Ficcionalismo Na Filosofia Da Matemática

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Ficcionalismo na Filosofia da Matemática

Publicado pela primeira vez em 22 de abril de 2008; revisão substantiva Mon Jul 23, 2018

O ficcionalismo matemático (doravante, simplesmente ficcionalismo) é melhor pensado como uma reação ao platonismo matemático. Platonismo é a visão de que (a) existem objetos matemáticos abstratos (isto é, objetos matemáticos não patiotemporais) e (b) nossas sentenças e teorias matemáticas fornecem descrições verdadeiras de tais objetos. Assim, por exemplo, na visão platonista, a frase '3 é primo' fornece uma descrição direta de um determinado objeto - ou seja, o número 3 - da mesma maneira que a frase 'Marte é vermelho' fornece uma descrição de Marte. Mas enquanto Marte é um objeto físico, o número 3 é (de acordo com o platonismo) um objeto abstrato. E os objetos abstratos, dizem os platonistas, são totalmente não físicos, não mentais, não espaciais, não temporais e não causais. Assim, nessa visão, o número 3 existe independentemente de nós e de nosso pensamento,mas não existe no espaço ou no tempo, não é um objeto físico ou mental e não entra em relações causais com outros objetos. Essa visão foi endossada por Platão, Frege (1884, 1893–1903, 1919), Gödel (1964) e, em alguns de seus escritos, Russell (1912) e Quine (1948, 1951), para não mencionar numerosos filósofos mais recentes. de matemática, por exemplo, Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) e Marcus (2015).para não mencionar numerosos filósofos mais recentes da matemática, por exemplo, Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998).), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) e Marcus (2015).para não mencionar numerosos filósofos mais recentes da matemática, por exemplo, Putnam (1971), Parsons (1971), Steiner (1975), Resnik (1997), Shapiro (1997), Hale (1987), Wright (1983), Katz (1998).), Zalta (1988), Colyvan (2001), McEvoy (2012) e Marcus (2015).

Ficcionalismo, por outro lado, é a visão de que (a) nossas sentenças e teorias matemáticas se referem a objetos matemáticos abstratos, como sugere o platonismo, mas (b) não existem objetos abstratos e, portanto, (c) nossas teorias matemáticas não são verdadeiras. Assim, a idéia é que frases como '3 é primo' são falsas ou falsas, pela mesma razão que, digamos, 'A fada dos dentes é generosa' é falsa ou falsa - porque, assim como não existe uma pessoa como essa, o dente fada, também não existe o número 3. É importante notar, no entanto, que, apesar do nome, as visões ficcionalistas não precisam envolver reivindicações muito fortes sobre a analogia entre matemática e ficção. Por exemplo, não há alegação aqui de que o discurso matemático é um tipo de discurso ficcional. Portanto,os ficcionalistas não estão comprometidos com a tese de que não existem desanalogias importantes entre matemática e ficção. (Voltaremos a esta questão abaixo, na seção 2.4.) Finalmente, também deve ser notado no início que o ficcionalismo é uma versão do nominalismo matemático, a visão de que não existem objetos matemáticos.

O ficcionalismo foi introduzido pela primeira vez por Field (1980, 1989, 1998, 2016). Desde então, a visão foi desenvolvida - de várias maneiras diferentes - por Balaguer (1996a, 1998a, 2001, 2009), Rosen (2001), Yablo (2002a, 2002b, 2005), Leng (2005a, 2005b, 2010), e Bueno (2009), embora, como ficará claro abaixo, alguém possa questionar se Bueno e Yablo são melhor interpretados como ficcionalistas. Outros para apoiar ou defender o ficcionalismo (ou pontos de vista nos arredores do ficcionalismo) incluem Daly (2006), Liggins (2010), Contessa (2016) e Plebani (2018). Finalmente, pode-se também interpretar Melia (2000) como uma visão ficcionalista, embora ele não se comprometa realmente com isso.

Vale ressaltar que Hoffman (2004) também apóia uma visão que é uma espécie de ficcionalismo. Sua visão é muito diferente da visão ficcionalista definida acima, no entanto, porque não envolve um compromisso com a tese (a). Ela reinterpreta a matemática nos moldes de Kitcher (1984) e depois apóia uma visão ficcionalista dessa reinterpretação; ou seja, ela sustenta que, uma vez que a matemática é reinterpretada dessa maneira, seus termos singulares não se referem e suas sentenças não são verdadeiras. (Não está claro o quanto essa visão difere da visão de Kitcher; pode-se interpretar Kitcher como endossando uma visão muito semelhante.) De qualquer forma, é importante notar que a rejeição da tese (a) por Hoffman a torna radicalmente diferente de uma visão mais padrão. visões ficcionalistas. Como ficará claro abaixo, a tese (a) é muito plausível,e sua plausibilidade é uma das principais razões para a popularidade do platonismo. Assim, um dos principais pontos de venda do ficcionalismo - isto é, o tipo padrão de ficcionalismo definido acima - é que ele combina a aceitação da tese (a) com uma ontologia antip platônica.

Também vale a pena notar que Lear (1982) e Corkum (2012) argumentam que Aristóteles possuía uma versão do ficcionalismo matemático; mas, como observa Corkum, é improvável que Aristóteles tenha a versão do ficcionalismo definida acima.

Quando se ouve pela primeira vez a hipótese ficcional, pode parecer um pouco louca. Devemos realmente acreditar que frases como '3 são primos' e '2 + 2 = 4' são falsas? Mas o apelo do ficcionalismo começa a surgir quando percebemos quais são as alternativas. Ao pensar cuidadosamente sobre as questões que envolvem a interpretação do discurso matemático, pode parecer que o ficcionalismo é realmente muito plausível e, de fato, pode ser apenas a visão menos louca por aí.

A Seção 1 fornece uma formulação do que pode ser pensado como o argumento central do ficcionalismo. A Seção 2 fornece uma discussão de várias objeções diferentes ao ficcionalismo, bem como várias versões diferentes do ficcionalismo. Essas duas coisas caminham juntas muito naturalmente, porque as diferentes versões do ficcionalismo surgiram em conexão com as respostas que diferentes filósofos deram às várias objeções ao ficcionalismo.

  • 1. O argumento para o ficcionalismo

    • 1.1 O argumento principal
    • 1.2 Premissa (1) e Nominalismo da Parafrase
    • 1.3 Premissa (2) e Nominalismo da Verdade Deflacionária
    • 1.4 Premissa (4) e Fisicalismo e Psicologismo
    • 1.5 Premissa (5) e platonismo
  • 2. Objeções ao ficcionalismo e respostas

    • 2.1 O Argumento Indispensabilidade
    • 2.2 Objetividade
    • 2.3 Revolucionismo e Hermeneuticismo
    • 2.4 Semelhança com a ficção
    • 2.5 Aceitando e Crendo
    • 2.6 Conteúdo Extra Misterioso
    • 2.7 Outras objeções
  • 3. Conclusão
  • Bibliografia
  • Ferramentas Acadêmicas
  • Outros recursos da Internet
  • Entradas Relacionadas

1. O argumento para o ficcionalismo

1.1 O argumento principal

O principal argumento para o ficcionalismo procede essencialmente ao tentar eliminar todas as alternativas ao ficcionalismo. O argumento pode ser colocado assim:

  1. Frases matemáticas como '4 é par' devem ser lidas pelo valor nominal; isto é, devem ser lidos como sendo da forma 'FA' e, portanto, como fazer afirmações diretas sobre a natureza de certos objetos; por exemplo, '4 é par' deve ser lido como uma afirmação direta sobre a natureza do número 4. Mas
  2. Se sentenças como '4 é par' devem ser lidas pelo valor nominal e, além disso, são verdadeiras, então deve realmente existir objetos do tipo sobre o qual se referem; por exemplo, se '4 é par' faz uma afirmação direta sobre a natureza do número 4, e se essa sentença é literalmente verdadeira, deve realmente existir algo como o número 4. Portanto, de (1) e (2), segue-se que
  3. Se frases como '4 é par' são verdadeiras, existem objetos matemáticos. Mas
  4. Se existem objetos matemáticos, eles são objetos abstratos, ou seja, objetos não-patiotemporais; por exemplo, se existe o número 4, é um objeto abstrato, não físico ou mental. Mas
  5. Não existem objetos abstratos. Portanto, de (4) e (5) pelo modus tollens, segue-se que
  6. Não existem objetos matemáticos. E assim, de (3) e (6) pelo modus tollens, segue-se que
  7. Frases como '4 é par' não são verdadeiras (na verdade, não são verdadeiras pelo motivo que os ficcionalistas dão, e, portanto, segue-se que o ficcionalismo é verdadeiro).

As três inferências nesse argumento são claramente válidas e, portanto, a única questão é se as quatro premissas básicas - (1), (2), (4) e (5) - são verdadeiras. E o bom da maneira como esse argumento é estabelecido é que cada uma dessas premissas deve se livrar de uma alternativa diferente ao ficcionalismo. Portanto, o argumento em (1) - (7) é na verdade uma concha de um argumento muito mais longo que inclui subargumentos em favor das premissas básicas e, portanto, contra as várias alternativas ao ficcionalismo.

Diante disso, podemos dizer que existem cinco alternativas (ou, se preferir, cinco categorias de alternativas) ao ficcionalismo. Aqueles que rejeitam (1) podem ser chamados de parafraseando nominalistas; aqueles que rejeitam (2) podem ser chamados de nominalistas da verdade deflacionária; aqueles que rejeitam (4) são fisicalistas ou psicólogos; e aqueles que rejeitam (5) são platonistas. Para motivar sua visão, os fictícios precisam apresentar argumentos contra todas essas visões.

A parte mais fácil do trabalho do ficcional aqui é argumentar contra as várias visões anti-platonistas. Todas essas visões - parafraseando o nominalismo, o deflacionário - o nominalismo da verdade, o fisicalismo e o psicologismo - podem ser entendidas (como o ficcionalismo pode) como reações ao platonismo. O platonismo é uma visão muito atraente, porque fornece um relato extremamente natural e agradável da prática matemática e do discurso matemático. Mas, apesar disso, muitos filósofos não apóiam o platonismo porque não conseguem aceitar sua ontologia. Em outras palavras, eles simplesmente não acreditam que existam objetos abstratos. Por esse motivo, grande parte do trabalho realizado na filosofia da matemática foi dedicado a tentativas de evitar o platonismo. Parafraseando o nominalismo, o nominalismo da verdade deflacionária, o fisicalismo,e psicologismo podem ser entendidos nesses termos. Todos eles tentam minar a visão platônica das condições de verdade das sentenças matemáticas. Mas, como ficará claro abaixo, há um sério problema com todas essas visões. E é aí que entra o ficcionalismo: ele concede a visão platônica das condições de verdade das sentenças matemáticas, mas ainda nega a tese ontológica do platonista de que existem objetos abstratos. Isso torna o ficcionalismo diferente de outras visões anti-platonistas de uma maneira importante. Podemos apreciar isso observando que o platonismo envolve duas teses diferentes, uma semântica e outra ontológica. A tese semântica é uma hipótese empírica sobre as condições de verdade das expressões matemáticas comuns,e a tese ontológica é uma hipótese profundamente metafísica sobre a existência de objetos abstratos. Toda versão do anti-platonismo rejeita a hipótese ontológica do platonista, e todas as versões não ficcionais do anti-platonismo também rejeitam a tese semântica. O ficcionalismo é a única visão anti-platônica que não rejeita a tese semântica. E é por isso que o ficcionalismo pode parecer mais atraente do que as outras versões do anti-platonismo - porque a hipótese semântica do platonista é extremamente plausível e bem motivada. Assim, as versões do anti-platonismo que rejeitam essa hipótese podem parecer implausíveis e desmotivadas. O ficcionalismo é a única visão anti-platônica que não rejeita a tese semântica. E é por isso que o ficcionalismo pode parecer mais atraente do que as outras versões do anti-platonismo - porque a hipótese semântica do platonista é extremamente plausível e bem motivada. Assim, as versões do anti-platonismo que rejeitam essa hipótese podem parecer implausíveis e desmotivadas. O ficcionalismo é a única visão anti-platônica que não rejeita a tese semântica. E é por isso que o ficcionalismo pode parecer mais atraente do que as outras versões do anti-platonismo - porque a hipótese semântica do platonista é extremamente plausível e bem motivada. Assim, as versões do anti-platonismo que rejeitam essa hipótese podem parecer implausíveis e desmotivadas.

Portanto, novamente, a parte fácil do argumento do ficcionalismo (ou, de qualquer forma, a parte mais fácil) é realizada fornecendo argumentos para as premissas (1), (2) e (4) - ou equivalente, fornecendo argumentos contra as várias versões não ficcionalistas do anti-platonismo, isto é, parafraseando o nominalismo, o nominalismo da verdade deflacionária, o fisicalismo e o psicologismo. As próximas três subseções (1.2-1.4) discutem essas quatro visões, bem como alguns argumentos que os ficcionalistas podem montar contra elas. A Seção 1.5 cobre a parte mais difícil do argumento do ficcionalista - isto é, a premissa (5) e a questão de como os ficcionalistas podem argumentar contra o platonismo.

1.2 Premissa (1) e Nominalismo da Parafrase

O nominalismo da paráfrase é a visão de que sentenças matemáticas comuns como '3 são primos' não devem ser lidas pelo valor nominal - ou mais especificamente, que não devem ser lidas como sendo da forma 'Fa' e fazendo afirmações sobre objetos matemáticos. Existem algumas versões diferentes dessa exibição. Talvez o mais famoso seja o if-thenism. Nesta visão, '3 é primo' é melhor interpretado como expressando uma afirmação condicional, como 'Se houvesse números, 3 seria primo' ou talvez 'Necessariamente, se houver números, 3 é primo'. (Versões do if-thenism foram desenvolvidas por Putnam (1967a, b), Horgan (1984), Hellman (1989), Dorr (2008) e Yablo (2017); além disso, um precursor dessa visão foi endossado pelo início Hilbert (veja suas 1899 e suas cartas a Frege em Frege 1980).outras versões do nominalismo da paráfrase foram endossadas por Chihara (1990), Yi (2002), Hofweber (2005), Rayo (2008, 2013) e Moltmann (2013); e pode-se também interpretar Curry (1951) e Wittgenstein (1956) dessa maneira.)

O problema das paráfrases das visões nominalistas é muito simples: elas envolvem hipóteses empíricas sobre os significados de enunciados matemáticos comuns que são extremamente implausíveis. Por exemplo, em conexão com o if-thenism, é realmente muito difícil acreditar que a melhor interpretação do que os falantes comuns do discurso matemático (matemáticos comuns e pessoas comuns) estão dizendo quando pronunciam, por exemplo, '3 é primo' é que se havia números, então 3 seria primo. Isso parece errado, o que as pessoas realmente querem dizer quando pronunciam frases como essa. De fato, parece que um argumento mais geral pode ser feito aqui. Há um bom princípio interpretativo que diz algo assim: devemos interpretar as declarações das pessoas pelo valor de face, a menos que haja evidências de que elas tenham intenções positivas de serem interpretadas não literalmente. Dado isso, e dado (o que parece óbvio) que as pessoas comuns não têm intenções positivas para que suas expressões matemáticas sejam interpretadas não literalmente - por exemplo, como expressando proposições condicionais - parece seguir-se que devemos interpretar nossas expressões matemáticas pelo valor de face. Mas isso significa que devemos aceitar a premissa (1) e rejeitar o nominalismo da paráfrase.

Os nominalistas de parafrase podem tentar responder a esse argumento negando que estejam comprometidos com a tese de que suas paráfrases se encaixam nas intenções de matemáticos comuns e de pessoas comuns. De fato, reivindicações desse tipo foram feitas por Chihara (1990, 2004) e Hellman (1998). Mas os nominalistas parafraseados não podem endossar essa postura, pois, se o fizerem, sua visão entrará em colapso em uma versão do ficcionalismo. Se os nominalistas parafraseados admitem que platonistas e ficcionalistas estão certos sobre os significados de enunciados matemáticos reais - isto é, os enunciados de matemáticos reais - então (já que eles também querem sustentar que não existem objetos abstratos), eles estarão comprometidos com o afirmam que as declarações de matemáticos reais são falsas. Portanto,se os nominalistas de paráfrase não alegam que suas paráfrases capturam o significado real de sentenças matemáticas comuns, então sua visão não fornecerá uma alternativa genuína ao ficcionalismo. Ele entrará em colapso em uma versão do ficcionalismo. Mais especificamente, um paráfrase nominalista seria apenas um ficcionalista que pensa que devemos alterar nossa linguagem matemática, ou o que queremos dizer com nossas expressões matemáticas; ou talvez a alegação seria simplesmente que poderíamos alterar nossa linguagem matemática se quiséssemos e que esse fato fornece aos ficcionistas uma maneira de responder a certas objeções.um nominalista parafraseado seria apenas um ficcionalista que pensa que devemos alterar nossa linguagem matemática, ou o que queremos dizer com nossas expressões matemáticas; ou talvez a alegação seria simplesmente que poderíamos alterar nossa linguagem matemática se quiséssemos e que esse fato fornece aos ficcionistas uma maneira de responder a certas objeções.um nominalista parafraseado seria apenas um ficcionalista que pensa que devemos alterar nossa linguagem matemática, ou o que queremos dizer com nossas expressões matemáticas; ou talvez a alegação seria simplesmente que poderíamos alterar nossa linguagem matemática se quiséssemos e que esse fato fornece aos ficcionistas uma maneira de responder a certas objeções.

1.3 Premissa (2) e Nominalismo da Verdade Deflacionária

O nominalismo da verdade deflacionária é a visão de que (a) como afirmam platonistas e ficcionalistas, frases matemáticas comuns como '3 é primo' devem ser lidas pelo valor nominal, ou seja, como sendo da forma 'FA' e, portanto, fazendo afirmações sobre objetos matemáticos e (b) não existem objetos matemáticos, mas (c) nossas sentenças matemáticas ainda são verdadeiras. Visões desse tipo foram endossadas por Azzouni (1994, 2004, 2010) e Bueno (2005, 2009). Deve-se notar, no entanto, que Bueno - em seu (2009) - chama sua versão do nominalismo da verdade deflacionária como uma versão do ficcionalismo. Isso não é porque ele realmente endossa a visão que está sendo chamada de ficcionalismo neste ensaio; é porque ele usa o termo 'ficcionalismo' de maneira diferente da maneira como está sendo usado neste ensaio. Mas é importante notar que o uso de Bueno não é tão diferente; pois, como estamos prestes a ver, o nominalismo e o ficcionalismo da verdade deflacionária (como está sendo definido aqui) são visões bastante semelhantes. (A visão de Bueno também difere da visão ficcionalista definida aqui de uma segunda maneira: ele apóia o agnosticismo sobre objetos abstratos em vez do anti-realismo completo. Mas essa diferença é ainda menos importante que a primeira; se reformularmos (b) e (c) na definição acima de ficcionalismo, para que fossem consistentes com o agnosticismo, praticamente nada sobre a visão ficcionalista teria que mudar. Portanto, os ficcionalistas podem escolher se querem ser agnósticos ou anti-realistas sobre objetos abstratos, e esta decisão não terá um impacto muito grande sobre o restante da visão. De fato, como ficará claro na seção 3,O agnosticismo de Bueno pode ser mais ou menos equivalente às opiniões de certos ficcionalistas.)

Antes de descrever os problemas com o nominalismo da verdade deflacionária, é importante notar que a afirmação central por trás dessa visão é uma hipótese empírica sobre o discurso comum. Em particular, é uma afirmação sobre o significado do termo 'verdadeiro' ou sobre o conceito de verdade. Quando os nominalistas da verdade deflacionária dizem que, por exemplo, '3 é primo', poderia ser verdadeiro mesmo que não existisse o número 3, eles estão reivindicando o conceito comum de verdade. Eles estão dizendo que esse conceito se aplica em certas situações que a maioria de nós - platonistas e ficcionalistas e quase todos os outros - pensam que não se aplica. Se os nominalistas da verdade deflacionária tentam negar que estão fazendo uma reivindicação sobre o conceito comum da verdade, então a visão deles entrará em colapso em uma versão do ficcionalismo. Pois, uma vez que eles concordam com os ficcionalistas que '3 é primo' pretende ser sobre um certo objeto abstrato, e como eles também concordam que não existem objetos abstratos, segue-se que, se eles endossarem uma visão padrão da verdade - ou seja, uma visão platonista-ficcionalista segundo a qual uma sentença da forma 'FA' não poderia ser verdadeira, a menos que 'a' se referisse a um objeto realmente existente - então eles teriam que admitir que '3 é primo' é falso. Agora, eles podem continuar argumentando que essas sentenças são verdadeiras * - onde isso é definido de tal maneira que sentenças da forma 'FA' podem ser verdadeiras * mesmo que não exista um -mas, é claro, os ficcionalistas concordariam com isso. Portanto, para que o nominalismo da verdade deflacionária seja genuinamente distinto do ficcionalismo, ele precisa envolver uma tese sobre o significado da palavra comum "verdadeiro";em particular, a alegação deve ser que sentenças da forma 'FA' possam ser verdadeiras, no sentido comum do termo, mesmo que o termo singular 'a' não se refira a nenhum objeto realmente existente.

Diante disso, a maioria dos ficcionalistas provavelmente diria que o problema com o nominalismo da verdade deflacionária é que é empiricamente implausível. Em outras palavras, a objeção seria que o nominalismo da verdade deflacionária voa muito diante de nossas intuições sobre o significado de "verdadeiro". E parece haver alguma justificativa para essa afirmação. Por exemplo, parece intuitivamente óbvio que a frase 'Marte é um planeta' não poderia ser literalmente verdadeira, a menos que realmente existisse algo como Marte. Além disso, intuitivamente, a frase "Marte é um planeta, mas não existe" parece uma contradição, e essa intuição parece ser incompatível com o nominalismo da verdade deflacionária. Se isso estiver certo - se a tese semântica da verdade deflacionária for contrária às nossas intuições semânticas -, isso fornece fortes evidências para pensar que é falsa.

Mas há também um segundo problema com o nominalismo da verdade deflacionária: ele deve nos fornecer uma maneira de evitar o platonismo, mas, na verdade, não. Prima facie, pode parecer que o nominalismo da verdade deflacionária ofereça uma maneira de evitar o platonismo, porque o argumento para o platonismo pode parecer basear-se na premissa (2) acima - ou seja, pode parecer basear-se na alegação da verdade antiflacionária que se sentenças como '4 é par' devem ser lidas pelo valor nominal, ou seja, como sendo da forma 'FA', e se essas sentenças são literalmente verdadeiras, estamos comprometidos em acreditar nos objetos de que eles tratam, por exemplo, o número 4. Mas, de fato, os platonistas podem formular seu argumento para que ele não se baseie nessa premissa de verdade anti-deflacionária. Para destacar esse ponto, vamos começar introduzindo dois novos termos art-'true1 'e' verdadeiro 2 '- e estipulando que' verdadeiro 1 'deve ser entendido como expressão do conceito de verdade platonista-ficcionalista da verdade, de modo que uma sentença da forma' FA 'não possa ser verdadeira 1, a menos que' a 'se refira a um objeto realmente existente, enquanto 'verdadeiro 2 ' expressa um conceito deflacionário de verdade, de modo que uma sentença da forma 'FA' possa ser verdadeira 2 mesmo que 'a' não se refira a nenhum objeto realmente existente. Diante disso, os platonistas podem dizer o seguinte:

Nós simplesmente não nos importamos se a palavra 'true', como é usada no inglês comum, expressa a verdade 1 ou a verdade 2 (ou se é ambígua e às vezes expressa o conceito de um e às vezes o outro). Reconhecemos que as formulações padrão do argumento para o platonismo envolvem afirmações no sentido de que sentenças matemáticas comuns como '3 são primos' são verdadeiras. Mas poderíamos, com a mesma facilidade, basear nosso argumento na afirmação de que frases como essa são verdadeiras 1. Ao fazer isso, não enfraqueceríamos nosso argumento de forma alguma. Para os argumentos que usamos para motivar a verdade da matemática - principalmente, o argumento da indispensabilidade de Quine-Putnam discutido abaixo - já são argumentos para a verdade 1de matemática. E isso não deveria ser surpreendente; pois quando dizemos que sentenças matemáticas comuns como '3 são primos' são verdadeiras, o que queremos dizer é que elas são verdadeiras 1; então, é claro, os argumentos que apresentamos para a verdade da matemática já deveriam ser argumentos para a verdade 1 da matemática.

Dado que os platonistas podem proceder dessa maneira, parece que a questão de saber se a tese semântica da verdade deflacionária está correta - ou seja, a questão de saber se a palavra em inglês 'true' expressa o conceito de verdade 1 ou verdade 2 - é simplesmente uma arenque vermelho. A verdadeira questão é se os platonistas têm bons argumentos para a verdade 1 da matemática (e, é claro, se os anti-platonistas têm bons argumentos contra a verdade 1 da matemática). Em outras palavras, se assumirmos que as premissas (1) e (4) são verdadeiras, de modo que temos que ler nossas afirmações matemáticas como sendo sobre (ou pelo menos pretendendo ser sobre) objetos abstratos, a verdadeira questão é se existem existem boas razões para escolher entre platonismo e ficcionalismo.

1.4 Premissa (4) e Fisicalismo e Psicologismo

Fisicalismo é a visão de que nossas sentenças e teorias matemáticas são sobre objetos físicos comuns. John Stuart Mill (1843) desenvolveu uma visão desse tipo. Na sua opinião, a matemática é apenas uma ciência natural muito geral. Assim, por exemplo, de acordo com Mill, a frase '2 + 3 = 5' não é uma afirmação sobre objetos abstratos (os números 2, 3 e 5); em vez disso, é uma afirmação sobre pilhas de objetos físicos (em particular, ele nos diz que, se empurrarmos uma pilha de dois objetos junto com uma pilha de três objetos, obteremos uma pilha de cinco objetos (Phillip Kitcher (1984)) e Penelope Maddy (1990) também endossaram as visões com “inclinações fisicalistas”, mas, no final, nenhuma delas é plausivelmente interpretada como caindo neste campo. A visão inicial de Maddy é melhor pensada como um tipo não tradicional de platonismo, porque de acordo com essa visão,a matemática é sobre objetos não físicos que existem no espaço e no tempo; e a visão de Kitcher é mais bem pensada como uma espécie de nominalismo de paráfrase, porque, na sua opinião, as expressões matemáticas acabam não sendo sobre objetos realmente existentes.)

Existem inúmeros problemas com visões fisicalistas da matemática. Para mencionar apenas um desses problemas, o fisicalismo parece completamente incapaz de explicar vários tipos de afirmações sobre infinidades que encontramos na matemática. Por exemplo, é um teorema da teoria dos conjuntos que existem infinitamente muitos números cardinais transfinitos que ficam cada vez maiores e maiores sem fim. Assim, a teoria dos conjuntos está comprometida com a existência de conjuntos infinitos que são tão grandes que simplesmente superam os conjuntos infinitos de variedades de jardins, como o conjunto de todos os números naturais. Não há maneira plausível de interpretar essa conversa sobre conjuntos infinitos gigantescos como sendo sobre objetos físicos.

Psicologismo é a visão de que sentenças e teorias matemáticas são sobre objetos mentais. Provavelmente, a versão mais comum dessa visão sustenta que os números são algo como idéias em nossas cabeças, e frases matemáticas comuns como '3 é primo' fornecem descrições dessas idéias. Esta visão era popular no final dos anos 19 thSéculo; foi endossado, por exemplo, pelos primeiros Husserl (1891), bem como pelos intuicionistas Brouwer (1912, 1948) e Heyting (1956). Mas Frege (1884, 1893–1903) forneceu uma série de argumentos contra a visão e a enterrou essencialmente. Para dar apenas um argumento aqui, parece que o psicologismo é tão incapaz quanto o fisicalismo de lidar com os enormes infinitos da matemática. Como acabamos de ver, as teorias de conjuntos padrão implicam que realmente existem enormes infinidades de objetos matemáticos. Mas não é crível que haja tantas idéias em nossas cabeças. De fato, parece claro que existem apenas finitas idéias em nossas cabeças. Portanto, não é plausível sustentar que as alegações da teoria dos conjuntos são tornadas verdadeiras por objetos mentais.

Em resposta, pode-se afirmar que, mesmo que não haja infinitas idéias em nossas cabeças, parece provável que tenhamos idéias de infinitas em nossas cabeças. Isso é sem dúvida verdade - existem tais idéias em nossas cabeças - mas isso não salva o psicologismo da objeção acima. Pois nossas teorias matemáticas implicam que realmente existem infinitamente muitos objetos matemáticos diferentes. Por exemplo, teorias padrão da aritmética implicam que existe algo como 1 e que existe algo como 2 (e que é distinto de 1), e que existe algo como 3 (e que é distinto de ambos 1 e 2) e assim por diante. Portanto, nossas teorias matemáticas são verdadeiras descrições de idéias em nossas cabeças apenas se realmente existem infinitamente muitas idéias diferentes em nossas cabeças. Assim, como não há muitas idéias em nossas cabeças,não podemos sustentar que nossas teorias matemáticas são verdadeiras descrições de tais coisas.

Como alternativa, pode-se responder ao argumento acima contra o psicologismo, movendo-se para uma visão segundo a qual as afirmações matemáticas são sobre idéias que poderíamos construir, ou possíveis objetos mentais, ou algo assim. Mas isso não seria uma visão psicológica, porque, nessa visão, os objetos da matemática não seriam objetos mentais reais; seriam objetos possíveis, que, presumivelmente, são objetos abstratos ou objetos de algum outro tipo metafisicamente dúbio.

Finalmente, alguém pode se opor a ambos os argumentos desta subseção - isto é, os argumentos contra o fisicalismo e o psicologismo - dizendo algo como isto:

Os argumentos apresentados aqui devem motivar a idéia de que sentenças matemáticas comuns como '4 é par' não são plausivelmente interpretadas como sendo sobre objetos físicos ou mentais - ou mais especificamente, que elas são melhor interpretadas como sendo sobre (ou pelo menos pretendendo objetos abstratos. Mas pode-se objetar aqui que, como uma interpretação do discurso matemático comum, a visão platonista / ficcionalista não é mais plausível que o fisicalismo ou o psicologismo. Pois alguém pode achar que é implausível supor que, quando pessoas comuns fazem afirmações matemáticas, pretendem falar sobre objetos abstratos.

Mas platonistas e ficcionalistas não estão comprometidos com a tese de que as pessoas têm intenções positivas de falar sobre objetos abstratos. Em vez disso, eles podem dizer o seguinte: (i) afirmações matemáticas comuns são melhor interpretadas pelo valor nominal - e, portanto, como afirmações sobre objetos - porque matemáticos típicos (e, de fato, exemplos típicos de pessoas comuns) não têm intenções positivas estar falando literalmente quando proferem sentenças matemáticas; e (ii) existem características das intenções de matemáticos típicos e de pessoas típicas, no que diz respeito a seus enunciados matemáticos, que são inconsistentes com a idéia de que esses enunciados são sobre objetos físicos ou mentais;e (iii) não há nada nas intenções de matemáticos ou pessoas típicas que seja inconsistente com a idéia de que nossas sentenças matemáticas são sobre objetos abstratos. Assim, sob essa visão, a teoria semântica platonista / ficcionalista é melhor do que outras teorias semânticas do discurso matemático porque é a única teoria consistente com os dados - não porque matemáticos e pessoas comuns têm intenções positivas de falar sobre objetos abstratos quando pronunciam frases matemáticas.a teoria semântica platonista / ficcionalista é melhor do que outras teorias semânticas do discurso matemático porque é a única teoria consistente com os dados - não porque matemáticos e pessoas comuns têm intenções positivas de falar sobre objetos abstratos quando proferem frases matemáticas.a teoria semântica platonista / ficcionalista é melhor do que outras teorias semânticas do discurso matemático porque é a única teoria consistente com os dados - não porque matemáticos e pessoas comuns têm intenções positivas de falar sobre objetos abstratos quando proferem frases matemáticas.

(Vale a pena notar, antes de prosseguir, que se pode afirmar que a existência de objetos matemáticos como números depende de nós sem endossar uma visão psicológica desses objetos. Pois pode-se afirmar que os números são objetos abstratos dependentes da mente - isto é, não Objetos patiotemporais que surgiram por causa das atividades dos seres humanos. As visões desse tipo geral são endossadas por Liston (2003-04), Cole (2009) e Bueno (2009).

1.5 Premissa (5) e platonismo

Se os argumentos apresentados até agora estão corretos, as únicas visões restantes - as únicas filosofias da matemática que não foram descartadas - são o platonismo e o ficcionalismo. Assim, para completar seu argumento, os ficcionalistas precisam apenas fornecer um argumento para premissa (5); em outras palavras, eles só precisam argumentar contra o platonismo. Mas isso acaba sendo muito mais difícil do que argumentar contra as várias versões não-ficcionalistas do anti-platonismo consideradas acima. Como vimos, os ficcionalistas podem argumentar contra essas visões simplesmente motivando uma série de hipóteses empíricas sobre o discurso matemático comum e o significado comum da palavra "verdadeiro". Mais especificamente, os ficcionalistas podem argumentar contra essas visões argumentando que (a) as expressões matemáticas comuns são melhor interpretadas pelo valor de face,e (b) essas expressões não podem ser plausivelmente interpretadas como sobre objetos físicos ou mentais, e (c) frases da forma 'O objeto a é um F' não podem ser verdadeiras, no sentido comum do termo, a menos que haja realmente uma coisa como a. Mas os ficcionalistas não podem argumentar contra o platonismo dessa maneira, porque os ficcionalistas e platonistas concordam sobre os significados das expressões matemáticas comuns (e a palavra "verdadeiro"). De fato, platonistas e ficcionalistas não discordam sobre nenhuma tese semântica. Seu desacordo é sobre uma tese ontológica: os platonistas acreditam em objetos abstratos, enquanto os ficcionalistas não. Assim, se os ficcionalistas vão argumentar contra o platonismo, terão que usar um tipo diferente de argumento.e (c) sentenças da forma 'O objeto a é um F' não podem ser verdadeiras, no sentido comum do termo, a menos que realmente exista tal coisa como a. Mas os ficcionalistas não podem argumentar contra o platonismo dessa maneira, porque os ficcionalistas e platonistas concordam sobre os significados das expressões matemáticas comuns (e a palavra "verdadeiro"). De fato, platonistas e ficcionalistas não discordam sobre nenhuma tese semântica. Seu desacordo é sobre uma tese ontológica: os platonistas acreditam em objetos abstratos, enquanto os ficcionalistas não. Assim, se os ficcionalistas vão argumentar contra o platonismo, terão que usar um tipo diferente de argumento.e (c) sentenças da forma 'O objeto a é um F' não podem ser verdadeiras, no sentido comum do termo, a menos que realmente exista tal coisa como a. Mas os ficcionalistas não podem argumentar contra o platonismo dessa maneira, porque os ficcionalistas e platonistas concordam sobre os significados das expressões matemáticas comuns (e a palavra "verdadeiro"). De fato, platonistas e ficcionalistas não discordam sobre nenhuma tese semântica. Seu desacordo é sobre uma tese ontológica: os platonistas acreditam em objetos abstratos, enquanto os ficcionalistas não. Assim, se os ficcionalistas vão argumentar contra o platonismo, terão que usar um tipo diferente de argumento. Mas os ficcionalistas não podem argumentar contra o platonismo dessa maneira, porque os ficcionalistas e platonistas concordam sobre os significados das expressões matemáticas comuns (e a palavra "verdadeiro"). De fato, platonistas e ficcionalistas não discordam sobre nenhuma tese semântica. Seu desacordo é sobre uma tese ontológica: os platonistas acreditam em objetos abstratos, enquanto os ficcionalistas não. Assim, se os ficcionalistas vão argumentar contra o platonismo, terão que usar um tipo diferente de argumento. Mas os ficcionalistas não podem argumentar contra o platonismo dessa maneira, porque os ficcionalistas e platonistas concordam sobre os significados das expressões matemáticas comuns (e a palavra "verdadeiro"). De fato, platonistas e ficcionalistas não discordam sobre nenhuma tese semântica. Seu desacordo é sobre uma tese ontológica: os platonistas acreditam em objetos abstratos, enquanto os ficcionalistas não. Assim, se os ficcionalistas vão argumentar contra o platonismo, terão que usar um tipo diferente de argumento.enquanto os ficcionalistas não. Assim, se os ficcionalistas vão argumentar contra o platonismo, terão que usar um tipo diferente de argumento.enquanto os ficcionalistas não. Assim, se os ficcionalistas vão argumentar contra o platonismo, terão que usar um tipo diferente de argumento.

Existem alguns argumentos diferentes que foram apresentados contra o platonismo matemático, mas o mais importante - e o mais famoso - é o que é conhecido como argumento epistemológico contra o platonismo. Este argumento remonta pelo menos a Platão. Nos tempos contemporâneos, recebeu sua afirmação mais clássica em um artigo de Paul Benacerraf (1973), embora a maioria dos filósofos da matemática concorde que a formulação de Benacerraf do argumento é problemática por causa de sua dependência de uma teoria causal implausível do conhecimento. Uma maneira melhor de formular o argumento é a seguinte:

  1. Os seres humanos existem inteiramente no espaço-tempo.
  2. Se existem objetos matemáticos abstratos, eles existem fora do espaço-tempo. Portanto, parece provável que
  3. Se existem objetos matemáticos abstratos, os seres humanos não podem obter conhecimento deles. Mas
  4. Está embutido na visão platônica que existem objetos abstratos e que seres humanos podem adquirir conhecimento deles (afinal, de acordo com o platonismo, o conhecimento matemático é apenas o conhecimento de objetos abstratos). Portanto,
  5. Platonismo é falso.

Os platonistas tentaram responder a esse argumento de algumas maneiras diferentes, mas a resposta mais popular (e, pode-se argumentar, a mais plausível) é tentar minar a inferência de (i) e (ii) a (iii) explicando como (iii) poderia ser falso, mesmo que (i) e (ii) sejam verdadeiros - isto é, como os seres humanos poderiam adquirir conhecimento de objetos abstratos, apesar de estarem causalmente isolados de tais objetos e, portanto, não terem qualquer contato de transferência de informações com esses objetos. Essa estratégia de resposta foi seguida por Quine (1948, 1951), Steiner (1975), Katz (1981, 1998), Resnik (1982, 1997), Shapiro (1989, 1997), Lewis (1986), Linsky e Zalta (1995), Balaguer (1995, 1998a) e Linnebo (2006). A questão de saber se alguma dessas respostas é bem-sucedida é extremamente controversa entre os filósofos da matemática. Além disso,anti-platonistas não têm nenhum argumento convincente para a tese de que platonistas não poderiam fornecer a explicação necessária aqui - isto é, que eles não poderiam explicar como os seres humanos poderiam adquirir conhecimento de objetos abstratos sem a ajuda de qualquer contato de transferência de informações com esses objetos. Assim, para encurtar uma história muito longa, parece justo dizer que o argumento epistemológico contra o platonismo é, na melhor das hipóteses, controverso e inconclusivo.parece justo dizer que o argumento epistemológico contra o platonismo é, na melhor das hipóteses, controverso e inconclusivo.parece justo dizer que o argumento epistemológico contra o platonismo é, na melhor das hipóteses, controverso e inconclusivo.

(Para uma discussão mais completa do argumento epistemológico contra o platonismo, incluindo discussões das várias respostas que os platonistas tentaram, consulte a entrada da Stanford Encyclopedia of Philosophy intitulada "Platonism in Metaphysics".)

Dado que o argumento epistemológico não consegue refutar o platonismo, os ficcionalistas podem tentar fornecer outro argumento contra o platonismo. Um argumento que recebeu atenção considerável é o argumento de reduções múltiplas. A afirmação clássica desse argumento é dada, mais uma vez, por Benacerraf (1965). O argumento pode ser executado em conexão com qualquer uma de nossas teorias matemáticas, mas o argumento geralmente é feito em conexão com a aritmética. Além disso, mesmo quando focamos na aritmética, ainda existem muitas maneiras diferentes de formular o argumento. Uma maneira de fazer isso é a seguinte: (A) se houver alguma sequência de objetos abstratos que satisfaça nossas teorias aritméticas, haverá infinitamente muitas,e não há nada “metafisicamente especial” em nenhuma dessas seqüências que a destaque como a sequência de números naturais; mas (B) o platonismo está comprometido com a tese de que existe uma sequência única de objetos abstratos que são os números naturais. Portanto, (C) o platonismo é falso.

Os platonistas ofereceram inúmeras respostas a esse argumento. Provavelmente, a estratégia mais comum foi rejeitar (A), ou seja, argumentar que os platonistas podem de fato defender a alegação de que existe uma sequência única que se destaca como a sequência de números naturais. Essa estratégia foi adotada de diferentes maneiras por, por exemplo, Resnik (1997), Shapiro (1997), Parsons (1990) e Linsky e Zalta (1995). Além disso, Balaguer (1998a) argumenta que, mesmo que (A) seja verdadeiro, não importa, porque (B) é falso: os platonistas podem simplesmente admitir que existem inúmeras seqüências que satisfazem nossas teorias aritméticas e que pode ser que nenhuma deles se destaca como a única sequência de números naturais. Não há um amplo consenso sobre o status dessas respostas platônicas, e, como é o caso do argumento epistemológico,seria extremamente controverso, se não totalmente implausível, afirmar que o argumento de reduções múltiplas refuta o platonismo.

Além disso, o único argumento contra o platonismo que recebeu muita atenção na filosofia da matemática é um argumento baseado em navalha de Ockham. Voltaremos a esse argumento (muito brevemente) na seção 3; por enquanto, podemos simplesmente observar que, como o argumento epistemológico e o argumento de múltiplas reduções, o argumento baseado em navalhas de Ockham é muito controverso, e a alegação de que esse argumento refuta o platonismo é (no mínimo) tendenciosa. Assim, a conclusão geral a que parecemos levar aqui é a seguinte: mesmo que os ficcionalistas possam motivar a semântica platonista / ficcionalista do discurso matemático e, assim, eliminar todas as alternativas antiplotônicas ao ficcionalismo, eles não têm nenhum argumento realmente convincente contra o platonismo, ou pela conclusão de que o ficcionalismo é superior ao platonismo. Em outras palavras,os ficcionalistas não têm nenhum argumento convincente para a premissa (5) e, portanto, o argumento positivo para sua opinião é, na melhor das hipóteses, incompleto.

2. Objeções ao ficcionalismo e respostas

Dado que não há argumentos convincentes contra o platonismo, a próxima pergunta que se pode perguntar naturalmente é se existem bons argumentos contra o ficcionalismo (e, portanto, se o platonismo é realmente a única alternativa plausível ao ficcionalismo, a favor do platonismo). A presente seção considera vários desses argumentos. Ao analisar as respostas ficcionalistas a esses argumentos, veremos também como diferentes filósofos desenvolveram versões diferentes do ficcionalismo.

2.1 O Argumento Indispensabilidade

De longe, o argumento mais importante e amplamente discutido contra o ficcionalismo é o chamado argumento da indispensabilidade de Quine-Putnam (ver, por exemplo, Quine (1948, 1951), Putnam (1971), Resnik (1997) e Colyvan (2001)). Este argumento foi formulado de várias maneiras diferentes. Uma versão muito simples do argumento pode ser colocada assim: (i) sentenças matemáticas formam uma parte indispensável de nossas teorias empíricas do mundo físico - ou seja, nossas teorias da física, química e assim por diante; (ii) temos boas razões para pensar que essas teorias empíricas são verdadeiras, ou seja, que elas nos dão imagens precisas do mundo; portanto, (iii) temos boas razões para pensar que nossas sentenças matemáticas são verdadeiras e, portanto, que o ficcionalismo é falso.

Os ficcionalistas desenvolveram dois tipos diferentes de respostas a esse argumento. O primeiro, devido a Field (1980, 2016), pode ser chamado de resposta de nominalização, e a versão do ficcionalismo que ele nos fornece pode ser chamada de ficcionalismo de estrada difícil. A segunda resposta, desenvolvida por Balaguer (1996a, 1998a), Melia (2000), Rosen (2001), Yablo (2005), Bueno (2009) e Leng (2010), pode ser chamada de resposta sem nominalização e a resposta A versão do ficcionalismo que ele nos fornece pode ser chamada de ficcionalismo de estrada fácil, ou ficcionalismo de doninha. Além disso, (os nomes aqui são devidos a Colyvan e Melia; o primeiro fala de 'nominalismo de estrada dura' e 'nominalismo de estrada fácil', e o último fala de 'nominalismo de doninha'.)

A resposta difícil de Field é baseada na rejeição da premissa (i). Ele argumenta que a matemática não é, de fato, indispensável à ciência empírica. Field tenta estabelecer essa tese argumentando que nossas teorias empíricas podem ser nominalizadas, isto é, reformuladas de uma maneira que evita referências e quantificação existencial sobre objetos abstratos. Essa é uma afirmação extremamente controversa, e é muito difícil estabelecer, pois presumivelmente, seria necessário realizar a nominalização para cada uma de nossas teorias empíricas - assim, o nome ficção de estrada. Field não tentou fazer isso para todas as nossas teorias empíricas. Em vez disso, ele tentou motivar sua posição explicando como a nominalização iria para uma teoria empírica, a saber, a teoria da gravitação newtoniana. Agora,algumas pessoas reclamaram que, mesmo que a estratégia de Field pudesse funcionar para essa teoria, ela pode não funcionar para outras teorias e, em particular, Malament (1982) argumentou que sua estratégia não funcionaria em conexão com a Mecânica Quântica (mas veja Balaguer (1996b e 1998a) para um argumento de que a estratégia de Field pode ser estendida ao caso da mecânica quântica, e ver Bueno (2003) para uma resposta). Além disso, existem várias outras objeções que foram levantadas contra o programa de Field - ver, por exemplo, Malament (1982), Shapiro (1983), Resnik (1985) e Chihara (1990, capítulo 8, seção 5). Por outro lado, existem outros trabalhos que desenvolvem ou motivam visões nominalistas difíceis; por exemplo, Arntzenius e Dorr (2012) desenvolvem uma maneira de nominalizar a teoria de variedades diferenciáveis. Atualmente,o status da resposta difícil de Fieldian ao argumento de Quine-Putnam permanece controverso.

A resposta fácil de Balaguer começa por conceder a premissa (i) do argumento Quine-Putnam - ou seja, ao conceder (por uma questão de argumento) que existem aplicações indispensáveis da matemática para a ciência empírica. A estratégia de Balaguer é simplesmente explicar essas aplicações do ponto de vista ficcionalista. Seu argumento pode ser resumido da seguinte forma: Se existem objetos abstratos, eles são causalmente inertes. Mas, dado isso, segue-se que a verdade da ciência empírica depende de dois conjuntos de fatos que se mantêm ou não se mantêm independentes um do outro. Um desses conjuntos de fatos é puramente platônico e matemático, e o outro é puramente físico (ou mais precisamente, puramente anti-platônico). Como esses dois conjuntos de fatos são válidos ou não independentemente um do outro,os ficcionalistas podem sustentar que (a) obtém um conjunto de fatos puramente físicos do tipo exigido aqui, isto é, o tipo necessário para tornar verdadeira a ciência empírica, mas (b) não obtém um conjunto de fatos puramente platônicos do tipo necessário para a verdade da ciência empírica (porque não existem objetos abstratos). Portanto, o ficcionalismo é consistente com uma visão essencialmente realista da ciência empírica, porque os ficcionalistas podem sustentar que, mesmo que não existam objetos matemáticos e, portanto, nossas teorias empíricas não sejam estritamente verdadeiras, essas teorias ainda pintam uma imagem essencialmente precisa do mundo físico, porque o mundo físico é exatamente o que precisa ser para que a ciência empírica seja verdadeira. Em outras palavras,os ficcionalistas podem sustentar que o mundo físico "sustenta seu fim da barganha da ciência empírica". Finalmente, para fornecer uma visão do que a matemática está fazendo na ciência empírica, a alegação é de que ela funciona como um auxílio descritivo ou representacional. Em outras palavras, ele nos fornece uma maneira fácil de fazer reivindicações sobre o mundo físico. Por exemplo, fazendo referência a números reais - ou, melhor, usando termos que pretendem se referir a números reais - nos proporcionamos uma maneira fácil de descrever os estados de temperatura dos sistemas físicos. E Balaguer argumenta que a matemática pode ter sucesso em seu papel como uma ajuda descritiva, mesmo que não seja verdadeira; de fato, ele argumenta que a verdade simplesmente não ajuda em nada.a alegação é que ele funciona como um auxílio descritivo ou representacional. Em outras palavras, ele nos fornece uma maneira fácil de fazer reivindicações sobre o mundo físico. Por exemplo, fazendo referência a números reais - ou, melhor, usando termos que pretendem se referir a números reais - nos proporcionamos uma maneira fácil de descrever os estados de temperatura dos sistemas físicos. E Balaguer argumenta que a matemática pode ter sucesso em seu papel como uma ajuda descritiva, mesmo que não seja verdadeira; de fato, ele argumenta que a verdade simplesmente não ajuda em nada.a alegação é que ele funciona como um auxílio descritivo ou representacional. Em outras palavras, ele nos fornece uma maneira fácil de fazer reivindicações sobre o mundo físico. Por exemplo, fazendo referência a números reais - ou, melhor, usando termos que pretendem se referir a números reais - nos proporcionamos uma maneira fácil de descrever os estados de temperatura dos sistemas físicos. E Balaguer argumenta que a matemática pode ter sucesso em seu papel de ajuda descritiva, mesmo que não seja verdadeira; de fato, ele argumenta que a verdade simplesmente não ajuda em nada. E Balaguer argumenta que a matemática pode ter sucesso em seu papel como uma ajuda descritiva, mesmo que não seja verdadeira; de fato, ele argumenta que a verdade simplesmente não ajuda em nada. E Balaguer argumenta que a matemática pode ter sucesso em seu papel como uma ajuda descritiva, mesmo que não seja verdadeira; de fato, ele argumenta que a verdade simplesmente não ajuda em nada.

Outros desenvolveram visões semelhantes. Por exemplo, Melia (2000) argumenta que podemos afirmar nossas teorias empíricas e depois simplesmente recuperar as consequências platonísticas / matemáticas dessas afirmações. E Rosen (2001) argumenta que o ficcionalismo é epistemicamente admissível porque outra comunidade de cientistas poderia aceitar as mesmas teorias que nós, ao endossar - ou, mais ao ponto, endossar racionalmente - uma atitude ficcionalista em relação aos componentes matemáticos de suas teorias. E Bueno (2009) argumenta que a matemática desempenha um papel descritivo na ciência empírica e, por isso, não precisa ser verdadeira para ser aplicável. E Leng (2010) argumenta que o argumento da indispensabilidade não refuta o ficcionalismo, porque os ficcionalistas podem fornecer um relato adequado do sucesso da ciência.

Yablo (2005, 2002a, 2002b) também desenvolve uma visão como esta (e vale a pena notar que sua visão aqui se baseia fortemente no trabalho de Walton (1990)). Yablo afirma que a matemática aparece na ciência como uma ajuda representacional e que não precisa ser verdadeira para fazer isso bem. Mas sua versão da visão é um pouco diferente, porque ele acha que as sentenças de nossas teorias empíricas formuladas platonisticamente - ou pelo menos expressões típicas dessas sentenças - são realmente verdadeiras, porque seus conteúdos reais são nominalistas. Para usar um tipo trivial de exemplo, considere a frase

(M) O número de luas marcianas é 2.

Segundo Yablo, expressões típicas de frases como (M) são análogas a instâncias comuns de fala figurativa, por exemplo, frases como

(A) A mãe média tem 2,4 filhos.

A forma sintática de (A) parece sugerir que se trata de um objeto real conhecido como mãe comum; mas, claro, não é - lê-lo dessa maneira seria entender mal o que as pessoas querem dizer quando pronunciam frases como (A). Da mesma forma, de acordo com Yablo, embora possa parecer que (M) está reivindicando parcialmente um objeto real conhecido como 2, na verdade não é. Pelo contrário, o conteúdo real de (M) -ie, que expressões típicas desta frase realmente dizem - é que existem duas luas marcianas. E, é claro, essa afirmação - isto é, a afirmação de que existem duas luas marcianas - não é uma afirmação sobre o número 2 ou qualquer outro objeto abstrato; é nominalmente kosher. Em suma, a idéia aqui é que os ficcionalistas sobre matemática pura podem endossar uma visão nominalista parafraseada de sentenças matemáticas mistas.

(Vale a pena notar que Yablo também parece pensar que, pelo menos às vezes, frases matemáticas puras têm conteúdo real - isto é, realmente diz coisas - que são nominalistas e verdadeiras. Por exemplo, ele pensa que, pelo menos algumas vezes, frases como ' 3 + 2 = 5 'dizem coisas como se houver três Fs e dois Gs, então (com exceção da sobreposição), há cinco F-ou-Gs. Além disso, às vezes, Yablo parece ao menos sugerir a visão de que, pelo menos às vezes, quando pronunciamos frases como '3 é primo', o que realmente estamos dizendo é que '3 é primo' é verdadeiro ou aceitável, de acordo com a teoria (ou a história ou o jogo) da aritmética. a sério, Yablo leva essa idéia, no entanto, de qualquer forma, parece bastante claro que, se ele a apoia de todo, ele pensa que isso é verdade apenas em alguns contextos, ou seja, apenas em alguns enunciados matemáticos puros. Seja qual for a visão de Yablo, é importante observar que visões desse tipo geral - ou seja, visões que tomam sentenças matemáticas puras para ter conteúdo real, ou realmente dizer coisas nominalistas e verdadeiras - não são versões do ficcionalismo, como essa visão foi definida aqui. São antes versões do nominalismo da paráfrase e, portanto, estão sujeitas ao argumento contra essa visão apresentada na seção 1.2. Voltaremos (muito brevemente) à questão de saber se a visão de Yablo é realmente uma versão do ficcionalismo na seção 2.3.)São antes versões do nominalismo da paráfrase e, portanto, estão sujeitas ao argumento contra essa visão apresentada na seção 1.2. Voltaremos (muito brevemente) à questão de saber se a visão de Yablo é realmente uma versão do ficcionalismo na seção 2.3.)São antes versões do nominalismo da paráfrase e, portanto, estão sujeitas ao argumento contra essa visão apresentada na seção 1.2. Voltaremos (muito brevemente) à questão de saber se a visão de Yablo é realmente uma versão do ficcionalismo na seção 2.3.)

Para mais informações sobre visões como a de Yablo, consulte Plebani (2018) e Berto e Plebani (2015).

Vale a pena notar que os proponentes do nominalismo de estrada fácil não preferem sua visão à de Field simplesmente porque é "mais fácil" ou porque não envolve um compromisso com a controversa alegação de que nossas teorias empíricas podem ser nominalizadas. Melia, Yablo e Balaguer argumentam que a visão é independentemente superior à visão de Field, porque se encaixa melhor na prática científica real.

Também vale a pena notar que as respostas fáceis ao argumento de Quine-Putnam foram desenvolvidas por pessoas que não apóiam o ficcionalismo - por exemplo, Sober (1993), Maddy (1995, 1997), Mortensen (1998) e Azzouni (2004).)

Uma resposta à visão de estrada fácil foi dada por Colyvan (2002, 2010) e Baker (2005, 2009). Eles argumentam que a matemática não desempenha apenas um papel descritivo na ciência. Também desempenha um papel explicativo. Por exemplo, Baker considera um caso envolvendo várias espécies de cigarras periódicas em que o estágio ninfal é de 13 ou 17 anos. Por que os estágios ninfais são 13 ou 17 anos? Segundo os biólogos evolucionistas, a resposta é que 13 e 17 são números primos, e isso minimiza interseções com outras espécies periódicas. Colyvan e Baker argumentam que casos como este - casos em que objetos matemáticos desempenham um papel indispensável nas explicações dos fenômenos físicos - nos fornecem uma versão melhor e mais poderosa do argumento da indispensabilidade. De fato,eles argumentam que, se realmente existem casos que envolvem explicações genuinamente matemáticas de fenômenos físicos, as versões fáceis do ficcionalismo não podem ter sucesso. Mas essa afirmação está aberta ao debate e as respostas a essas versões explicativas do argumento da indispensabilidade foram dadas por Melia (2002), Leng (2005b), Bangu (2008), Daly e Langford (2009) e Yablo (2012).

2.2 Objetividade

Uma segunda objeção ao ficcionalismo é baseada na ideia de que os ficcionalistas não podem explicar a objetividade da matemática. É um fato óbvio sobre a prática matemática que há algum tipo de objetividade em ação nessa prática. Há uma diferença importante em matemática entre frases como '2 + 2 = 4' e '3 é primo' por um lado e '2 + 2 = 5' e '3 é composto' por outro. Obviamente, há algum sentido em que as duas primeiras frases, mas não as duas seguintes, são “corretas”, ou “certas”, ou “boas”, ou algo assim. A coisa mais óbvia a dizer aqui é que as duas primeiras frases são verdadeiras, enquanto as duas últimas são falsas. Mas os ficcionalistas não podem dizer isso; eles estão comprometidos em dizer que todas as quatro frases são falsas. Portanto,surge a questão de saber se os ficcionalistas têm uma explicação adequada da objetividade da matemática - isto é, das diferenças entre esses dois tipos de sentenças.

Mais uma vez, existem duas respostas diferentes que os ficcionistas deram a esse problema. Essas duas respostas nos dão versões do ficcionalismo que, por falta de um par melhor de termos, podem ser chamadas de ficcionalismo formalista e ficcionalismo não formalista.

A visão formalista foi desenvolvida por Field (1980, 1989, 1998). Na sua opinião, a diferença entre '3 é primo' e '3 é composto' é análoga à diferença entre, digamos, 'Papai Noel veste um terno vermelho' e 'Papai Noel veste um terno verde'. Mais especificamente, a ideia de Field é que a diferença entre frases como '3 é primo' e '3 é composto' é que as primeiras (mas não as últimas) fazem parte de uma certa “história” bem conhecida, a saber, a história de matemática. Field coloca esse ponto dizendo que, embora '3 seja primo' e '3 seja composto' sejam ambos estritamente falsos, o primeiro é verdadeiro na história da matemática, enquanto o segundo não é. Agora, a maior parte da visão de Field aqui é consistente com o ficcionalismo formalista e o ficcionalismo não formalista. A diferença entre essas duas visões tem a ver com o que os ficcionalistas consideram a história da matemática. Para Field, a história da matemática consiste essencialmente em um monte de sistemas formais, a saber, os que atualmente aceitamos. Mais precisamente, ele diz (1998, p. 391) que uma sentença matemática é ficcionalmente correta se, e somente se, é “uma consequência de axiomas aceitos [em um] … senso de consequência que vai um pouco além da consequência de primeira ordem ao incluir a lógica do quantificador 'apenas finitamente muitos'”. Portanto, nessa visão, a diferença entre sentenças como '3 é primo' e '3 é composto' - a razão pela qual as primeiras são "corretas" e as últimas não são - é que as primeiras seguem os axiomas matemáticos aceitos. (Essa visão também foi endossada por Leng (2010);ela diz que a aceitabilidade matemática se resume a seguir axiomas aceitos.)

Balaguer (2001, 2009) argumenta que a visão formalista de Field não pode estar certa e ele desenvolve uma alternativa não formalista a ela. Seu argumento contra a visão formalista é que ela não pode dar conta de toda a objetividade que encontramos na matemática. Mais importante, a visão formalista implica (incorretamente) que não pode haver respostas objetivamente corretas para perguntas que perguntam sobre os valores verdadeiros de sentenças matemáticas que são indecidíveis nas teorias matemáticas atualmente aceitas. O exemplo mais famoso aqui é provavelmente a hipótese do continuum (CH), que é indecidível nas teorias de conjuntos atualmente aceitas, por exemplo, a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF). (Em outras palavras, ZF é consistente com CH e ~ CH; ou seja, ZF + CH e ZF + ~ CH são teorias consistentes de conjuntos.) Dado isso,segue da visão de Field que nem CH nem ~ CH fazem parte da história da matemática e, portanto, que não há uma resposta objetivamente correta à pergunta sobre CH. Isso, no entanto, parece inaceitável, porque pode acontecer que os matemáticos descubram uma resposta objetivamente correta para a pergunta do CH. Por exemplo, suponha que algum matemático tenha apresentado um novo candidato ao axioma AX, de modo que (i) todos os matemáticos concordem que o AX é uma afirmação intuitivamente óbvia sobre os conjuntos e (ii) ZF + AX implica CH. Se isso acontecesse, os matemáticos diriam que haviam provado HC, e que haviam descoberto que a CH estava correta, e assim por diante. A visão de Field nos forçaria a dizer que, se aprovássemos o AX, o CH se tornaria realidade na história da matemática. Mas isso parece estar errado. Dada a obviedade intuitiva do AX,parece muito natural dizer que, nesse cenário, os matemáticos descobriram que a CH tinha sido verdadeira (ou "correta", ou verdadeira na história da matemática, ou como quisermos chamá-la) o tempo todo - ou seja, que não basta inventar uma nova teoria. E, novamente, parece que é isso que os matemáticos diriam. Portanto, argumenta Balaguer, a visão formalista de Field sobre a objetividade da matemática é inaceitável.

A versão não formalista do ficcionalismo de Balaguer retém a tese de Field de que o “correto” matemático tem a ver com ser verdadeiro na história da matemática, mas abandona a visão fieldiana de que a história da matemática consiste em axiomas atualmente aceitos. Segundo Balaguer, a chamada "história da matemática" consiste na tese de que existem realmente objetos matemáticos abstratos dos tipos que os platonistas têm em mente, ou seja, os tipos que nossas teorias matemáticas pretendem ser. Assim, nessa visão, uma sentença matemática é ficcionalmente correta se, e somente se, teria sido verdade se realmente existissem objetos matemáticos abstratos dos tipos que os platonistas têm em mente. Balaguer argumenta que, se os ficcionalistas adotarem essa visão, poderão evitar o problema acima com a visão de Field e, de maneira mais geral,eles podem resolver completamente o problema da objetividade, porque podem imitar tudo o que os platonistas dizem sobre a objetividade.

2.3 Revolucionismo e Hermeneuticismo

Outra objeção ao ficcionalismo é apresentada por Burgess (2004) - e deve-se notar que o argumento aqui tem raízes em Burgess (1983) e Burgess e Rosen (1997). O argumento pode ser colocado assim:

Os ficcionalistas enfrentam um dilema: eles precisam endossar o ficcionalismo hermenêutico ou o ficcionalismo revolucionário, mas nenhum deles é plausível. Podemos definir o ficcionalismo hermenêutico como a visão de que os matemáticos (e talvez o povo comum) pretendem que seu discurso matemático seja tomado como uma forma de ficção; mais especificamente, a visão aqui é que, de acordo com intenções matemáticas comuns, não se deve referir termos singulares como '3' e frases como '3 é primo' não devem ser verdadeiras. Mas o ficcionalismo hermenêutico é implausível e desmotivado; como uma hipótese empírica sobre o que os matemáticos pretendem, simplesmente não há boas evidências para isso, e parece obviamente falso. O ficcionalismo revolucionário, por outro lado, é a visão de que (a) os matemáticos não pretendem que seus enunciados sejam tomados como ficção,ou como não literal de qualquer outra maneira; e assim (b) devemos interpretar os matemáticos como realmente afirmando o que suas sentenças dizem, isto é, como fazendo afirmações sobre (ou que pretendem ser sobre) objetos matemáticos; mas (c) como não existem objetos matemáticos, as afirmações dos matemáticos são simplesmente alegações falsas. Mas o ficcionalismo revolucionário também é implausível; dado o histórico de filósofos e matemáticos, seria "comodamente indecente" os filósofos presumirem que haviam descoberto um problema com a matemática (Burgess, 2004, p. 30).as afirmações dos matemáticos são simplesmente afirmações falsas. Mas o ficcionalismo revolucionário também é implausível; dado o histórico de filósofos e matemáticos, seria "comodamente indecente" os filósofos presumirem que haviam descoberto um problema com a matemática (Burgess, 2004, p. 30).as afirmações dos matemáticos são simplesmente afirmações falsas. Mas o ficcionalismo revolucionário também é implausível; dado o histórico de filósofos e matemáticos, seria "comodamente indecente" os filósofos presumirem que haviam descoberto um problema com a matemática (Burgess, 2004, p. 30).

Ninguém jamais defendeu o ficcionalismo hermenêutico, como definido acima. Yablo (2002a) afirma que sua visão é uma versão do ficcionalismo hermenêutico - e Plebani (2018) o segue dessa maneira de falar - mas a visão que esses filósofos têm em mente é um pouco diferente da visão ficcionalista hermenêutica descrita acima. Yablo não afirma que os matemáticos pretendem que seus enunciados de frases como '3 sejam primos' sejam tomados como alegações ficcionais. Em vez disso, ele acha que essas declarações são (pelo menos algumas vezes, ou talvez tipicamente) análogas a exemplos comuns de fala figurativa, por exemplo, frases como 'O que fica em segundo plano é onde você coloca coisas para deixá-las ferver'. Essa sentença contém um termo singular - "segundo plano" - que parece (sintaticamente) ser uma expressão denotativa;mas não é realmente uma expressão denotativa (pelo menos em casos típicos) e interpretá-la como uma expressão denotadora genuína em frases como a acima seria mal entender o que falantes comuns de frases como esta pretendem dizer. Yablo acha que algo assim é verdadeiro em relação a expressões típicas de sentenças matemáticas (puras e mistas), por exemplo, sentenças como '3 é primo' e 'O número de luas marcianas é 2.' Portanto, Yablo está certamente propondo uma visão nominalista hermenêutica, mas não está claro que sua opinião seja melhor vista como uma espécie de ficcionalismo hermenêutico. Como observado acima (seção 2.1), a visão pode ser melhor classificada como uma espécie de nominalismo de paráfrase. Yablo chama sua visão de figuralismo e fala como se fosse uma versão do ficcionalismo. Mas ele parece estar usando o termo 'ficcionalismo' de maneira diferente de como foi definido aqui. O que ele provavelmente tem em mente é o seguinte: em uma leitura literal, as frases matemáticas são falsas, como diz o ficcionalismo, mas há uma leitura alternativa na qual elas se tornam verdadeiras (e nominalmente kosher). Mas o que torna estranho considerar a visão de Yablo como uma versão do ficcionalismo é que ele parece pensar que o que sentenças matemáticas (puras e mistas) realmente dizem - ou, mais precisamente, que expressões típicas dessas frases realmente dizem - é verdadeiro e nominalista no conteúdo. Isso parece mais um nominalismo parafraseado do que ficcionalismo.mas há uma leitura alternativa na qual elas se tornam verdadeiras (e nominalmente kosher). Mas o que torna estranho considerar a visão de Yablo como uma versão do ficcionalismo é que ele parece pensar que o que sentenças matemáticas (puras e mistas) realmente dizem - ou, mais precisamente, que expressões típicas dessas frases realmente dizem - é verdadeiro e nominalista no conteúdo. Isso parece mais um nominalismo parafraseado do que ficcionalismo.mas há uma leitura alternativa na qual elas se tornam verdadeiras (e nominalmente kosher). Mas o que torna estranho considerar a visão de Yablo como uma versão do ficcionalismo é que ele parece pensar que o que sentenças matemáticas (puras e mistas) realmente dizem - ou, mais precisamente, que expressões típicas dessas frases realmente dizem - é verdadeiro e nominalista no conteúdo. Isso parece mais um nominalismo parafraseado do que ficcionalismo.

Stanley (2001) montou vários argumentos contra o ficcionalismo hermenêutico. As respostas a seus argumentos são dadas por Yablo (2002a) e Liggins (2010).

Em contraste com Yablo, Leng (2005a, 2010), Daly (2006) e Balaguer (2009) respondem ao argumento de Burgess ao defender o ficcionalismo revolucionário. A versão de Leng da resposta é baseada na alegação de que é aceitável para os filósofos avaliar e criticar o trabalho de matemáticos. É claro que Leng reconhece que a matemática é uma prática muito bem-sucedida e que os filósofos devem respeitar isso, mas ela afirma que podemos explicar o sucesso da matemática sem supor que seja verdade. E, considerando isso, ela argumenta, podemos avaliar e criticar racionalmente a prática matemática do lado de fora, de um ponto de vista filosófico.

Mas há outro tipo de ficcionalismo revolucionário que não envolve nenhum tipo de crítica à matemática. Como foi formulado acima, o ficcionalismo revolucionário é simplesmente a visão de que (i) devemos interpretar matemáticos como afirmando o que suas frases dizem, de modo que (ii) suas expressões são afirmações falsas sobre objetos abstratos. Mas não se segue disso que haja algo errado com a matemática - algo digno de crítica. Isso sugere que "ficcionalismo revolucionário" não é um nome muito bom para a visão. 'Ficcionalismo assercional' seria um nome melhor. Se falássemos dessa maneira, poderíamos dizer que existem dois tipos de ficcionalismo assertivo, revolucionário e não revolucionário. Os ficcionalistas assertivos revolucionários diriam que deveríamos mudar o que estamos fazendo em matemática para não deixar de fazer alegações falsas; por exemplo, devemos começar a pretender que nossas afirmações matemáticas sejam tomadas como ficções, ou devemos começar a usar nossas frases matemáticas para significar o que os if-thenists pensam que significam, ou algo assim. Os ficcionalistas assertivos não revolucionários, por outro lado, diriam que não há nada errado com a matemática, como é praticada atualmente; eles admitiriam que sentenças matemáticas como '4 é par' não são verdadeiras; mas eles sustentariam que não há nada errado com isso, porque a marca da bondade na matemática não é a verdade - é a verdade na história da matemática, ou algo assim.ou devemos começar a usar nossas frases matemáticas para significar o que os if-thenists pensam que significam, ou algo assim. Os ficcionalistas assertivos não revolucionários, por outro lado, diriam que não há nada errado com a matemática, como é praticada atualmente; eles admitiriam que sentenças matemáticas como '4 é par' não são verdadeiras; mas eles sustentariam que não há nada errado com isso, porque a marca da bondade na matemática não é a verdade - é a verdade na história da matemática, ou algo assim.ou devemos começar a usar nossas frases matemáticas para significar o que os if-thenists pensam que significam, ou algo assim. Os ficcionalistas assertivos não revolucionários, por outro lado, diriam que não há nada errado com a matemática, como é praticada atualmente; eles admitiriam que sentenças matemáticas como '4 é par' não são verdadeiras; mas eles sustentariam que não há nada errado com isso, porque a marca da bondade na matemática não é a verdade - é a verdade na história da matemática, ou algo assim.mas eles sustentariam que não há nada errado com isso, porque a marca da bondade na matemática não é a verdade - é a verdade na história da matemática, ou algo assim.mas eles sustentariam que não há nada errado com isso, porque a marca da bondade na matemática não é a verdade - é a verdade na história da matemática, ou algo assim.

Field parece endossar alguma visão na vizinhança desse tipo de não-revolucionismo. Ao discutir o argumento de Burgess no prefácio da segunda edição da Science Without Numbers, ele diz o seguinte: “Na minha opinião, essa é uma dicotomia falsa. Certamente não achei que a conta que fornecia fosse 'hermenêutica', mas também não era 'revolucionária': aceitei o que estava fazendo, ao invés disso, fornecendo uma conta que explica por que a prática matemática comum é perfeitamente adequada. (Campo, 2016, p. 4.)

Por fim, Balaguer (2009) argumenta que existem maneiras de os ficcionalistas evitarem o hermenêutico e o assercionalismo e, portanto, que possam evitar o dilema de Burgess por completo. Além disso, Field (2016) parece endossar uma visão como essa também. Armor-Garb (2011), porém, argumentou que a versão do ficcionalismo (não hermenêutico, não assercional) que Balaguer propõe aqui é insustentável.

2.4 Semelhança com a ficção

Algumas pessoas - por exemplo, Katz (1998), Thomas (2000 e 2002), Hoffman (2004), Burgess (2004) e Thomasson (2013) - se opuseram ao ficcionalismo, alegando que existem desanalogias óbvias entre matemática e ficção. (O que exatamente são as desanalogias difere em diferentes versões da objeção. Por exemplo, Katz argumenta que a consistência é um critério importante para o bem na matemática, mas não na ficção. E Burgess argumenta que a questão de saber se existem objetos matemáticos não é empiricamente significativa, enquanto a questão de saber se os objetos (não abstratos) em nossas histórias ficcionais existe é empiricamente significativa.)

Uma maneira de os ficcionalistas poderem responder a essa objeção é alegar que é simplesmente irrelevante porque o ficcionalismo não envolve a alegação de que não há desanalogias importantes entre matemática e ficção. Como foi definido acima, ficcionalismo é a visão de que (a) nossas sentenças e teorias matemáticas se referem a objetos matemáticos abstratos, como sugere o platonismo, mas (b) não existem objetos abstratos e, portanto, (c) nossas teorias matemáticas não são verdadeiras. Não há nenhuma reivindicação sobre o discurso ficcional aqui, e, portanto, os ficcionalistas podem simplesmente negar que sua visão implique que não há desanalogias importantes entre matemática e ficção.

Agora, isso não significa que os ficcionalistas não possam afirmar que existem algumas analogias relevantes entre matemática e ficção. É claro que eles podem alegar que existem; por exemplo, eles podem querer dizer que, como é o caso da matemática, não existem objetos ficcionais e, por isso, sentenças ficcionais típicas não são literalmente verdadeiras. Mas, ao fazer tais afirmações, os ficcionalistas não se comprometem com nenhuma afirmação mais forte sobre a analogia entre matemática e ficção - por exemplo, que o discurso matemático é um tipo de discurso ficcional - e certamente não se comprometem com a afirmação de que não há importantes desanalogias entre as duas empresas. Em suma, o ficcionalismo é perfeitamente consistente com a alegação de que existem inúmeras desanalogias importantes entre matemática e ficção.

Finalmente, deve-se notar que existem alguns ficcionalistas que parecem querer fazer algumas afirmações mais fortes sobre a analogia entre matemática e ficção. Essas pessoas podem ter que levar objeções do tipo acima mais a sério. Mas nenhum dos ficcionalistas discutidos neste ensaio endossa quaisquer reivindicações muito fortes desse tipo; em particular, nenhum deles diz nada que implique que não haja desanalogias importantes entre matemática e ficção. Por outro lado, deve-se notar que Yablo e Bueno fizeram algumas afirmações a esse respeito que vão além do que os ficcionalistas precisam dizer. Por exemplo, Bueno (2009) diz que objetos matemáticos são semelhantes aos personagens fictícios, pois são artefatos abstratos (ao dizer isso, ele segue a visão de Thomasson (1999) dos personagens fictícios). E Yablo fez algumas afirmações relativamente fortes sobre uma analogia que ele acredita manter entre enunciados matemáticos e enunciados metafóricos, ou enunciados figurativos. Assim, a versão particular do ficcionalismo de Yablo está aberta a objeções de que as declarações matemáticas não são de fato semelhantes ou análogas às declarações metafóricas. Algumas objeções desse tipo foram levantadas por Stanley (2001), e Yablo responde a elas em sua (2002a). Mas, como Yablo não afirma que enunciados matemáticos são análogos aos enunciados ficcionais, ele não precisa responder a objeções do tipo mencionado no início da presente subseção. A versão particular do ficcionalismo de Yablo está aberta a objeções de que as declarações matemáticas não são de fato semelhantes ou análogas às declarações metafóricas. Algumas objeções desse tipo foram levantadas por Stanley (2001), e Yablo responde a elas em sua (2002a). Mas, uma vez que Yablo não afirma que enunciados matemáticos são análogos aos enunciados ficcionais, ele não precisa responder a objeções do tipo mencionado no início da presente subseção. A versão particular do ficcionalismo de Yablo está aberta a objeções de que as declarações matemáticas não são de fato semelhantes ou análogas às declarações metafóricas. Algumas objeções desse tipo foram levantadas por Stanley (2001), e Yablo responde a elas em sua (2002a). Mas, uma vez que Yablo não afirma que enunciados matemáticos são análogos aos enunciados ficcionais, ele não precisa responder a objeções do tipo mencionado no início da presente subseção.ele não precisa responder a objeções do tipo mencionado no início da presente subseção.ele não precisa responder a objeções do tipo mencionado no início da presente subseção.

2.5 Aceitando e Crendo

Como ficou claro na seção 2.2, enquanto os ficcionalistas pensam que sentenças como '2 + 2 = 4' são estritamente falsas, ainda assim elas pensam que são "corretas" em algum sentido do termo. Qual é, então, a atitude do ficcionalista em relação a essas sentenças? Seguindo Bas van Fraassen (1980), que endossa uma visão semelhante com relação à ciência empírica, a linha ficcionalista padrão aqui é que eles aceitam frases como '2 + 2 = 4' sem acreditar nelas. Como exatamente a aceitação deve ser definida é motivo de alguma controvérsia, mas uma maneira óbvia de proceder aqui é afirmar que os ficcionalistas aceitam uma sentença matemática pura S se, e somente se, eles acreditam que S é verdadeiro na história da matemática.

Algumas pessoas se opõem à distinção entre crença e aceitação. Horwich (1991), O'Leary-Hawthorne (1997) e Burgess e Rosen (1997) apresentam argumentos para a alegação de que não há diferença real entre aceitação e crença porque, grosso modo, (a) acreditar que algo é apenas para ser dispostos a se comportar de certas maneiras; e (b) aqueles que acreditam que 2 + 2 = 4 e aqueles que alegadamente aceitam apenas que 2 + 2 = 4 estão presumivelmente dispostos a se comportar exatamente da mesma maneira.

Daly (2008) e Leng (2010) fornecem várias respostas a esse argumento. Um argumento de Daly é que os ficcionalistas não estão dispostos a se comportar da mesma maneira que os platonistas. Eles estão dispostos a se comportar de maneira muito diferente em resposta a perguntas como: "Realmente existem coisas como números?"

2.6 Conteúdo Extra Misterioso

Thomasson (2013) levanta uma objeção à versão específica de ficção de Yablo. Como vimos acima, Yablo (2005, 2002a, 2002b) distingue entre o conteúdo literal e o conteúdo real de frases como

(M) O número de luas marcianas é 2.

Thomasson argumenta que Yablo está comprometido com a afirmação de que algo mais é necessário para a verdade do conteúdo literal de frases como (M) do que é necessário para a verdade do conteúdo real dessas frases. Mas o que poderia ser algo extra? Segundo Thomasson, isso é obscuro e, a menos que Yablo possa dizer algo mais sobre isso, não devemos aceitar sua opinião.

Uma resposta a isso - dada por Contessa (2016, p. 771) - é que é óbvio o que mais é necessário; precisa ser o caso de haver "objetos abstratos independentes da mente, não espaço-temporalmente e causalmente inertes".

Uma resposta diferente é dada por Plebani (2018). Ele argumenta que, independentemente de os ficcionalistas jablovianos poderem articular duas condições de verdade diferentes para sentenças como (M), o conteúdo real e literal dessas sentenças pode ser distinguido porque elas têm assuntos diferentes.

2.7 Outras objeções

Existem, é claro, outras objeções ao ficcionalismo. Provavelmente o mais amplamente discutido se baseia na alegação de que o ficcionalismo não é uma visão genuinamente nominalista, porque a própria formulação do ficcionalismo inclui afirmações que envolvem compromissos ontológicos com objetos abstratos. Seria difícil abordar essa objeção aqui, no entanto, porque ela assume uma forma diferente em relação a cada versão diferente do ficcionalismo e, como a discussão anterior deixa claro, existem muitas versões diferentes de ficcionalismo (por exemplo, alguém pode endossar - ficcionalismo generalizado ou ficcionalismo de estrada fácil - e ambas as visões podem ser combinadas com ficcionalismo formalista ou ficcionalismo não formalista;e qualquer uma dessas visões pode ser combinada com ficcionalismo hermenêutico, ficcionalismo revolucionário assercional ou ficcionalismo assertivo não revolucionário; e assim por diante). Deve-se notar, no entanto, que vários defensores diferentes do ficcionalismo responderam a preocupações com o status nominalista de suas próprias versões particulares do ficcionalismo. Em particular, Field (1989) defende sua versão do ficcionalismo contra a acusação de que ela se compromete com a existência de pontos do espaço-tempo, que se poderia pensar que não são nominalmente kosher; e Balaguer (1998a) defendem sua versão contra a acusação de que ela (e, de fato, a versão de Field) está comprometida com a existência de histórias, que presumivelmente seriam objetos abstratos se existissem; e finalmente,Rosen (2001) defende sua visão contra a acusação de que ela se compromete com teorias e mundos possíveis. Balaguer e Rosen estão preocupados com a preocupação de que os ficcionalistas estejam comprometidos com a existência de tipos de sentenças, que presumivelmente seriam objetos abstratos. Daly apresenta uma versão dessa preocupação em seu (2008) e fornece um contraponto à resposta de Balaguer à preocupação. Ele também fornece um contraponto a uma resposta que Rosen havia dado anteriormente, em seu (1990).

Outra objeção ao ficcionalismo (ou, mais precisamente, ao ficcionalismo de estrada fácil) é levantada por Szabo (2001). Seja S alguma sentença matemática como '4 é par'. Szabo argumenta contra os ficcionais de estrada fácil, com o argumento de que, se eles negam que S é verdadeiro, mas continuam a usá-lo de maneiras que parecem indistinguíveis das maneiras como os platonistas o usam, então eles estão essencialmente comprometidos em dizer coisas como '4, mas eu não acredito nisso '- o que, de acordo com Szabo, os coloca em problemas com relação ao paradoxo de Moore.

Finalmente, Chihara (2010) levanta objeções às visões ficcionalistas de Field e Balaguer.

3. Conclusão

Portanto, existem várias objeções diferentes ao ficcionalismo por aí, mas os ficcionalistas têm respostas para todos eles, e não é de todo óbvio que alguma das objeções consiga refutar o ficcionalismo. Assim, atualmente, parece pelo menos prima facie plausível supor que o ficcionalismo possa ser defendido. Por outro lado, se as reivindicações da seção 1 estiverem corretas, os ficcionalistas não terão um argumento positivo convincente a favor de sua opinião. Os argumentos das seções 1.2 a 1.4 sugerem que existem boas razões para rejeitar as várias alternativas antiplotônicas ao ficcionalismo e, portanto, para pensar que o platonismo e o ficcionalismo são as duas melhores visões da matemática, mas não parece haver nada de bom. argumento para favorecer o ficcionalismo sobre o platonismo ou vice-versa. Agora,a maioria dos ficcionalistas provavelmente diria - e alguns disseram (ver, por exemplo, Leng, 2010) - que essa situação em si já nos dá uma boa razão para favorecer o ficcionalismo em vez do platonismo. Pois, se aceitarmos a alegação de que não há um bom argumento positivo para o platonismo e o combinarmos com a navalha de Ockham (ou seja, o princípio que nos diz que, se duas teorias são responsáveis pelos mesmos fatos, ceteris parabis, devemos endossar o mais ontologicamente parcimonioso dos dois), parece que somos levados ao resultado de que o ficcionalismo é superior ao platonismo. Deve-se notar, no entanto, que esse argumento é explicitamente rejeitado por pelo menos dois dos defensores do ficcionalismo discutidos acima. Rosen (ver, por exemplo, Burgess e Rosen, 1997) duvida de que haja alguma boa razão para aceitar a navalha de Ockham, e Balaguer (1998a) argumenta que, mesmo que a aceitemos,existem razões para pensar que não é aplicável no presente caso. Assim, Rosen e Balaguer pensam que, atualmente, não temos nenhum bom motivo para endossar o platonismo ou o ficcionalismo. Além disso, como foi observado na seção 1.3, Bueno (2009) considera que os ficcionalistas deveriam ser agnósticos sobre a existência de objetos abstratos; isso parece ser mais ou menos equivalente à visão de Rosen; A visão de Balaguer é um pouco diferente, porque ele realmente pensa que não há fato de saber se existem objetos abstratos.isso parece ser mais ou menos equivalente à visão de Rosen; A visão de Balaguer é um pouco diferente, porque ele realmente pensa que não há fato de saber se existem objetos abstratos.isso parece ser mais ou menos equivalente à visão de Rosen; A visão de Balaguer é um pouco diferente, porque ele realmente pensa que não há fato de saber se existem objetos abstratos.

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