Lógica Híbrida

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Lógica híbrida

Publicado pela primeira vez em 13/06/06; revisão substantiva Fri 24 de março de 2017

Lógicas híbridas são lógicas que resultam da adição de mais poder expressivo à lógica modal comum. A lógica híbrida mais básica é obtida pela adição dos chamados nominais que são símbolos proposicionais de uma nova espécie, cada um sendo verdadeiro em exatamente um mundo possível. A história da lógica híbrida remonta ao trabalho de Arthur N. Prior na década de 1960.

  • 1. Motivações para a lógica híbrida
  • 2. Semântica formal
  • 3. Traduções
  • 4. Arthur N. Lógica prévia e híbrida
  • 5. O desenvolvimento da lógica híbrida desde Prior
  • 6. Axiomas para lógica híbrida
  • 7. Métodos de prova analítica para lógica híbrida
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. Motivações para a lógica híbrida

Na semântica padrão de Kripke para lógica modal, a verdade é relativa aos pontos em um conjunto. Assim, um símbolo proposicional pode ter valores de verdade diferentes em relação a pontos diferentes. Geralmente, esses pontos são considerados para representar mundos possíveis, tempos, estados epistêmicos, estados em um computador ou algo mais. Isso nos permite formalizar declarações em linguagem natural cujos valores de verdade são relativos, por exemplo, a tempos, como a declaração

está chovendo

que claramente tem valores de verdade diferentes em momentos diferentes. Agora, certas declarações de linguagem natural são verdadeiras exatamente ao mesmo tempo, mundo possível ou outra coisa. Um exemplo é a declaração

são cinco horas 15 de março de 2006

o que é verdade às cinco horas de 15 de março de 2006, mas falso em todos os outros momentos. O primeiro tipo de declarações de linguagem natural pode ser formalizado na lógica modal comum, mas o segundo tipo não.

Uma grande motivação para a lógica híbrida é adicionar mais poder expressivo à lógica modal comum, com o objetivo de formalizar o segundo tipo de afirmações. Isso é obtido adicionando à lógica modal comum um segundo tipo de símbolos proposicionais chamados nominais, de modo que, na semântica de Kripke, cada nominal seja verdadeiro em relação a exatamente um ponto. Uma declaração de linguagem natural do segundo tipo (como a declaração de exemplo às 15 horas de 15 de março de 2006) é formalizada usando um símbolo proposicional nominal, não comum (que seria usado para formalizar a declaração de exemplo com tempo chuvoso). O fato de um nominal ser verdadeiro em relação a exatamente um ponto implica que um nominal pode ser considerado um termo referente a um ponto, por exemplo, se (mathtt {a}) é um nominal que significa “são cinco 'relógio 15 março de 2006”,então, esse nominal pode ser considerado um termo referente às cinco horas de 15 de março de 2006. Assim, na lógica híbrida, um termo é um tipo específico de símbolo proposicional, enquanto na lógica de primeira ordem é um argumento para um predicado.

A maioria dos híbridos lógicas envolvem ainda a maquinaria adicional do que os nominais. Há várias opções para adicionar mais máquinas; aqui consideraremos o que chamamos de operadores de satisfação. A motivação para adicionar operadores de satisfação é poder formalizar uma afirmação verdadeira em um determinado momento, mundo possível ou qualquer outra coisa. Por exemplo, queremos poder formalizar que a afirmação “está chovendo” é verdadeira às cinco horas de 15 de março de 2006, ou seja, que

às cinco horas de 15 de março de 2006, está chovendo.

Isso é formalizado pela fórmula (mathtt {@_ a p}) em que o nominal (mathtt {a}) significa “são cinco horas da tarde em 15 de março de 2006” como acima e onde (mathtt {p}) é um símbolo proposicional comum que significa "está chovendo". É a parte (mathtt {@_ a}) da fórmula (mathtt {@_ a p}) que é chamada de operador de satisfação. Em geral, se (mathtt {a}) for nominal e (mathtt { phi}) for uma fórmula arbitrária, uma nova fórmula (mathtt {@_ a / phi}) denominada declaração de satisfação pode ser construída. A declaração de satisfação (mathtt {@_ a / phi}) expressa que a fórmula (mathtt { phi}) é verdadeira em relação a um ponto específico, a saber, o ponto em que o (mathtt {a nominal) }) refere-se.

Em resumo, adicionamos mais poder expressivo à lógica modal comum na forma de nominais e operadores de satisfação. Informalmente, o nominal (mathtt {a}) tem a condição de verdade

(mathtt {a}) é verdadeiro em relação a um ponto (w)

se e somente se

a referência de (mathtt {a}) for idêntica a (w)

e a declaração de satisfação (mathtt {@_ a / phi}) tem a condição de verdade

(mathtt {@_ a / phi}) é verdadeiro em relação a um ponto (w)

se e somente se

(mathtt { phi}) for verdadeiro em relação à referência de (mathtt {a })

Observe que, na verdade, o ponto (w) não importa na condição de verdade para (mathtt {@_ a / phi}), pois o operador de satisfação (mathtt {@_ a}) move o ponto de avaliação à referência de (mathtt {a}) seja qual for a identidade de (w).

É notável que os nominais, juntamente com os operadores de satisfação, nos permitam expressar que dois pontos são idênticos: Se os nominais (mathtt {a}) e (mathtt {b}) se referem aos pontos (w) e (v), a fórmula (mathtt {@_ a b}) expressa que (w) e (v) são idênticos. A seguinte linha de raciocínio mostra por quê.

(mathtt {@_ a b}) é verdadeiro em relação a um ponto (w)

se e somente se

(mathtt {b}) for verdadeiro em relação à referência de (mathtt {a})

se e só se

(mathtt {b}) é verdade em relação ao (w)

se e só se

a referência de (mathtt {b}) é idêntica à (w)

se e somente se

(v) for idêntico a (w)

A relação de identidade em um conjunto possui as propriedades conhecidas reflexividade, simetria e transitividade, que se refletem no fato de que as fórmulas

(begin {align *} & / mathtt {@_ a a} & / mathtt {@_ a b / rightarrow @_b a} & (mathtt {@_ a b / amp @_b c) rightarrow @ _A c} final {* align})

são fórmulas válidas da lógica híbrida. Também a fórmula

[(mathtt {@_ ab / amp @_a / phi) rightarrow @_b / phi})

é válido. Esta é a regra de substituição.

Além dos operadores nominais e de satisfação, consideraremos os chamados fichários (mathtt { forall}) e (mathtt { downarrow}), permitindo construir fórmulas (mathtt { forall a / phi}) e (mathtt {{ downarrow} a / phi}). Os ligantes vinculam os nominais aos pontos de duas maneiras diferentes: O fichário (mathtt { forall}) quantifica sobre pontos análogos ao quantificador universal de primeira ordem padrão, ou seja, (mathtt { forall a / phi}) é verdadeiro em relação a (w) se, e somente se, em qualquer ponto ao qual o nominal (mathtt {a}) se refere, é o caso em que (mathtt { phi}) é verdadeiro em relação a \(W). O fichário (mathtt { downarrow}) vincula uma nominal ao ponto de avaliação, ou seja, (mathtt {{ downarrow} a / phi}) é verdadeiro em relação a (w) se e somente se (mathtt { phi}) for verdadeiro em relação a (w) quando (mathtt {a}) se referir a (w). Acontece que o fichário (mathtt { downarrow}) é definível em termos de (mathtt { forall}) (como mostrado abaixo).

2. Semântica formal

A linguagem que consideramos é a linguagem da lógica modal comum construída sobre símbolos proposicionais comuns (mathtt {p}, / mathtt {q}, / mathtt {r},…), além de nominais (mathtt {a}, / mathtt {b}, / mathtt {c},…) e estendida com operadores e fichários de satisfação. Consideramos os conectivos proposicionais (mathtt { wedge}) e (mathtt { neg}) como primitivos; outros conectivos proposicionais são definidos como de costume. Da mesma forma, consideramos o operador modal (mathtt { Box}) como primitivo e definimos o operador modal (mathtt { Diamond}) como (mathtt { neg / Box / neg}). Como o nome sugere, os aglutinantes ligam nominais e as noções de ocorrências livres e encadeadas de nominais são definidas analogamente à lógica de primeira ordem. Os operadores de satisfação não vinculam valores nominais, ou seja,as ocorrências nominais livres em uma fórmula (mathtt {@_ a / phi}) são as ocorrências nominais livres em (mathtt { phi}) juntamente com a ocorrência de (mathtt {a}). Permitimos que (mathtt { phi [c / a]}) seja a fórmula (mathtt { phi}) em que o (mathtt {c}) nominal foi substituído por todas as ocorrências livres de o nominal (mathtt {a}). Se o nominal (mathtt {a}) ocorrer gratuitamente em (mathtt { phi}) no escopo de (mathtt { forall c}) ou (mathtt {{ downarrow} c}), o valor nominal (mathtt {c}) em (mathtt { phi}) é renomeado conforme apropriado. Se o nominal (mathtt {a}) ocorrer gratuitamente em (mathtt { phi}) no escopo de (mathtt { forall c}) ou (mathtt {{ downarrow} c}), o valor nominal (mathtt {c}) em (mathtt { phi}) é renomeado conforme apropriado. Se o nominal (mathtt {a}) ocorre em livre (mathtt { phi}), no âmbito de (mathtt { forall c}) ou (mathtt {{ downarrow} c}), o valor nominal (mathtt {c}) em (mathtt { phi}) é renomeado conforme apropriado.

Agora definimos modelos e molduras. Um modelo para lógica híbrida é um triplo ((W, R, V)) onde (W) é um conjunto não vazio, (R) é uma relação binária em (W) e (V) é uma função que para cada par que consiste em um elemento de (W) e um símbolo proposicional comum atribui um elemento do conjunto ({0,1 }). O par ((W, R)) é chamado de quadro. Assim, modelos e quadros são os mesmos que na lógica modal comum. Os elementos de (W) são chamados de mundos e a relação (R) é chamada de relação de acessibilidade. Diz-se que o modelo ((W, R, V)) se baseia no quadro ((W, R)).

Uma atribuição para um modelo (M = (W, R, V)) é uma função (g) que a cada nominal atribui um elemento de (W). Uma atribuição (g ') é uma variante (mathtt {a}) de (g) se (g') concorda com (g) em (g) em todos os nominais, exceto possivelmente (mathtt {uma}). A relação (M, g, w / vDash / phi) é definida por indução, onde (g) é uma atribuição, (w) é um elemento de (W) e (mathtt { phi}) é uma fórmula.

(M, g, w / vDash / mathtt {p}) iff (V (w, / mathtt {p}) = 1)

(M, g, w / vDash / mathtt {a}) iff (w = g (mathtt {a}))

(M, g, w / vDash / mathtt { phi / wedge / psi}) iff (M, g, w / vDash / mathtt { phi }) e (M, g, w / vDash / mathtt { psi})

(M, g, w / vDash / mathtt { neg / phi}) se não (M, g, w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { Box} phi) iff para qualquer elemento (v) de (W) tal que (wRv), é o caso que (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {@_ a / phi}) iff (M, g, g (mathtt {a}) vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt { forall a / phi}) iff para qualquer (mathtt {a}) - variante (g ') de (g), é o caso (M, g', w / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {{ downarrow} a / phi}) iff (M, g ', w / vDash / mathtt { phi}) onde (g') é o (mathtt {a}) - variante de (g) tal que (g '(mathtt {a}) = w).

Uma fórmula (mathtt { phi}) é dito ser verdadeiro em (w) se (M, G, W / vdash / mathtt { phi}); caso contrário, é considerado falso em (w). Por convenção (M, g / vDash / mathtt { phi}) significa (M, g, w / vDash / mathtt { phi}) para cada elemento (w) de (W) e (M / vDash / mathtt { phi}) significa (M, g / vDash / mathtt { phi}) para cada tarefa (g). Uma fórmula (mathtt { phi}) é válida em um quadro se e somente se (M / vDash / mathtt { phi}) para qualquer modelo (M) baseado no quadro em questão. Uma fórmula (mathtt { phi}) é válida em uma classe de quadros (F) se e somente se (mathtt { phi}) é válida em qualquer quadro em (F). Uma fórmula (mathtt { phi}) é válida se e somente se (mathtt { phi}) for válida na classe de todos os quadros. A definição de satisfação é deixada ao leitor.

Observe que o fichário (mathtt { downarrow}) é definível em termos de (mathtt { forall}) como a fórmula (mathtt {{ downarrow} a / phi / leftrightarrow / forall a (a / rightarrow / phi)}) é válida em qualquer quadro.

O fato de que a hibridação da lógica modal comum realmente fornecer um poder mais expressivo pode ser visto, por exemplo, considerando a fórmula (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}). É fácil verificar se essa fórmula é válida em um quadro se e somente se o quadro for irreflexivo. Assim, a irreflexividade pode ser expressa por uma fórmula lógica-híbrida, mas é bem sabido que não pode ser expressa por nenhuma fórmula da lógica modal comum. A irreflexividade pode realmente ser expressa apenas adicionando nominais à lógica modal comum, a saber, pela fórmula (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}). Outros exemplos de propriedades expressáveis na lógica híbrida, mas não na lógica modal comum, são assimetria (expressa por (mathtt {c / rightarrow / Box / neg / Diamond c})), antisimetria (expressa por (mathtt { c / rightarrow / Box (Diamante c / rightarrow c)})),e universalidade (expressa por (mathtt { Diamond c})).

Veja o capítulo do manual Areces e ten Cate (2006) para um relato detalhado da sintaxe e da semântica da lógica híbrida, bem como de muitas outras definições básicas. A sintaxe e a semântica acima podem ser estendidas de várias maneiras, em particular, máquinas de primeira ordem podem ser adicionadas (é claro, uma maneira equivalente de obter lógica híbrida de primeira ordem é adicionando máquinas lógicas híbridas ao modal de primeira ordem lógica). Veja Braüner (2014) para obter uma visão geral da lógica híbrida de primeira ordem, consulte o Capítulo 6 de Braüner (2011a) para obter uma descrição mais detalhada e consulte o Capítulo 7 de Braüner (2011a) para obter uma descrição da lógica híbrida intensiva de primeira ordem.

3. Traduções

A lógica híbrida pode ser convertida em lógica de primeira ordem com igualdade e (um fragmento de) lógica de primeira ordem com igualdade pode ser convertida de volta em (um fragmento) da lógica híbrida. A linguagem de primeira ordem em apreço tem um símbolo de 1 lugar predicado (mathtt {p ^ *}) correspondente a cada símbolo proposicional ordinária (mathtt {p}) da lógica modal, um símbolo de predicado 2-place (mathtt {R}) e um símbolo de predicado de dois lugares (mathtt {=}). Obviamente, o símbolo predicado (mathtt {p ^ *}) será interpretado de modo a relativizar a interpretação do símbolo proposicional modal correspondente (mathtt {p}) para os mundos, o símbolo predicado (mathtt {R}) será interpretado usando a relação de acessibilidade, e o símbolo de predicado (mathtt {=}) será interpretado usando a relação de identidade em mundos. Deixamos (mathtt {a}, / mathtt {b},\ mathtt {c}, / ldots) variam sobre variáveis de primeira ordem. O idioma não possui símbolos constantes ou de função. Identificaremos variáveis de primeira ordem com nominais de lógica híbrida.

Primeiro, traduzimos a lógica híbrida em lógica de primeira ordem com igualdade. Dadas duas novas variáveis de primeira ordem (mathtt {a}) e (mathtt {b}), as traduções (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) e (mathrm { ST} _ / mathtt {b}) são definidos por recursão mútua. Nós apenas damos a tradução (mathrm {ST} _ / mathtt {a}).

(begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {p}) & = / mathtt {p ^ * (a)} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt {c}) & = / mathtt {a = c} / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { psi}) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a } (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {ST} _a (phi) / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / phi }) & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { phi}) mathtt {)} / \ mathrm {ST } _ / mathtt {a} (mathtt {@_ c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) (mathtt {c} / / mathtt {a}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / phi}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) (mathtt {a} / / mathtt {c}] / \ mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { forall c / phi}) e= / mathtt { forall c} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi}) end {align *})

A definição de (mathrm {ST} _ / mathtt {b}) é obtida trocando (mathtt {a}) e (mathtt {b}). A tradução é uma extensão da conhecida tradução padrão da lógica modal para a lógica de primeira ordem. Como exemplo, demonstramos passo a passo como a fórmula lógica híbrida (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) é traduzida em uma fórmula de primeira ordem:

(begin {align *} mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) & = / mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { Box / neg c}) (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt { neg c}) mathtt {)} (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg} mathrm {ST} _ / mathtt {b} (mathtt {c}) mathtt {)} (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = c)} (mathtt {a} / / mathtt {c}] & = / mathtt { forall b (R (a, b) rightarrow / neg b = uma)}. / end {align *})

A fórmula de primeira ordem resultante é equivalente a (mathtt { neg R (a, a)}), que mostra que (mathtt {{ downarrow} c / Box / neg c}) realmente corresponde a a relação de acessibilidade é irreflexiva, cf. acima.

A lógica de primeira ordem com igualdade pode ser convertida novamente em lógica híbrida pela tradução HT fornecida abaixo.

(begin {align *} mathrm {HT} (mathtt {p ^ * (a)}) & = / mathtt {@_ a p} / \ mathrm {HT} (mathtt {R (a, c)}) & = / mathtt {@_ a / Diamond c} / \ mathrm {HT} (mathtt {a = c}) & = / mathtt {@_ a c} / \ mathrm {HT} (mathtt { phi / wedge / psi}) & = / mathrm {HT} (mathtt { phi}) mathtt { wedge} mathrm {HT} (mathtt { psi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { neg / phi}) & = / mathtt { neg} mathrm {HT} (mathtt { phi}) / \ mathrm {HT} (mathtt { forall a / phi}) & = / mathtt { forall a} mathrm {HT} (mathtt { phi}) end {align *})

Observe que o fichário lógico híbrido (mathtt { forall}) é necessário. A história das observações acima mencionadas remonta ao trabalho de Arthur N. Prior, retornaremos a isso mais tarde.

Da mesma forma, o que é chamado fragmento limitado da lógica de primeira ordem pode ser traduzido para a lógica híbrida, mas aqui apenas o fichário (mathtt { downarrow}) é necessário, como apontado no artigo Areces, Blackburn e Marx (2001) O fragmento delimitado é o fragmento da lógica de primeira ordem com a propriedade de que os quantificadores ocorrem apenas como na fórmula (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}), onde é necessário que as variáveis (mathtt {a}) e (mathtt {c}) são diferentes. Uma tradução do fragmento limitado para a lógica híbrida sem o fichário (mathtt { forall}) pode ser obtida substituindo a última cláusula na tradução HT acima por

(mathrm {HT} (mathtt { forall c (R (a, c) rightarrow / phi)}) = / mathtt {@_ a / Box { downarrow} c} mathrm {HT} (mathtt { phi}).)

Em Areces, Blackburn e Marx (2001), são apresentadas várias caracterizações semânticas independentes do fragmento delimitado.

As traduções dadas acima preservam a verdade. Para afirmar isso formalmente, utiliza-se a observação bem conhecida de que modelos e atribuições para lógica híbrida podem ser considerados modelos e designações para lógica de primeira ordem e vice-versa. Esses resultados de preservação da verdade são fáceis de formular e deixamos os detalhes para o leitor. Assim, a lógica híbrida com o fichário (mathtt { forall}) tem o mesmo poder expressivo que a lógica de primeira ordem com igualdade e a lógica híbrida sem o fichário (mathtt { forall}) (mas com o fichário (mathtt { downarrow})) tem o mesmo poder expressivo que o fragmento limitado da lógica de primeira ordem (observe que a tradução (mathrm {ST} _ / mathtt {a} (mathtt { phi})) de qualquer fórmula (mathtt { phi}) sem o fichário (mathtt { forall}) está no fragmento delimitado).

As traduções acima podem ser estendidas à lógica híbrida de primeira ordem; nesse caso, a lógica de destino relevante é lógica de primeira ordem de duas ordens com igualdade, uma espécie para mundos e outra para indivíduos, consulte o Capítulo 6 de Braüner (2011a). No caso da lógica híbrida intensional de primeira ordem, três tipos são empregados, sendo o terceiro tipo para intensões, veja o Capítulo 7 de Braüner (2011a).

4. Arthur N. Lógica prévia e híbrida

A história da lógica híbrida remonta à lógica tensa híbrida de Arthur N. Prior, que é uma versão hibridizada da lógica tensa comum. Com o objetivo de investigar mais adiante, forneceremos uma definição formal da lógica tensa híbrida: A linguagem da lógica tensa híbrida é simplesmente a linguagem da lógica híbrida definida acima, exceto que existem dois operadores modais, a saber (mathtt {G}) e (mathtt {H}), em vez do operador modal único (mathtt { Box}). Os dois novos operadores modais são chamados de operadores tensos. A semântica da lógica tensa híbrida é a semântica da lógica híbrida, cf. anteriormente, com a cláusula para (mathtt { Box}) substituída pelas cláusulas dos operadores tensos (mathtt {G}) e (mathtt {H}).

(M, g, w / vDash / mathtt {G / phi}) iff para qualquer elemento (v) de (W) tal que (wRv), é o caso (M, g, v / vDash / mathtt { phi})

(M, g, w / vDash / mathtt {H / phi}) iff para qualquer elemento (v) de (W) tal que (VRW), é o caso em que (H, g, v / vdash / mathtt { phi})

Portanto, agora existem dois operadores modais, um que “olha para frente” ao longo da relação de acessibilidade e outro que “olha para trás”. Na lógica tensa, os elementos do conjunto (W) são chamados momentos ou instantes e a relação (R) é chamada de relação anterior-posterior.

Obviamente, é fácil modificar as traduções (mathrm {ST} _a) e (mathrm {HT}) acima, para que as traduções sejam obtidas entre a lógica tensa híbrida (incluindo o (mathtt { forall }) fichário) e lógica de primeira ordem com igualdade. A lógica de primeira ordem em consideração é o que Prior chamou de lógica de primeira ordem, mais cedo depois. Dadas as traduções, segue-se que a lógica de primeira ordem anterior e posterior de Prior tem o mesmo poder expressivo da lógica tensa híbrida.

Agora, Prior introduziu a lógica tensa híbrida em conexão com o que ele chamou de quatro graus de envolvimento tenso-lógico. A motivação para seus quatro graus de envolvimento tenso-lógica era filosófico. As quatro notas foram apresentadas no livro Prior (1968), capítulo XI (também capítulo XI na nova edição Prior (2003)). Além disso, consulte Prior (1967), capítulo V.6 e apêndice B.3-4. Para uma discussão mais geral, consulte o livro publicado postumamente Prior e Fine (1977). Os estágios progridem do que pode ser considerado como pura lógica de primeira ordem, mais cedo para mais tarde, para o que pode ser considerado como lógica de tempo puro; o ser objetivo de ser capaz de considerar a lógica tenso da quarta fase como englobando a lógica anterior-posterior da primeira etapa. Em outras palavras, o objetivo era ser capaz de traduzir a lógica de primeira ordem da relação anterior-posterior em lógica tensa. Foi com esse objetivo em mente que Prior introduziu as chamadas proposições instantâneas:

O que chamarei de terceiro grau de envolvimento tenso-lógico consiste em tratar as variáveis instantâneas (a, b, c) etc. como também representando proposições. (Antes de 2003, p. 124)

No contexto da lógica modal, Prior chamou essas proposições de possíveis mundos. Certamente, é isso que chamamos aqui de nominais. Prior também apresentou o fichário (mathtt { forall}) e o que chamamos de operadores de satisfação (ele usou a notação (mathtt {T (a, / phi)}) em vez de (mathtt {@ _a / phi}) para operadores de satisfação). De fato, a lógica tensa do terceiro ano de Prior é idêntica à lógica tensa híbrida, conforme definido acima. O fichário (mathtt { downarrow}) foi introduzido muito mais tarde. Assim, Prior obteve o poder expressivo de sua lógica de primeira ordem, mais tarde, acrescentando à lógica do tempo ordinário mais poder expressivo na forma de nominais, operadores de satisfação e o fichário (mathtt { forall}). Então, do ponto de vista técnico, ele claramente alcançou seu objetivo.

No entanto, de um ponto de vista filosófico, foi discutido se a importação ontológica de sua lógica tensa da terceira série é a mesma que a importação ontológica da lógica de primeira ordem, mais cedo ou mais tarde. Por exemplo, por alguns autores, o fichário (mathtt { forall}) é considerado uma analogia direta ao quantificador de primeira ordem (mathtt { forall}) e, portanto, suspeito; veja, por exemplo, o artigo Sylvan (1996) na coleção Copeland (1996). Também vários outros artigos nesta coleção são relevantes. Veja Braüner (2002) para uma discussão sobre a lógica tensa da quarta série do Prior. Veja também Øhrstrøm e Hasle (1993), Øhrstrøm e Hasle (2006), Müller (2007) e Blackburn (2007). Por fim, veja a discussão das quatro notas de Prior no capítulo 1 de Braüner (2011a).

O artigo acima mencionado Øhrstrøm e Hasle (2006) fornece um relato detalhado do trabalho lógico de Prior. Para uma descrição abrangente da vida e obra de Prior, consulte o livro Øhrstrøm e Hasle (1995). O artigo Hasle e Øhrstrøm (2016) descreve a abordagem metodológica de Prior, em particular, sua visão sobre formalização e o papel da lógica simbólica nos estudos conceituais.

5. O desenvolvimento da lógica híbrida desde Prior

A primeira definição completamente rigorosa da lógica híbrida foi dada em Bull (1970), que apareceu em uma edição especial da revista Theoria em memória de Prior. Bull introduz um terceiro tipo de símbolos proposicionais, em que um símbolo proposicional é considerado verdadeiro exatamente em um ramo ("curso dos eventos") em um modelo de tempo de ramificação. Essa idéia de classificar símbolos proposicionais de acordo com as restrições de suas interpretações foi posteriormente desenvolvida por vários autores, veja a Seção 5 do artigo Blackburn e Tzakova (1999) para uma discussão.

A maquinaria lógica híbrida originalmente inventada por Prior no final da década de 1960 foi reinventada na década de 1980 por Solomon Passy e Tinko Tinchev da Bulgária, ver Passy e Tinchev (1985), bem como Passy e Tinchev (1991). Em vez de lógica modal comum, este trabalho ocorreu em conexão com a lógica dinâmica proposicional muito mais expressiva.

Uma contribuição importante nos anos 90 foi a introdução do fichário (mathtt { downarrow}). Uma versão inicial do fichário de linha baixa foi introduzida por Valentin Goranko nos artigos Goranko (1994) e Goranko (1996). A versão do presente artigo foi introduzida em Blackburn e Seligman (1995). Desde então, a lógica híbrida com o encadernador (mathtt { downarrow}) tem sido extensivamente estudada; veja, por exemplo, o artigo Areces, Blackburn e Marx (2001) sobre aspectos teóricos do modelo dessa lógica. Um estudo abrangente da teoria-modelo da lógica híbrida é a tese de doutorado de dez Cate (2004).

Além disso, a lógica híbrida mais fraca obtida pela omissão de ambos os ligantes (mathtt { downarrow}) e (mathtt { forall}) foi objeto de extensa exploração. Acontece que essa lógica livre de fichário e várias variantes dela são decidíveis. No artigo Areces, Blackburn e Marx (1999), são apresentados vários resultados de complexidade para lógicas modal e tensa híbridas em várias classes de quadros, por exemplo arbitrárias, transitivas, lineares e ramificadas. É notável que o problema de satisfação da lógica híbrida livre de ligante sobre quadros arbitrários seja decidível no PSPACE, que é o mesmo que a complexidade de decidir a satisfação na lógica modal comum. Assim, a hibridação da lógica modal comum fornece um poder mais expressivo, mas a complexidade permanece a mesma. Alguns trabalhos foram realizados na simulação de nominais dentro da lógica modal,veja Kracht e Wolter (1997).

Qualquer fórmula modal comum expressa uma propriedade monádica de segunda ordem nos quadros, e é sabido que, para algumas fórmulas modais, incluindo as chamadas fórmulas Sahlqvist, a propriedade de segunda ordem é equivalente a uma propriedade de primeira ordem. No artigo Goranko e Vakarelov (2006), isso também se aplica a uma classe de fórmulas híbridas-lógicas, incluindo as nominais. Existem vários algoritmos para calcular equivalentes de primeira ordem da fórmula modal comum. Um desses algoritmos, SQEMA, está no artigo Conradie, Goranko e Vakarelov (2006) estendido para abranger as fórmulas híbridas-lógicas consideradas em Goranko e Vakarelov (2006).

É notável que a lógica híbrida de primeira ordem ofereça precisamente os recursos necessários para provar os teoremas da interpolação: Embora a interpolação falhe em várias lógicas modais de primeira ordem conhecidas, seus equivalentes hibridizados têm essa propriedade, veja Areces, Blackburn e Marx (2003), bem como Blackburn e Marx (2003). O primeiro artigo fornece uma prova teórica de interpolação do modelo, enquanto o segundo artigo fornece um algoritmo para o cálculo de interpolantes com base em um sistema de tableau.

Também deve ser mencionado que lógicas semelhantes às lógicas híbridas desempenham um papel central na área da lógica de descrição, que é uma família de lógicas usada para representação do conhecimento em Inteligência Artificial, veja o artigo Blackburn e Tzakova (1998) e o doutorado de Carlos Areces tese (2000).

Como descrito na seção anterior, Prior introduziu a lógica tensa híbrida para lidar com uma questão específica da filosofia do tempo, mas em Prior (1968), capítulo XIV (também capítulo XIV na nova edição Prior (2003)), ele também mostrou essa lógica tensa híbrida pode substituir uma lógica temporal bidimensional introduzida por Hans Kamp em Kamp (1971). A dimensão é simplesmente o número de instantes aos quais uma fórmula é avaliada, portanto, adicionar máquinas lógicas híbridas permite que duas dimensões sejam substituídas por uma. Este trabalho foi recentemente acompanhado em vários artigos por Blackburn e Jørgensen; veja Blackburn e Jørgensen (2016a) para uma visão geral. A seguir, apresentamos um breve esboço dessa linha de trabalho, adaptada à terminologia do presente artigo. A versão da lógica híbrida em questão tem um nominal designado (mathtt {now}) e cada modelo vem com um tempo designado (t_0), de modo que i) qualquer fórmula independente é avaliada em relação a (t_0) e ii) o nominal (mathtt {now}) refere-se a (t_0). Mais formalmente, adotamos a convenção de que ((M, t_0), g / vDash / mathtt { phi}) significa (M, g, t_0 / vDash / mathtt { phi}) e consideramos apenas atribuições (g) onde (g (mathtt {now}) = t_0). Observe que o nominal (mathtt {now}), considerado como uma fórmula independente, é válido nessa semântica, mas esse não é o caso de qualquer outro nominal. Essa nova noção de validade é chamada por Blackburn e Jørgensen de validade contextual. O artigo Blackburn e Jørgensen (2013) fornece um sistema de axioma completo. essa noção de validade contextual. O artigo Blackburn e Jørgensen (2012) fornece um sistema completo de quadros, mas a semântica deste artigo está alinhada com a semântica bidimensional original de Kamp. Ambos os trabalhos também consideram índices adicionais como (mathtt {ontem}), (mathtt {today}) e (mathtt {tomorrow}).

O artigo Blackburn e Jørgensen (2016b) usa a lógica tensa híbrida para combinar idéias de Prior com as de Hans Reichenbach sobre como representar os tempos da linguagem natural. Prior preferia os operadores tensos bem conhecidos descritos acima, enquanto Reichenbach preferia referências temporais, isto é, referências a tempos específicos, Reichenbach (1947). Acontece que as duas abordagens podem ser combinadas, o que não foi o caminho adotado pelo próprio Prior - veja o relato de Blackburn e Jørgensen (2016b),

6. Axiomas para lógica híbrida

Vários trabalhos trataram de axiomas para a lógica híbrida, por exemplo, Gargov e Goranko (1993), Blackburn (1993) e Blackburn e Tzakova (1999). No artigo Gargov e Goranko (1993) é apresentado um sistema de axiomas para lógica híbrida, e é mostrado que, se o sistema for estendido com um conjunto de axiomas adicionais que são fórmulas puras (ou seja, fórmulas em que todos os símbolos proposicionais são nominais), o sistema de axiomas estendidos estará completo com relação à classe de quadros que valida os axiomas em questão. Fórmulas puras correspondem a condições de primeira ordem na relação de acessibilidade (cf. tradução (mathrm {ST} _ / mathtt {a}) acima), portanto sistemas de axiomas para novas lógicas híbridas com condições de primeira ordem na acessibilidade a relação pode ser obtida de maneira uniforme simplesmente adicionando axiomas, conforme apropriado. Assim,se, por exemplo, a fórmula (mathtt {c / rightarrow / Box / neg c}) for adicionada como um axioma, o sistema resultante será concluído com relação aos quadros irreflexivos, cf. mais cedo. Veja a discussão de tais regras na Seção 4 do artigo Blackburn (2000).

O sistema de prova em Gargov e Goranko (1993) utiliza uma regra complexa (chamada COV), na qual o esquema de fórmula que contém a parte ativa da regra pode ser arbitrariamente grande; de fato, a parte ativa é incorporada sob aninhamentos arbitrariamente profundos de operadores modais. Blackburn e Tzakova (1999) mostram que os operadores de satisfação podem ser usados para formular um sistema de axioma em um formato mais padrão, usando uma regra mais simples chamada PASTE, de modo que o sistema ainda esteja completo quando estendido com axônios puros.

O artigo Blackburn e ten Cate (2006) investiga regras de prova ortodoxas (que são regras de prova sem condições colaterais) em sistemas de axiomas, e é mostrado que, se alguém exige completude estendida usando fórmulas puras, as regras de prova não-ortodoxas são indispensáveis em sistemas de axiomas para lógica híbrida livre de fichário, mas um sistema de axioma pode ser fornecido apenas envolvendo regras de prova ortodoxas para a lógica híbrida mais forte, incluindo o fichário (mathtt { downarrow}). Veja também o livro Braüner (2011a) para outro sistema de axioma para lógica híbrida, bem como sistemas de axioma para lógica híbrida intuicionista e uma hibridação da lógica paraconsistente N4 de Nelson (compare com Costa e Martins (2016) onde outra lógica híbrida paraconsistente é considerada). Uma pesquisa da lógica híbrida intuicionista pode ser encontrada em Braüner (2011b).

O artigo Areces, Blackburn, Huertas e Manzano (2014) lida com uma versão híbrida-lógica da lógica modal de ordem superior (ou seja, lógica modal construída sobre a simples teoria dos tipos de Church). Os sistemas de axioma são fornecidos e a integridade é comprovada. Semântica do tipo Henkin. O artigo Blackburn, Huertas, Manzano e Jørgensen (2014) estende esses resultados para abranger o encadernador descendente e fornece traduções para e a partir do fragmento limitado da lógica de primeira ordem (veja acima).

7. Métodos de prova analítica para lógica híbrida

O Tableau, Gentzen e a teoria da prova do estilo de dedução natural para lógica híbrida funcionam muito bem em comparação com a lógica modal comum. Geralmente, quando um quadro modal, Gentzen ou sistema de dedução natural é fornecido, é para uma lógica modal específica e acabou sendo problemático formular esses sistemas para lógicas modais de maneira uniforme, sem introduzir máquinas metalingüísticas. Isso pode ser remediado por hibridação, ou seja, a hibridação de lógicas modais permite a formulação de sistemas uniformes de tableau, Gentzen e dedução natural para grandes classes de lógicas. O artigo Blackburn (2000) introduz um sistema de tableau para a lógica híbrida que possui essa característica desejável: análogo ao sistema de axioma de Blackburn e Tzakova (1999), a integridade é preservada se o sistema de tableau for estendido com um conjunto de axiomas puros, ou seja,,um conjunto de fórmulas puras que podem ser adicionadas a um quadro durante a construção do quadro. O sistema de tableau de Blackburn (2000) é a base para um procedimento de decisão para o fragmento livre de ligantes da lógica híbrida, apresentado em Bolander e Braüner (2006). Essa linha de trabalho foi continuada nos artigos Bolander e Blackburn (2007) e Bolander e Blackburn (2009). O artigo Cerrito e Cialdea (2010) apresenta outro procedimento de decisão baseado em tableau para a lógica híbrida. Outros procedimentos de decisão para lógicas híbridas, também baseados na teoria da prova, são apresentados no artigo Kaminski e Smolka (2009). Os procedimentos deste último artigo são baseados em uma formulação de ordem híbrida de ordem superior, envolvendo o cálculo lambda de tipagem simples. O sistema de tableau de Blackburn (2000) é a base para um procedimento de decisão para o fragmento livre de ligantes da lógica híbrida, apresentado em Bolander e Braüner (2006). Essa linha de trabalho foi continuada nos artigos Bolander e Blackburn (2007) e Bolander e Blackburn (2009). O artigo Cerrito e Cialdea (2010) apresenta outro procedimento de decisão baseado em tableau para a lógica híbrida. Outros procedimentos de decisão para lógicas híbridas, também baseados na teoria da prova, são apresentados no artigo Kaminski e Smolka (2009). Os procedimentos deste último artigo são baseados em uma formulação de ordem híbrida de ordem superior, envolvendo o cálculo lambda de tipagem simples. O sistema de tableau de Blackburn (2000) é a base para um procedimento de decisão para o fragmento livre de ligantes da lógica híbrida, apresentado em Bolander e Braüner (2006). Essa linha de trabalho foi continuada nos artigos Bolander e Blackburn (2007) e Bolander e Blackburn (2009). O artigo Cerrito e Cialdea (2010) apresenta outro procedimento de decisão baseado em tableau para a lógica híbrida. Outros procedimentos de decisão para lógicas híbridas, também baseados na teoria da prova, são apresentados no artigo Kaminski e Smolka (2009). Os procedimentos deste último artigo são baseados em uma formulação de ordem híbrida de ordem superior, envolvendo o cálculo lambda de tipagem simples. Essa linha de trabalho foi continuada nos artigos Bolander e Blackburn (2007) e Bolander e Blackburn (2009). O artigo Cerrito e Cialdea (2010) apresenta outro procedimento de decisão baseado em tableau para a lógica híbrida. Outros procedimentos de decisão para lógicas híbridas, também baseados na teoria da prova, são apresentados no artigo Kaminski e Smolka (2009). Os procedimentos deste último artigo são baseados em uma formulação de ordem híbrida de ordem superior, envolvendo o cálculo lambda de tipagem simples. Essa linha de trabalho foi continuada nos artigos Bolander e Blackburn (2007) e Bolander e Blackburn (2009). O artigo Cerrito e Cialdea (2010) apresenta outro procedimento de decisão baseado em tableau para a lógica híbrida. Outros procedimentos de decisão para lógicas híbridas, também baseados na teoria da prova, são apresentados no artigo Kaminski e Smolka (2009). Os procedimentos deste último artigo são baseados em uma formulação de ordem híbrida de ordem superior, envolvendo o cálculo lambda de tipagem simples. Os procedimentos deste último artigo são baseados em uma formulação de ordem híbrida de ordem superior, envolvendo o cálculo lambda de tipagem simples. Os procedimentos deste último artigo são baseados em uma formulação de ordem híbrida de ordem superior, envolvendo o cálculo lambda de tipagem simples.

O artigo Hansen, Bolander e Braüner (2017) fornece um procedimento de decisão baseado em tableau para lógica híbrida de muitos valores, ou seja, lógica híbrida em que a base da lógica clássica de dois valores foi generalizada para uma base lógica de muitos valores envolvendo uma espaço de valor de verdade com a estrutura de uma álgebra de Heyting finita. Hansen (2010) fornece um procedimento de decisão baseado em tableau para uma versão hibridizada de uma lógica epistêmica dinâmica chamada lógica de anúncio público. Esta é também uma questão importante da tese de doutorado Hansen (2011).

A teoria da prova do estilo de dedução natural da lógica híbrida foi explorada no livro Braüner (2011a). Este livro também fornece um sistema Gentzen para lógica híbrida. Esses sistemas de dedução natural e Gentzen podem ser estendidos com regras de prova adicionais correspondentes a condições de primeira ordem sobre as relações de acessibilidade expressas pelas chamadas teorias geométricas (isso é obviamente análogo a estender sistemas de tableau e axioma com axiomas puros). Veja também Braüner e de Paiva (2006), onde é dado um sistema de dedução natural para a lógica híbrida intuicionista (Capítulo 8 de Braüner (2011a)).

Os sistemas Tableau para lógica híbrida de primeira ordem podem ser encontrados no artigo Blackburn e Marx (2002). Os sistemas de dedução natural e axioma para lógica híbrida de primeira ordem podem ser encontrados no capítulo 6 do livro Braüner (2011a) e no capítulo 7 do livro trata da dedução natural para lógica híbrida intensional de primeira ordem. O artigo Barbosa, Martins e Carreteiro (2014) apresenta uma axiomatização de um fragmento da lógica híbrida de primeira ordem denominada lógica híbrida equacional de primeira ordem.

Sistemas de dedução natural e Gentzen para lógicas semelhantes às lógicas híbridas já foram explorados nos anos 90 por Jerry Seligman, veja a visão geral em Seligman (2001). Em particular, Seligman desenvolveu sistemas de prova que funcionam com fórmulas arbitrárias, não apenas declarações de satisfação, sendo este último o caso da maioria dos sistemas de prova para lógica híbrida, onde operadores de satisfação são usados para acessar informações ocultas por modalidades. Um sistema de dedução natural nesse estilo foi introduzido em Seligman (1997) e esse sistema foi desenvolvido no capítulo 4 do livro Braüner (2011a). Um sistema de tableau no estilo de prova de Seligman foi considerado em Blackburn, Bolander, Braüner e Jørgensen (2017), onde é fornecida uma prova de integridade sintática. Uma prova semântica completa do sistema de tableau é dada em Jørgensen, Blackburn, Bolander,Braüner (2016). O raciocínio nesses sistemas não depende diretamente das codificações globais que os operadores de satisfação possibilitam, portanto, esses sistemas podem ser considerados mais alinhados com o caráter local da semântica padrão do Kripke para lógica modal. De fato, esse estilo de raciocínio mais local torna esses sistemas adequados para formalizar o raciocínio prospectivo que ocorre em determinadas tarefas de raciocínio psicológico, ver Braüner (2014b), bem como Braüner, Blackburn e Polyanskaya (2016).esse estilo de raciocínio mais local torna esses sistemas adequados para formalizar o raciocínio prospectivo que ocorre em determinadas tarefas de raciocínio psicológico, ver Braüner (2014b), bem como Braüner, Blackburn e Polyanskaya (2016).esse estilo de raciocínio mais local torna esses sistemas adequados para formalizar o raciocínio prospectivo que ocorre em determinadas tarefas de raciocínio psicológico, ver Braüner (2014b), bem como Braüner, Blackburn e Polyanskaya (2016).

Alguns trabalhos em cálculos de resolução e verificação de modelos foram realizados, ver Areces, de Rijke e de Nivelle (2001), bem como Areces e Gorin (2011) para cálculos de resolução e Franceschet e de Rijke (2006), bem como Lange (2009) para resultados na verificação de modelos.

Desde meados da década de 90, o trabalho sobre lógica híbrida floresceu. Referimos o leitor às publicações da bibliografia para mais referências. Além disso, consulte os recursos da Internet abaixo.

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