seja, por uma representação concreta de seus objetos (Hintikka 1967, Parsons 1969, Friedman 1992). Kant se esforça um pouco para explicar como o matemático constrói magnitudes aritméticas e algébricas, que são distintas das figuras espaciais que são objeto do raciocínio geométrico. Fazendo uma distinção entre construção “ostensiva” e “simbólica”, ele identifica a construção ostensiva com a prática do geômetro de mostrar ou exibir figuras espaciais, enquanto a construção simbólica se correlaciona com o ato de concatenar símbolos aritméticos ou algébricos (como quando, por exemplo, “um a magnitude deve ser dividida por outra, [matemática] coloca seus símbolos juntos de acordo com a forma de notação para divisão…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matemática] coloca seus símbolos juntos de acordo com a forma de notação para divisão…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).[matemática] coloca seus símbolos juntos de acordo com a forma de notação para divisão…”) (A717 / B745) (Brittan 1992, Shabel 1998).

Kant afirma ainda que o conceito puro de magnitude é adequado para construção porque, diferentemente de outros conceitos puros, ele não representa uma síntese de possíveis intuições, mas "já contém uma intuição pura em si". Mas como os únicos candidatos a essas "intuições puras" são o espaço e o tempo ("a mera forma das aparências"), segue-se que apenas as magnitudes espaciais e temporais podem ser exibidas em pura intuição, isto é, construídas. Tais magnitudes espaciais e temporais podem ser exibidas qualitativamente, exibindo as formas das coisas, por exemplo, a retangularidade dos painéis de uma janela, ou podem ser exibidas apenas quantitativamente, exibindo o número de partes das coisas, por exemplo, o número de painéis que a janela compreende. Em ambos os casos, o que é exibido conta como pura e "intuição formal",a inspeção da qual produz julgamentos que “vão além” do conteúdo do conceito original ao qual a intuição foi associada. Tais julgamentos são paradigmaticamente sintéticos a priori (a serem discutidos mais detalhadamente abaixo), pois são verdades ampliativas que são garantidas independentemente da experiência (Shabel, 2006).

Kant argumenta que o raciocínio matemático não pode ser empregado fora do domínio da matemática, pois tal raciocínio, como ele o entende, é necessariamente direcionado a objetos que são "determinados de forma determinada em pura intuição a priori e sem dados empíricos" (A724 / B752). Como apenas objetos matemáticos formais (ou seja, magnitudes espaciais e temporais) podem ser dados, o raciocínio matemático é inútil em relação ao conteúdo materialmente fornecido (embora as verdades resultantes do raciocínio matemático sobre objetos matemáticos formais sejam proveitosamente aplicadas a esse conteúdo material, o que é dizer que a matemática é a priori verdadeira das aparências.) Consequentemente, o "fundamento completo" que a matemática encontra em suas definições, axiomas e demonstrações não pode ser "alcançado ou imitado" pela filosofia ou pelas ciências físicas (A727 / B755).

Embora a teoria de Kant da construção de conceitos matemáticos possa ser considerada uma explicação da prática matemática, como Kant a entendeu [2], a teoria está entrelaçada com os compromissos mais amplos de Kant com distinções estritas entre intuições e conceitos, como modos de representação; entre as faculdades mentais da sensibilidade e compreensão; entre julgamentos sintéticos e analíticos; e entre evidência e raciocínio a priori e a posteriori. Por fim, o quadro da matemática desenvolvido na Disciplina da Razão Pura no Uso Dogmático depende da teoria de julgamento completa que a Crítica pretende fornecer e, crucialmente, da teoria da sensibilidade que Kant oferece em The Transcendental Aesthetic (Parsons 1992, Carson 1997).), bem como em passagens correspondentes na Questão Transcendental Principal do Prolegomena, Primeira Parte, onde ele investiga a “origem” dos conceitos puramente sensíveis da matemática e o “escopo de sua validade” (A725 / B753).[3]

2.2 Resposta de Kant à sua pergunta "Como é possível a matemática pura?"

Kant faz duas perguntas principais relacionadas à sua filosofia crítica: (1) Como os julgamentos sintéticos são possíveis a priori ?; e (2) Como a metafísica é possível como ciência (B19; B23)? A matemática fornece um caminho especial para ajudar a responder a essas perguntas, fornecendo um modelo de disciplina científica codificada cuja possibilidade é clara e, além disso, garantida por sua própria conquista de cognição, que é sintética e a priori. Em outras palavras, uma explicação de como os julgamentos sintéticos a priori são afirmados em contextos matemáticos, juntamente com a explicação resultante e relacionada de como um corpo sistemático de conhecimento demonstrável compreende tais julgamentos, permitem que a verdade matemática seja invocada como um paradigma do substantivo ainda verdades necessárias e universais que a metafísica espera alcançar. Kant 'A teoria de construção conceitual matemática de s (discutida acima) só pode ser totalmente apreciada em conjunto com o tratamento de questões mais amplas sobre a própria natureza e possibilidade do conhecimento matemático e metafísico.

Tanto no Preâmbulo dos Prolegômenos de Qualquer Futura Metafísica como na B-Introdução à Crítica da Razão Pura, Kant introduz a distinção analítica / sintética, que distingue entre julgamentos cujos predicados pertencem ou estão contidos no conceito e nos julgamentos do sujeito. cujos predicados estão conectados, mas vão além do conceito de sujeito, respectivamente. Em cada texto, ele segue sua apresentação dessa distinção com uma discussão de sua alegação de que todos os julgamentos matemáticos são sintéticos e a priori. [4]Ali ele afirma, primeiro, que “julgamentos adequadamente matemáticos são sempre julgamentos a priori”, com base no fato de que são necessários e, portanto, não podem ser derivados da experiência (B14). Ele segue isso com uma explicação de como esses julgamentos não empíricos ainda podem ser sintéticos, ou seja, como eles podem servir para sintetizar um sujeito e um conceito de predicado, em vez de apenas explicar ou analisar um conceito de sujeito em suas partes lógicas constituintes. Aqui, ele famosa invoca a proposição "7 + 5 = 12" e argumenta negativamente, afirmando que "não importa quanto tempo analise meu conceito de uma soma tão possível [de sete e cinco], ainda não encontrarei doze nela", e também positivamente, afirmando que “é preciso ir além desses conceitos [de sete e cinco], buscando ajuda na intuição que corresponde a um dos dois, os cinco dedos,digamos … e uma após a outra, adicione as unidades das cinco dadas na intuição ao conceito de sete … e, assim, veja o número 12 surgir”(B15). Ele considera que a verdade necessária de uma proposição aritmética como "7 + 5 = 12" não pode ser estabelecida por nenhum método de análise lógica ou conceitual (Anderson 2004), mas pode ser estabelecida por síntese intuitiva (Parsons 1969). Ele segue essa discussão do raciocínio aritmético e da verdade com afirmações correspondentes sobre a geometria euclidiana, segundo as quais os princípios da geometria expressam relações sintéticas entre conceitos (como entre o conceito de linha reta entre dois pontos e o conceito de linha mais curta entre aqueles mesmos dois pontos), nenhum dos quais pode ser "extraído" analiticamente do outro. Os princípios da geometria, portanto, expressam relações entre conceitos geométricos básicos, na medida em que estes podem ser "exibidos na intuição" (Shabel 2003, Sutherland 2005a).

Em outros lugares, Kant também inclui teoremas geométricos como o tipo de proposições (além dos princípios geométricos) que contam como sintéticas (Friedman 1992, Friedman 2010). Mas o relato de Kant da sinteticidade de tais teoremas não é transparente. Tendo negado que os princípios (Grundsätze) pudessem ser analisados analiticamente a partir do princípio da contradição, ele admite que a inferência matemática do tipo necessário para estabelecer teoremas geométricos prossegue “de acordo com o princípio da contradição” e também que “uma proposição sintética é claro que pode ser compreendido de acordo com o princípio da contradição”, embora“apenas na medida em que outra proposição sintética seja pressuposta da qual possa ser deduzida, nunca em si mesma”(B14). Então, enquanto ele está claro que todos os julgamentos matemáticos, incluindo teoremas geométricos,são sintéticos, ele é menos claro sobre exatamente o que significa essas proposições ou as inferências que as sustentam para “concordar” com o princípio da contradição, derivabilidade da qual ele considera o teste paradigmático da analiticidade. Isso leva a uma discordância interpretativa sobre se os julgamentos matemáticos demonstráveis seguem os princípios sintéticos por meio de inferência estritamente lógica ou conceitual - e, portanto, em estrita conformidade apenas com o princípio da contradição - ou se eles são deduzidos por inferências que dependem da intuição, mas que não violam a lei da contradição. Existe, portanto, um desacordo sobre se Kant está comprometido apenas com a sintetização dos axiomas da matemática (que transmitem a sintetização a teoremas demonstráveis por inferência lógica),ou também está comprometido com a sinteticidade da própria inferência matemática. A primeira posição interpretativa está associada a Ernst Cassirer e Lewis White Beck; a última posição com Bertrand Russell (Hogan no prelo). Gordon Brittan (Brittan 2006) concebe essas duas posições “evidencialista”, que é o seu rótulo para qualquer interpretação segundo a qual as intuições fornecem evidências indispensáveis para a verdade da matemática, sejam essas evidências fornecidas em apoio a axiomas ou inferências, ou ambos. De acordo com sua posição “objetivista” alternativa, as intuições não fornecem evidências, mas são veículos semânticos de referência singular e “realidade objetiva” (Brittan, 2006).a última posição com Bertrand Russell (Hogan no prelo). Gordon Brittan (Brittan 2006) concebe essas duas posições “evidencialista”, que é o seu rótulo para qualquer interpretação segundo a qual as intuições fornecem evidências indispensáveis para a verdade da matemática, sejam essas evidências fornecidas em apoio a axiomas ou inferências, ou ambos. De acordo com sua posição “objetivista” alternativa, as intuições não fornecem evidências, mas são veículos semânticos de referência singular e “realidade objetiva” (Brittan, 2006).a última posição com Bertrand Russell (Hogan no prelo). Gordon Brittan (Brittan 2006) concebe essas duas posições “evidencialista”, que é o seu rótulo para qualquer interpretação segundo a qual as intuições fornecem evidências indispensáveis para a verdade da matemática, sejam essas evidências fornecidas em apoio a axiomas ou inferências, ou ambos. De acordo com sua posição “objetivista” alternativa, as intuições não fornecem evidências, mas são veículos semânticos de referência singular e “realidade objetiva” (Brittan, 2006). De acordo com sua posição “objetivista” alternativa, as intuições não fornecem evidências, mas são veículos semânticos de referência singular e “realidade objetiva” (Brittan, 2006). De acordo com sua posição “objetivista” alternativa, as intuições não fornecem evidências, mas são veículos semânticos de referência singular e “realidade objetiva” (Brittan, 2006).

A atenção a esta questão interpretativa na filosofia da matemática de Kant é vital para a luz que lança sobre a questão mais geral do que torna possível a cognição sintética a priori, a questão central da Crítica da razão pura de Kant. Com relação a essa questão mais geral, é importante diferenciar o uso de Kant dos termos "analítico" e "sintético" para marcar uma distinção lógico-semântica entre tipos de julgamento - que Kant usa para defender a tese distintiva de que a cognição matemática é sintética a priori - pelo uso dos mesmos termos para marcar uma distinção matemática tradicional, entre métodos analíticos e sintéticos (Beaney 2012). Ele emprega a última distinção, a fim de identificar duas estratégias argumentativas distintas para responder à questão da “possibilidade da matemática pura. O método analítico é caracterizado pelo raciocínio que rastreia um determinado corpo de cognição, como a matemática, até sua origem ou fontes na mente. Por outro lado, o método sintético visa derivar a cognição real diretamente dessas fontes cognitivas originais, cujas fontes ou poderes são explicados primeiro independentemente de qualquer corpo específico de cognição (incluindo a matemática) que os poderes possam finalmente produzir. Kant adota o método anterior em seus Prolegômenos, argumentando desde a natureza sintética e a priori do julgamento matemático até a alegação de que espaço e tempo são as formas da sensibilidade humana; ele adota o último método na Crítica da razão pura, argumentando que as formas de sensibilidade humana, espaço e tempo fornecem a base para derivar julgamentos sintéticos e matemáticos a priori (Shabel 2004). Esses argumentos,juntamente com os detalhes de seu relato da natureza sintética e a priori de todo julgamento matemático, fornece uma resposta para a questão da possibilidade da matemática: as práticas que produzem os julgamentos paradigmaticamente sintéticos e a priori da ciência da matemática estão fundamentadas em e explicado pela própria natureza da sensibilidade humana e, em particular, pela forma espaço-temporal de todos (e somente) os objetos da experiência humana (Van Cleve, 1999).pela forma espaço-temporal de todos (e somente) os objetos da experiência humana (Van Cleve, 1999).pela forma espaço-temporal de todos (e somente) os objetos da experiência humana (Van Cleve, 1999).

2.3 A concepção de Kant do papel da matemática no idealismo transcendental

A teoria da prática matemática de Kant se conecta não apenas à sua teoria da sensibilidade (como descrita acima), mas também a outros aspectos da doutrina do idealismo transcendental, conforme articulada ao longo dos trabalhos críticos de Kant.

No Analítico Transcendental, Kant deduz a tabela de doze categorias, ou conceitos puros do entendimento, os seis primeiros que ele descreve como categorias "matemáticas" (ao contrário de "dinâmicas") devido à preocupação com objetos de intuição (B110) O conceito de número é tratado como "pertencente" à categoria de "aliança" ou totalidade, que se pensa resultar da combinação dos conceitos de unidade e pluralidade (Parsons 1984). Mas Kant afirma ainda que as dificuldades que surgem na representação de infinitos - nas quais alguém supostamente representa unidade e pluralidade sem representação resultante de número - revelam que um conceito de número deve exigir a mediação de "um ato especial do entendimento" (B111).(Esse ato especial é presumivelmente a síntese que Kant descreve como uma função da imaginação e do entendimento, e que é o negócio de toda a teoria do julgamento - incluindo a Dedução Transcendental e o Esquematismo - para explicar (Longuenesse 1998).), embora ele também afirme que a aritmética "forma seus conceitos de números através da adição sucessiva de unidades no tempo" (4: 283), é enganoso inferir que a aritmética é o tempo como a geometria é o espaço, uma vez que uma intuição formal do tempo é inadequado para explicar a ciência geral e abstrata do número.embora ele também afirme que a aritmética "forma seus conceitos de números através da adição sucessiva de unidades no tempo" (4: 283), é enganoso inferir que a aritmética é o tempo como a geometria é o espaço, uma vez que uma intuição formal do tempo é inadequada para explicar a ciência geral e abstrata do número.embora ele também afirme que a aritmética "forma seus conceitos de números através da adição sucessiva de unidades no tempo" (4: 283), é enganoso inferir que a aritmética é o tempo como a geometria é o espaço, uma vez que uma intuição formal do tempo é inadequada para explicar a ciência geral e abstrata do número.[5] (De fato, Kant declara que a mecânica é a ciência matemática que consiste em cronometrar o que é geometria para o espaço.)

No Esquematismo, Kant compromete-se a identificar o mecanismo particular que permite que os conceitos puros do entendimento subsumam intuições sensíveis, com as quais são heterogêneas. As categorias devem ser "esquematizadas" porque sua origem não empírica no entendimento puro impede que eles tenham o tipo de conteúdo sensível que os conectaria imediatamente aos objetos da experiência; esquemas transcendentais são representações mediadoras destinadas a estabelecer a conexão entre conceitos puros e aparências de maneira governada por regras. Os conceitos matemáticos são discutidos nesse contexto, pois são únicos por serem conceitos puros, mas também sensíveis: são puros porque têm origem estritamente a priori e, no entanto, são sensatos, pois são construídos em concreto.(Kant complica ainda mais essa questão, identificando o número como o esquema puro da categoria de magnitude (Longuenesse 1998).) Surge uma questão interpretativa sobre se os conceitos matemáticos, cujo conteúdo conceitual é sensato, requerem esquematização por uma “terceira coisa distinguível””E, em caso afirmativo, o que isso significa (Young 1984). De maneira mais ampla, surge a questão de como a imaginação transcendental, a faculdade responsável pelo esquematismo, opera em contextos matemáticos (Domski 2010).surge a questão de como a imaginação transcendental, a faculdade responsável pelo esquematismo, opera em contextos matemáticos (Domski 2010).surge a questão de como a imaginação transcendental, a faculdade responsável pelo esquematismo, opera em contextos matemáticos (Domski 2010).

Finalmente, na Analítica de Princípios, Kant deriva os julgamentos sintéticos que "fluem a priori de conceitos puros do entendimento" e que fundamentam todas as outras cognições a priori, incluindo as da matemática (A136 / B175). Os princípios do entendimento puro que estão associados às categorias de quantidade (isto é, unidade, pluralidade e totalidade) são os Axiomas da Intuição. Embora os princípios matemáticos propriamente ditos sejam “extraídos apenas da intuição” e, portanto, não constituam parte do sistema de princípios de puro entendimento, a explicação para a possibilidade de tais princípios matemáticos (descritos acima) deve ser complementada por uma descrição do mais alto possível princípios transcendentais (A148-9 / B188-9). Assim, os axiomas da intuição fornecem um meta-princípio, ou princípio dos princípios matemáticos da quantidade,ou seja, que "Todas as intuições são magnitudes extensas" (A161 / B202). A maioria dos comentaristas interpreta Kant aqui como indicando por que os princípios da matemática, que têm a ver com espaço e tempo puros, são aplicáveis às aparências: as aparências só podem ser representadas “pela mesma síntese que aquela pela qual o espaço e o tempo em geral são determinados”(A161 / B202). Portanto, todas as intuições, sejam puras ou empíricas, são "magnitudes extensas" que são governadas pelos princípios da matemática. Expressando uma visão alternativa, Daniel Sutherland vê os Axiomas da Intuição no que diz respeito "não apenas à aplicabilidade da matemática, mas também à possibilidade de qualquer cognição matemática, pura ou aplicada, geral ou específica" e, portanto, com um significado mais amplo do que o apreciado (Sutherland 2005b).

(Também é notável que passagens importantes da Crítica do poder do julgamento julguem a matemática e o “sublime matemático” (Breitenbach 2015). Ver especialmente [5: 248ss].)

3. Comentários e Debate Interpretativo

A concepção de Kant da matemática foi debatida por seus contemporâneos; influenciou e provocou Frege, Russell e Husserl; e inspirou o intuicionismo brouweriano. Sua concepção da matemática foi rejuvenescida como digna de um estudo histórico próximo da monografia de Gottfried Martin, em 1938, Arithmetik und Kombinatoric bei Kant (Martin, 1985). Apesar das posições muito diferentes que os comentaristas contemporâneos desenvolvem sobre a melhor forma de entender o pensamento de Kant, eles estão amplamente unidos na oposição a uma história de longo prazo (talvez originalmente promovida por Bertrand Russell em seus Principles of Mathematics e por Rudolph Carnap em Philosophical Foundations of física) segundo a qual o desenvolvimento da lógica moderno no 19 º e 20 ºséculos, a descoberta de geometrias não euclidianas e a formalização da matemática tornam obsoleta ou irrelevante a teoria da matemática baseada na intuição de Kant e os compromissos filosóficos relacionados. Os comentaristas contemporâneos procuram reconstruir a filosofia da matemática de Kant da perspectiva do próprio contexto histórico de Kant e também identificar os elementos da filosofia da matemática de Kant que são de interesse filosófico eterno.

Nos últimos tempos, os estudos sobre a filosofia matemática de Kant foram influenciados mais fortemente por um debate duradouro entre Jaakko Hintikka e Charles Parsons sobre o que passaram a ser conhecidas como interpretações “lógicas” e “fenomenológicas” de Kant; pelo livro seminal de Michael Friedman, Kant e as ciências exatas (Friedman 1992), bem como seus artigos agora clássicos "Teoria da geometria de Kant" e "Geometria, construção e intuição em Kant e seus sucessores" (Friedman 1985, 2000); e pelos artigos coletados no volume de Carl Posy, Filosofia da Matemática de Kant (que inclui contribuições de Hintikka, Parsons e Friedman, bem como de Stephen Barker, Gordon Brittan, William Harper, Philip Kitcher, Arthur Melnick, Carl Posy, Manley Thompson e J. Michael Young,todos publicados há mais de vinte anos (Posy, 1992).)[6] Novas gerações de estudiosos contribuem para uma discussão animada, fértil e contínua sobre a interpretação e o legado da filosofia da matemática de Kant que se originou com esta literatura.

O debate interpretativo sobre como entender a visão de Kant sobre o papel da intuição no raciocínio matemático teve a maior influência sobre a forma de bolsa de estudos na filosofia da matemática de Kant; esse debate está diretamente relacionado à questão (descrita acima) da sintetização de axiomas, teoremas e inferências matemáticas. Em sua discussão geral sobre representação mental, Kant implica que imediatismo e singularidade são ambos critérios de representação intuitiva e não conceitual, a espécie de representação que fundamenta o julgamento sintético. Em uma série de artigos, Charles Parsons (Parsons 1964, 1969, 1984) argumentou que a sinteticidade dos julgamentos matemáticos depende de as intuições matemáticas serem fundamentalmente imediatas, e ele explica o imediatismo de tais representações de maneira perceptiva, como direta,presença fenomenológica para a mente. Jaakko Hintikka (Hintikka 1965, 1967, 1969), desenvolvendo uma idéia do trabalho anterior de EW Beth, rebate que a sinteticidade dos julgamentos matemáticos depende apenas da singularidade de seus constituintes intuitivos. Hintikka assimila intuições matemáticas a termos ou particulares singulares e explica o uso da intuição em um contexto matemático por analogia ao movimento lógico da instanciação existencial. Essas duas posições passaram a ser conhecidas como interpretações “fenomenológicas” e “lógicas”, respectivamente. Hintikka assimila intuições matemáticas a termos ou particulares singulares e explica o uso da intuição em um contexto matemático por analogia ao movimento lógico da instanciação existencial. Essas duas posições passaram a ser conhecidas como interpretações “fenomenológicas” e “lógicas”, respectivamente. Hintikka assimila intuições matemáticas a termos ou particulares singulares e explica o uso da intuição em um contexto matemático por analogia ao movimento lógico da instanciação existencial. Essas duas posições passaram a ser conhecidas como interpretações “fenomenológicas” e “lógicas”, respectivamente.

A posição original de Michael Friedman (Friedman 1985, 1992) com relação ao papel da intuição no raciocínio matemático desce da de Beth e Hintikka, embora seja substancialmente diferente da deles e tenha sido modificada em seus escritos mais recentes. Em Kant e as ciências exatas (Friedman, 1992), Friedman assume a posição de que nossa concepção moderna de lógica deve ser usada como uma ferramenta para interpretar (em vez de criticar) Kant, observando que a representação explícita de uma infinidade de objetos matemáticos que Isso pode ser gerado pela lógica poládica da moderna teoria da quantificação que está conceitualmente indisponível para o matemático e lógico da época de Kant. Como resultado da inadequação da lógica monádica para representar uma infinidade de objetos,o matemático do século XVIII conta com a intuição para fornecer as representações necessárias para o raciocínio matemático. Friedman explica os detalhes da filosofia da matemática de Kant com base nesse insight histórico.

Friedman modificou sua posição original em resposta às críticas de Emily Carson (Carson 1997), que desenvolveu uma interpretação da teoria da geometria de Kant que é parsonsiana em sua ênfase anti-formalista no papel epistemológico e fenomenológico sobre o papel lógico da intuição na matemática.. Em trabalhos recentes (Friedman 2000, 2010), Friedman argumenta que a intuição que fundamenta a geometria é fundamentalmente cinemática e é melhor explicada pelas traduções e rotações que descrevem tanto a ação construtiva do geômetro euclidiano quanto o ponto de vista perceptivo do cotidiano., observador espacialmente orientado. Essa nova conta fornece uma síntese entre as contas interpretativas lógicas e fenomenológicas,em grande parte, conectando o espaço geométrico que é explorado pela imaginação através de construções euclidianas ao espaço perspectivo que, segundo Kant, é a forma de toda a sensibilidade externa. Mais especificamente, ele reconcilia o lógico com o fenomenológico, “[incorporando] a compreensão puramente lógica das construções geométricas (como funções de Skolem) no espaço como a forma pura de nossa intuição sensível externa (conforme descrito na Estética Transcendental)” (Friedman 2012, n.17).ele reconcilia o lógico com o fenomenológico “incorporando a compreensão puramente lógica das construções geométricas (como funções de Skolem) no espaço como a forma pura de nossa intuição sensível externa (conforme descrito na Estética Transcendental)” (Friedman 2012, n. 17)ele reconcilia o lógico com o fenomenológico “incorporando a compreensão puramente lógica das construções geométricas (como funções de Skolem) no espaço como a forma pura de nossa intuição sensível externa (conforme descrito na Estética Transcendental)” (Friedman 2012, n. 17)

Bibliografia

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Outros recursos da Internet

  • Kant: Visão geral da Academy Edition, descrição completa de Kant's Gesammelte Schriften.
  • Kant na Web
  • Sociedade norte-americana de Kant

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